اعداد اول

                                        مقدمه

ریاضیات اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را بر حسب غریزه انسان همانطور که مثلا مرغ خانگی تعداد جوجه­هایش را می­داند انجام می داد. اما انسان امروزی در دنیای اعداد زندگی می­کند. برای مبادله­های تجارتی، محاسبه فرد، مالیات، بیمه، اندازه­گیری جدول ساعات، درجه حرارت و یا بزرگی امواج وخلاصه در هر لحظه نیازمند اعدادیم. امروز دیگر یک ریاضیدان، علم حساب و اعداد را به چند عمل ابتدائی خلاصه نمی­کند بلکه علم حساب و اعداد دارای مقصدی وسیع و دامنه­دار است. بقول دالامبر (dalembert) حساب و اعداد عبارتست از:

« کوششی که با در نظر گرفتن معلومات یک مسئله برای رسیدن به نتیجه انجام می­گیرد.»

به این ترتیب می­توان اعداد را ستون فقرات ریاضیات دانست. تکامل حساب و اعداد یک کوشش دسته جمعی است. همیشه افکار بزرگ نتیجه­ای است از کار متراکم و ممتد عدۀ زیادی متفکر و جوینده، اگرچه نام آنها در فهرست اصلی فراموش شده باشد. و باید گفت نتایج علمی که نصیب دانشمندان می­شود و خرسندی بی­پایانی که آزمایشهای خود دارند محقق می­دارد که چه رنج و کوشش دامنه­داری برای پیروزی بر مشکلات متحمل شده­اند.

                                تعریف اعداد اول

اعداد اول بسیار زیبا و جذابند و در عین حال معمایحیرت انگیز و سرگردان‌کننده ای را در برابر ریاضیدانان مطرح ساخته اند. هرچه در این سلسله پیش تر برویماعداد اول نایاب تر می‌شوند. رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن کاملابی‌نظم و فاقد قاعده به نظر می‌آید و هرچه شمار بیشتری از آنها شکارمی‌شوند، کارشکار بعدی‌ها دشوارتر می‌شود.

پی­یر فرما دانشمند قرن هفدهم اولین کسی بود که در خصوص اعداد اول این چنین نوشت: مقصود از اعداد اول(مثبت) عددی است بزرگتر از واحد که بر هیچ عددی غیر از یک و خودش قابل تقسیم نباشد(مقصود تقسیم بدون باقیمانده است) مثلا اعداد 1،2،3،5،13،17 عدد اول هستند و همچنین اعداد 257،65537. لیکن عدد 9742949672 عدد اول نیست زیرا عدد بر 641 قابل تقسیم است. نکته زیر در زندگی پی­یر فرما در تاریخ ریاضیات دارای اهمیت بزرگی است. اگر اعداد 3،5،17،257،65537 را در نظر گیریم، همه این اعداد دارای وجه مشترک خاصی هستند زیرا همگی متعلق هستند به سلسلۀ خاصی از اعداد که طبق قانون ساده­ای بوسیلۀ 1،2 ساخته می­شوند از این قرار است:

1+2⁴=17          ،          1+2²=5          ،          1+2¹=3

1+2¹⁶=65537         ،          1+2⁸=257

باین طریق هفت عدد از اعداد این سلسله را بعنوان مثال ذکر کردیم و چنانکه دیدیم از این هفت عدد پنج تای اولی از آنها اعداد اول هستند و حال آنکه دو عدد آخری عدد اول نیستند.

همه اعداد اول مشخصه خاصی دارند و آن اینست که همه آنها بوسیله اعداد 1و2 میتوانند ساخته شوند.شاید جالب باشد بدانید بزرگترین عدد اولی که تا به حال شناخته شده برابر است با 2به توان 30میلیون و402هزار و یک.

تعریف دیگری از اعداد اول:

عدد طبیعی p و p>1 را اول نامند به شرطی که تنها مقسوم علیه­های مثبت آن 1 و p باشند. اگر عددی طبیعی و بزرگتر از 1 اول نباشد، مرکب است و عدد 1 جزء اعداد استثناء است که نه اول است و نه مرکب. عدد یکان اعداد اول بزرگتر از 10 فقط ممکن است اعداد 1،3،7،9 باشد.بدون شک علاقه­مندی ریمان به اعدا اول باعث انتشار کتابی در این زمینه شد که در آن فرضی دارد به نام "دربارۀ تعداد اعداد اولی که کوچکتر از مقدار معلومی هستند" که این فرضیۀ ریمان در مجلۀ آکادمی برلین شمارۀ ماه نوامبر 1859 به چاپ رسیده است که ریمان این دانشمندی که در قرن هجدهم می­زیست در آن زمان سی­وسه ساله بود.

هدف : هدف آشنایی کامل با این اعداد، تاریخچۀ آن، جویندگان آنها در دوره­های مختلف تاریخ می­باشد، البته باید گفت که پیشرفت دائمی اعداد و توسعه شگفت­آور آن شایسته هرگونه تحسین و امیدواری است. این جملۀ نیوتن(neuton) منظور من را روشن می­کند: (ما به کودکی می­مانیم که در کنار دریا در حال گردش است، ابتدا از پیدا کردن یک سنگریزه شفاف و صاف و سپس با دیدن یک صدف زیبا غرق خوشحالی می­شود. در حالیکه اقیانوس پهناور حقیقت هنوز ناشناخته در جلو او گسترده است.)

                             تاریخچه اعداد اول

سومری­ها که تمدنشان به 1000 سال قبل از میلاد مسیح می­رسد دستگاهی به نام شمارش­گر اختراع کردند که بسیار پیچیده است و آثار آن دستگاه در کهن­ترین مدارک می­باشد. در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون(platon) علم اعداد را از منطق جدا کرد و بیان کرد علوم منظمی مثل علم اعداد در افراد یک تاثیر تربیتی دارند.

در قرن پنجم ق.م دانشمندان هندی همچون آپاستامبا (Apastamba) ، آریاب­هاتا (Aryabhate) سهم زیادی در پیشرفت علوم ریاضی داشتند. آنها سیستم اعداد فعلی را بوجود آوردند و نظریه اعداد را تکمیل کردند. ملل اسلامی هم نقش بسیار موثری در علوم ریاضی و علم حساب و اعداد داشتند. محمدبن­موسی خوارزمی، کتابدار خلیفه عباسی، رساله­ای را دربارۀ اعداد نوشته است.

در قرن 15 دانشمندان ایتالیایی باعث ترقی علم اعداد شدند، در قرنهای 16 و 17 (میلادی) انگلیسی­ها در این راه گامهایی برداشتند ولی در قرن هجدهم میلادی ظهور گاوس آلمانی باعث پیشرفت اعداد شد. او در نمایش هندسی اعداد و همین­طور اعداد اول تلاشهای قابل ملاحظه­ای صورت داد البته باید گفت تلاشهای پی­یر فرما(pierre fermat) شهزاده ریاضیدانان غیر حرفه­ای بود که در قرن هفدهم منجر به کشف گونه­ای از اعداد به نام اعداد اول شد.

در 150 سال اخیر یا بیشتر نظریه اعداد پیشرفتهای زیادی در جهات مختلف داشت. باید گفت شرح انواع مسائل، قضایایی که در نظریه اعداد بررسی شده­اند در اینجا ممکن نیست. چون نظریه اعداد مبحث بسیار وسیعی است و در بعضی قسمتها نیاز به داشتن مطالب عمیقی از ریاضیات پیشرفته مثل نظریه گالوا و یا آنالیز در سطح بالا دارد. با این حال مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارد که به آسانی قابل بیانند.

طی قرن های متمادی ریاضیدانان در شرق و غرب عالم به جستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته اند و با این همه بهترین روشهایی که تا به حال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت ترین کامپیوتر های کنونی نیز نمیتوانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند.

یکی از اولین و در عین حال درخشان ترین کارهای بشر در نظریه اعداد اثبات اقلیدس از نا متناهی بودن اعداد اول است که امروزه میتوان آن را در کتابهای درسی دبیرستانی هم خواند.

یونانی ها اعداد اول را می شناختند و از نقش آنها به عنوان بلوکهای سازنده دیگر اعداد آگاه بودند.

بعد از این دستاورد های بزرگ طبیعی ترین سوالی که به ذهن بشر رسید این بود که چه نظمی به دنبال اعداد اول حاکم است&چگونه میتوان اعداد اول را یافت و چطور میتوان اعدادی را که اول نیستند به عوامل اولشان تجزیه کرد.تا امروز تلاش های زیادی برای پیدا کردن یک فرمول تولید کننده اعداد اول و یا الگویی برای ظهور اعداد اول در میان دیگر اعداد انجام شده است که هر چند کمک های زیادی به گسترش نظریه اعداد کرده اند اما ساختار پیچیده اعداد اول همچنان در مقابل این تلاشها مقاومت میکند.

ریاضیدانان در آرزوی پیدا کردن راهی هستند که با سرعت زیاد بتواند تشخیص دهد که عددی هر قدر پر رقم اول هست یا نه.اما این فقط به فسفر مغز نیاز دارد نه به سرعت کامپیوتر.

سابقه قرار گرفتن ریاضیدانان تحت جاذبه اعداد اول به قرن ها پیش باز میگردد.در سال 1801کارل گاوس از بزرگترین ریاضیدانان  اعلام کرد که مسئله تشخیص اعداد اول از اعداد غیر اول یکی از مهمترین مسائل حساب به شمار می آید.اعداد اول به یک معنا همان نقشی را در سلسله اعداد بازی میکنند که اتمها در ساختار بنای کیهان دارند.این اعداد سنگ بنای ناپیدای دیگر اعداد محسوب میشوند.

مهمترین سوال درمورد همه این روشها آنست که با چه سرعتی میتوانند یک عدد اول را مشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر میشود.اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابد درآن صورت این روش،روش قابل قبولی به شمار آورده میشود.به این نوع روشها که زمان به صورت توانی در آنها افزوده میشود"روشهای توانی"میگویند.روشهای دیگر که زمان در آنها با سرعت بیشتری افزایش میابد"روشهای غیر توانی"نام دارند.برای مثال روشهای تقسیم معمولی یک روش غیر توانی برای یافتن اعداد اول است.همه این روشها احتمالاتی هستند و بنابر این در مواردی پاسخ غلط به دست میدهند هر چند که این موارد نادرند.

در سال 1983روشی کشف شد که بسیار نزدیک به روش های توانی بود.این روش که بوسیله سه ریاضیدان به نام های "لئوناردوآدلمن" از دانشگاه کالیفرنیای جنوبی،"کارل پومرانس"از آزمایشگاههای بل و"رابرت روملی"از دانشگاه جورجیا کشف شد،به نام خود آنان به روش RAPشهرت یافت.در این روش زمان محاسبه یک عدد دارایdرقم برابر است با dضرب در لگاریتم لگاریتم d.به لحاظ فنی این روش غیر توانی است؛زیرا توان آن ثابت نیست و زیاد میشود،اما سرعت این ازدیاد بسیار بسیار کند است.

شاید اولین راهی که برای تشخیص اعداد اول به ذهن بشر رسید غربال اراتستن بود.در این روش کافی بود عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آن تقسیم کنیم،اگر به هیچ کدام بخش پذیر نبوداول است و اگر بخش پذیر بود به این ترتیب عوامل اول آن معلوم میشود.همچنین در صورتی که اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند،تقسیم کردن به این اعداد کافی است.

غربال اراتوستن: فرض کنید که بخواهیم اعداد اول کوچکتر از 1000 را معین کنیم. ابتدا اعداد را کنار هم می­گذاریم یعنی از 1 تا 1000 را می­نویسیم سپس بعد از این کار مضارب3،2 را از مجموعۀ اعداد حذف می­کنیم البته بدون حذف خود دو عدد یعنی 3،2 به این ترتیب اعداد باقیمانده از مجموعۀ اعداد نوشته شده اعداد اول کمتر از 10000 است.

مثال:اعداد اول کمتر از 20 را بدست می­آوریم.(به روش غربال اراتوستن)

10  9   8   7   6   5   4  3   2  1

20  19  18  17  16  15  14  13  12  11

این روش ها برای اعداد نسبتا کوچک کار می کنند،اما وقتی با عددی مثلا 100رقمی طرف باشیم،اوضاع فرق میکند.حتی با سریع ترین کامپیوتر ها هم تقسیم کردن یک عدد100 رقمی به همه اعداد کوچکتر از آن خیلی بیشتر از عمر آدم طول می کشد.

فرض کنید بخواهیم یک عدد100رقمی را به همه اعداد کوچک تر از خودش تقسیم کنیم.برای این کار بایدحدود10⁹⁹ تقسیم انجام بدهیم .اگر کامپیوتر ما بتواند در هر ثانیه 10¹² تقسیم انجام دهد،برای انجام کل کار 10⁸⁷ ثانیه وقت لازم است.یک سال حدود 10⁸ ثانیه است و این یعنی کار ما 10⁷⁹ سال طول خواهد کشید.عمر عالم د ست بالا 15 میلیارد سال تخمین زده میشود،یعنی حتی یک دهم یا یک هزارم و یا یک ده هزارم این محاسبه هم غیرقابل انجام است. در جستجو برای یافتن قانون حاکم بر توزیع عددهای اول، گام مهم و اساسی زمانی برداشته شد که ریاضیدانان از تلاش بی‌ثمر برای یافتن فرمول ریاضی ساده‌ای که همه اعداد اول یا تعداد دقیق عددهای اول در میان عدد صحیح نخست را به دست دهد دست برداشتند، و به جای آن در جستجوی اطلاعات درباره متوسط توزیع عددهای اول در میان عددهای صحیح برآمدند.  برخی از این قضایا در نظریه اعداد مربوط به اعداد اول می­شوند.

در قرن بیستم یعنی 1914 میلادی ریاضیدان امریکایی دی.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد اول کوچکتر از 10 میلیون متوجه شد که فقط 664579 تا عدد اول وجود دارد یعنی حدود 5/6 درصد، همچنین دی.اچ.لمر(پسر دی.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 میلیارد را محاسبه کرد و به این نتیجه رسید که تعداد 455052512 عدد اول یعنی حدودا 5/4 درصد.کل اعداد اول موجود است. بررسی دقیق اعداد اول نشان می­دهد که اعداد اول توزیع بسیار منظمی دارند. به آسانی ثابت می­شود که شکافهای به اندازۀ دلخواه بین آنها وجود دارد. بررسی این اعداد نشان می­دهد که اعداد اول متوالی نظیر 3و5 یا 101و 103 همین­طور تکرار می­شوند، جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 است، اعداد اول دوقلو نامیده می­شوند. بیش از 1000 جفت از این جفتها زیر 100000. بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارند. ولی باید گفت این مساله (که آیا بی­نهایت  از این اعداد وجود دارد یا نه؟) هنوز حل نشده است.

پیدا کردن ضابطه­ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده بود تا اینکه درست در اردیبهشت ماه 1386 باخبر شدیم سید محمدرضا هاشمی موسوی فرمولی از اعداد اول کشف کرده که دانشمندان برای حل این مساله و دریافت جایزه نوبل و جایزه یک میلیون دلاری آن تا سال 3001 فرصت داشتند که پرفسور هاشمی موسوی فرمول این اعداد را برای اولین بار کشف و به نام خود ثبت کرد. پرفسور هاشمی موسوی، دکترای ریاضی از دانشگاه بوستون کتابی نیز در این زمینه چاپ کرده است که پیش­بینی می­شود به زودی جایزه نوبل ریاضی را از آن خود خواهد کرد، این جایزه برای اولین بار در طول تاریخ به یک ایرانی و یک مسلمان اهدا خواهد شد. البته باید گفت فرمول ارائه شده از سوی این محقق ایرانی تاکنون مورد تایید مجامع ریاضیات در دنیا قرار نگرفته است.

با شناسائی جدول فیثاغورث می­توانیم اعداد اول کوچکتر از 100 را بلافاصله بنویسیم. باید گفت تنها عدد صحیح غیر اولی که عوامل اول آن در نظر اول شناخته نمی­شود: 13×7=91 می­باشد.

تعداد اعداد اول کوچکتر از 100 مساوی 25 است که 15 عدد از این اعداد اول بین 1،50 وتنها 10 عدد آنها بین 51 تا 100 قرار گرفته است. این یک مثال ساده از نزولی بودن تعداد اول در مقیاس اعداد صحیح است.

                      قضایای مربوط به اعداد اول

قضیه1: بی­نهایت عدد اول وجود دارد.( این قضیه مشهور است به حدس اعداد اول مرسن)

برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است ( برهان خلف) اثبات می­کنیم. فرض کنید تعداد متناهی اعداد اول وجود دارد که تعداد آنها nتا می­باشد، حال عدد m را که برابر حاصلضرب این اعداد بعلاوۀ 1 را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیه­ای غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.

P₁P₂…P_n                           P₁P₂…P_n +1>p_i

P₁P₂...P_n>P_i                               P₁P₂…P_n +1=P_i1...P_ik

P₁P₂…P_n +1=P_i .x

P_i1...P_ik= P_i .x

P₁P₂…P_n +1= y+1

P_i1.y+1= P_i1.x

P_i1.x-P_i1.y=1

P_i1.(x-y)=1

P_i1=1

که به تناقض رسیدیم پس حکم ثابت است .

اثبات قضیۀ 1 به گونه­ای دیگر توسط کومر در سال 1878 میلادی صورت گرفت، این اثبات، اثباتی بسیار زیباست که در عین سادگی نکات جالبی را دربردارد.

اثبات: فرض کنید که همه اعداد اول موجود متناهی و به ترتیب زیر باشند:    P₁<P₂<…<P_r  قرار می­دهیم،  P=P₁P₂…P_r>2 اگر اعداد صحیح P-1 دارای عاما مشترک P_i با P باشد آنگاه P_i عامل P-(P-1)=1 است که ناممکن می­باشد لذا P-1 عامل اولی به غیر از آنچه ذکر شد دارد که تناقضی آشکار با اثبات است.

قضیۀ2: قضیۀ اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.

این قضیه از قضایای مهم نظریه اعداد است که نشان می­دهد اعداد اول چگونه همانند بلوک­های ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقض دارند. این قضیه به طور ساده بیان می­کند، هر عدد صحیح بجز 1 و 1- به صورت حاصلضرب­هایی از عوامل اول قابل نمایش هستند. همچنین این نمایش اعداد به صورت حاصل­ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتاست. به عنوان مثال عدد 60 را می­توان به صورت 60=2×2×3×5 به حاصل­ضرب عوامل اول نوشت.

اگر عدد n را به صورت n=P₁P₂…P_r به حاصل­ضرب عوامل اول بنویسیم، این کار را اصطلاحا تجزیه عدد n به عوامل اول می­گوییم. پس قضیۀ اساسی حساب بیان می­کند هر عدد صحیح 1 و 1- قابل تجزیه به عوامل اولند و این تجزیه صرف نظر از ترتیب عوامل اول یکتاست. اصطلاح تجزیه به عوامل اول می­تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم­علیه­های آن عدد و به طور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد. باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساسا توسط اقلیدس به اثبات رسیده است اما اولین اثبات کامل این قضیه توسط گاوس در کتاب تحقیقات حساب منتشر شده است.

همچنین با گسترش جبر مجرد و نظریۀ حلقه مفهومی مشابه در نظریۀ حلقه به عنوان حوزه تجزیه یکتا  (VFD) بوجود آمد که در آنها خاصیتی مشابه برقرار است که توسط کومر و زمانی که به روی قضیۀ آخر فرما کار می­کرد معرفی شد. این نشان می­دهد که اگرچه قضیۀ اساسی حساب در حلقۀ اعداد صحیح بدیهی جلوه می­کند اما چنین چیزی در مورد هر حلقه دلخواه بدیهی نیست و ممکن است نادرست باشد.

قضیه3:

قضیۀچیشف: اگر n عددی طبیعی  بزرگتر از 2 باشد حتما بی n و 2n عدداولی وجود دارد.

قضیه 4:

حدس گلدباخ: هر عدد زوج را می­توان بصورت جمع دو عدد اول نوشت.

قضیه 5:

هر عدد فرد(شامل اعداد اول) را می­توان بصورت جمع 3 عدد اول نوشت.

قضیه6:

هر عدد فرد را می­توان بصورت دو برابریک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.

خواص اعداد اول: مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1

از طرفی دیگر با کمی تامل مشخص میشود که اعداد زوج اول نیستند(البته غیر از 2)چون همه آنها به2 بخش پذیرند.اعداد که جذر کامل دارند نیز همین طورند.

اعداد اول دوقلو :بسیاری از عددهای اول به صورت جفتهایی به شکل p و p+2 هستند، مانند  3و5 ، 11و13 ، 29و31 . گمان می‌رود تعداد این گونه جفت ها نامتناهی باشد ولی تا کنون هیچ گام قطعی در راه اثبات این موضوع برداشته نشده است.
برون در 1919 اثبات کرد که بینهایت عدد p موجود است به طوری که هم p و هم p+2 حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اولند. این اثبات توسط سایر ریاضی‌دانان پیشرفت کرد به طوری که در 1924 ، رادماخر عدد برون را از 9 به 7 کاهش داد.

در 1930 بوخشتاب این تعداد را به 6 و در 1938 به 5 رساند. ونگ با مفروض دانستن صورت تعمیم یافته‌ی فرضیه ریمان در 1962 نشان داد که بی‌نهایت عدد اول p موجود است به قسمی که p+2 حاصل‌ضرب حداکثر 3 عدد اول است. با این حال بوخشتاب در 1965 و بدون در نظر گرفتن صحت فرضیه ریمان توانست اثبات کند که به ازای عدد c ثابتی ، بی‌نهایت عدد اول p موجود است به قسمی که p+2 حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است.چن در مقاله‌ای که در 1973 منتشر گردید اثبات کرد که عدد c=2 برای اثبات بوخشتاب کفایت می‌کند.         

سی و پنج جفت ابتدایی اعداد اول دوقلو:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

 قضیه اعداد دوقلو : m و m+2 اعداد اول دوقلو هستند اگر و تنها اگر :

مهمترین سوال در مورد همه این روشها آن است که با چه سرعتی می‌توانند یک عدد اول رامشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر میشود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابددر آن صورت این روش روش قابل قبولی به شمار آورده می‌شود.

طی قرنهای متمادی ریاضی دانان در شرق و غرب عالم بهجستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته‌اند و با این همه بهترین روشهاییکه تا بحال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت‌ترین کامپیوتر هایکنونی نیز نمی‌توانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند. بطوریکه اگر چندین میلیون بار به سرعت کامپیوتر هایکنونی افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترین عدد اولی که تا به حالشناخته شده افزوده می‌گردد.

درحال حاضر بزرگترین "عدد اول" شناسایی شده در جهان‪  ۹میلیون و ‪ ۱۵۲هزار و ‪ ۵۲رقم وجود دارد که توسط دانشمندان دانشگاه ایالتی "میسوری" آمریکا با استفاده از توان محاسباتی هزاران رایانه، شناسایی شده است.

ریاضی دانان در آرزوی دست یافتن به روشی هستند که بااستفاده از آن بتوانند با سرعت به یافتن اعداد اول توفیق یابند و یا اگر با عددی هراندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند که آیا عدد اول است؟  اما یافتن چنین روشی به فسفر مغز نیاز دارد و نه سرعت کامپیوتر.

یکی از اولین و در عین حال درخشانترین کارهای بشر در نظریهاعداد،اثبات اقلیدس از نامتناهی بودن اعداد اولاست که امروزه می توان آن را در کتاب های درسیدبیرستانی خواند. یونانی ها اعداد اول رامی شناختند و از نقش آن ها به عنوان بلوک های سازنده دیگر اعداد آگاه بودند.

                 جستجو برای الگوهایی از نظم در اعداد اول

یک نمونه ساده: ۳۱- ۳۳۱ --۳۳۳۱ -۳۳۳۳۱ -۳۳۳۳۳۱ -۳۳۳۳۳۳۱ -۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدداول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴ است.

اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادی به شکل2^P-1 را عدد مرسن میگوییم. اگر این اعداد اول باشند به آن ها عدد اولمرسن می گوییم. به ازای p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگیریم مرکب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند که آخرینشان به ازای P=13466917   به دست می‌آید و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. یعنی بین همه اعداد اول کوچکتر از۱۳۴۶۶۹۱۷تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن تولید می کنند .

بنابراین هیچ کدام از روش های فوق یک نتیجه کلی به ما برای تولید و شناسایی اعداد اول نمی دهد.

در نظر گذشتگان آزمایش اول بودن یک عدد و یافتن عوامل اول آنیک سوال بودند. کافی بود عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آنتقسیم کنیم. اگر به هیچ کدام بخشپذیر نبود اول است و اگر بخشپذیر بود به این ترتیبعوامل اول آن معلوم می شوند. کم کم این فرایند ساده تر شد و مشخص گردید کهتقسیم کردن به همه اعداد کوچکتر از جذر عدد مورد نظر کافیست، همچنین درصورتیکه اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند، تقسیم کردن به ایناعداد کافیست.

حوالی قرن هفدهم توجه ریاضیدانان به این نکته جلب شد که شاید راههای ساده تری برای آزمایش اول بودن یا نبودن یک عدد وجود داشته باشد چرا که روشتقسیم مقدار زیادی اطلاعات اضافی ( لیست عوامل اول، وقتی که جواب سوال منفی است)تولید می کند که برای پاسخ گفتن به این سوال نیازی به آن ها نیست. فرما مدتی بعدنشان داد که این حدس صحیح بوده است. فرما قضیه ای را ثابت کرد که تاامروز اساس همه روش های آزمایش اول بودن اعداد است و ما آن را با نام قضیه کوچکفرما می شناسیم.

به این ترتیب می‌توان از این قضیه کوچک فرما به عنوانمبنایی برای تدوین آزمونی جهت تعیین اعداد اول استفاده کرد. این آزمون کاملا بی‌نقصنیست زیرا شماری از اعداد غیر اول نیز از غربال آن رد می‌شوند. اما می‌توان روایت های پیچیده تر و دقیق تری از اینآزمون را تولید کرد که بسادگی به اعداد غیر اول اجازه ورود ندهند.

گروه آگراوال از همین قضیه کوچک فرما استفاده کرد اماآن را به نحو دیگری بسط داد. این گروه به عوض آنکه با اعداد کار کنند از چندجمله‌ای‌ها استفاده کردند.مانیندرا اگراوال Manindra Agrawal و دانشجویانش نیراج کایال ‪Neeraj Kayal و نیتین سکسنا Nitin Saxenaدر موسسه تکنولوژیکانپور مدعی شده‌اند که در آستانه تکمیل آزمونی هستند که اول بودن یا نبودن هر عددطبیعی را با سرعت مشخص می‌کند. این آزمون در صورتی که تکمیل شود می‌تواند تبعات ونتایج بسیار گسترده‌ای برای جهان کنونی به بار آورد.

دانشمندان دانشگاه ایالتی "میسوری" آمریکا موفق شدند با استفاده از توان محاسباتی هزاران رایانه، بزرگترین "عدد اول" شناسایی شده در جهان را با ‪ ۹میلیون و ‪ ۱۵۲هزار و ‪ ۵۲رقم شناسایی کنند.

به آن دسته از اعداد اولی که برابر یکی از توان‌های عدد ‪ ۲منهای ‪ ۱هستند، اعداد "اول مرسن" گفته می‌شود. به طور مثال عدد ‪ ۷یک "عدد اول مرسن" است زیرا برابر است با عدد ‪۲ به توان ‪۳ یعنی‪ ۸منهای یک.

در طرح شناسایی "اعداد اول مرسن"، از توان محاسباتی بلااستفاده رایانه‌های بیش از ‪ ۲۰۰هزار داوطلب در سرتاسر جهان استفاده می‌شود. بزرگترین "اعداد اول" شناسایی شده در چند سال قبل همگی "عدد اول" از نوع "مرسن" بوده‌اند و عدد اول تازه شناسایی شده نیز یک "عدد اول مرسن" بوده و برابر است با دو به توان ‪ ۳۰میلیون و ‪ ۴۰۲هزار و ‪ ۴۵۷منهای یک.تاکنون ‪" ۴۳عدد اول مرسن" در جهان شناسایی شده است.

در بین اعداد طبیعی بزرگتر از یک یعنی ...و 4و3و2 اعدادی وجود دارند که تنها بر یک و خود بخش پذیرند، این اعداد را اعداد اول می نامند. اعداد اول مبنایی برای همه ی عددهای طبیعی است ، به این معنی که هر عدد طبیعی به صورت حاصل ضرب توانی از اعداد اولی است که مقسوم علیه های این عددند. به عنوان مثال  . نخستین هفت عدد اول متمایز عبارتند از: 2و3و7و11و13و17. اینک این سؤال پیش می آید که آیا این رشته از اعداد مختوم است یا اینکه تا بی شمار ادامه دارد. به عبارت دیگر آیا بزرگترین عدد اول وجود دارد یا نه. جواب این است که بزرگترین عدد اول وجود ندارد.

این موضوع از عصر طلائی یونانیان مکشوف بوده و توسط اقلیدس در سه قرن قبل از میلاد به اثبات رسیده است. استدلال وی بی اندازه ساده و مبرهن است و هنوز هم تازگی خود را حفظ کرده. پس از اثبات نامتناهی بودن مجموعه ی اعداد اول سؤالاتی دیگر در مورد این اعداد مطرح می شود، که به بعضی از آنها پاسخ داده شده ، ولی برخی هم همچنان بی جواب باقی مانده اند. در این جا چند نمونه از این سؤالات مورد بررسی قرار می گیرند، و ضمناً برهان اقلیدس نیز ارائه خواهد گردید.

معلوم نیست که مفهوم اول برای اولین بار در چه زمانی طرح شده است و چه مدتی سپری گشته تا از مطالعه در خواص اولیه چنین اعدادی به نامتناهی بودن آن پی برده شود. شاید پس از نخستین ملاحظات تجربی و نیز مطالعه ی عملی در خواص اعدادی چون 2و3و11و17 این سؤال طبعاً پیش آمده است.

برهان ذیل، برای اثبات نامتناهی بودن رشته ی اعداد اول هنوز هم از ساده ترین برهان ها در این زمینه است. فرض کنیم که چنین نباشد در این صورت ، عدد اولی مانند p وجود دارد که از هر عدد اول دیگر بزرگتر است. اینک  را در نظر می گیریم این عدد بر هیچ یک از اعداد ()بخشپذیر نیست . چون m یک عامل اول دارد و این عامل در بین اعداد ()نیست پس عامل اولی به غیر از اعداد یاد شده دارد و این با فرض ما در تناقض است.

این نتیجه ی ظریف و زیبای اقلیدسی ، که ضمناً برهانش هم بسیار ساده است ، یکی از اولین نمونه ی برهانهای مشهود ریاضی است که به طریقه ی برهان خلف صورت گرفته است. پس ازبررسی این حکم سؤالات تازه ای مطرح می شود، و پاسخ به این سؤالات منجر به نتایج و ملاحظات دیگری می گردد.

به عنوان مثال ، با بکار بردن مفهوم « فاکتوریل» می توان متقاعد شد که همواره یک رشته ی بقدر کافی طولانی از اعداد طبیعی متوالی که اول نباشد وجود دارد. در واقع به ازای هر n مفروض می توان n عدد متوالی ، با در نظر گرفتن اعداد طبیعی : n!+2,n!+3,n!+4,…,n!+n به دست آورد؛ این اعداد جملگی مرکب اند (غیر اول). زیرا اولی بر 2 ودومی 3 و سومی 4 و n امی برn بخش پذیر است.

هر گاه موضوع را بیشتر تعقیب کنیم، به شگفتی این اعداد و خصیصه ی مسائل مربوط به آن پی خواهیم برد، به تدریج مسائل جدید مطرح می شوند و این مسائل ، مسائل جدید دیگری را پیش می آورند که عموماً پاسخ به بعضی از آنها چندان هم ساده نیست.

از بین مسائل معروف اعداد اول ، مقدماتی ترین آنها مسئله ذیل است:

در مورد اعداد طبیعی زوج به امتحان ملاحظه شده است که قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. « کریستیان گلدباخ» ریاضیدان آلمانی حالت کلی را حدس زد. یعنی به حدس اظهار داشت که هر عدد طبیعی زوج بزرگتر از 2 قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. ( این موضوع در گلچین ریاضی هم آمده) تا عصر حاضر این حدس به یقین مبدل نشده است و ریاضیدانان موفق به اقامه ی برهان برای آن نشده اند. صحت این حکم برای اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 10⁸ محقق شده است. ( تا سال 1968)

با بکار بردن ماشینهای الکتریکی محاسبه ، می توان آمارهایی فراهم آورد برای نشان دادن اینکه به چند طریق می توان یک عدد زوج مانند 2n به صورت حاصل جمع دو عدد اول نوشت ، عده ی طرق با بزرگ شدن n بزرگ می شوند. در حال حاضر ریاضیدانان روسی « ایوان ماتویویچ ویورگرادوف» ثابت کرده است که هر عدد طبیعی فرد بقدر کافی بزرگ ، قابل نمایش به صورت حاصل جمع سه عدد اول است. فرمولی که بوسیله آن بتوان هر عدد اول بقدر کافی بزرگ را به دست آورد، وجود ندارد. البته عبارت هایی در دست است که از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین کرد. به عنوان مثال فرمول اویلر در دست است که از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین کرد. به عنوان مثال فرمول اویلر  به ازای  اعداد اول متمایزی به دست می دهد .

همچنین معلوم نیست که تعدادی نامتناهی از اعداد اول دوقلو ، یعنی اعداد اولی که تفاضل آنها 2 باشد مانند 5و7 ، 11و13، 29و31 و غیره وجود دارد یا نه. اینها نمونه هایی هستند از مسائلی ساده در اعداد اول که بطور طبیعی مطرح می شوند و اگر چه صورت ظاهری آنها ساده به نظر می رسد، اثبات آنها غالباً دشوار است و این امکان وجود دارد که با معلومات ریاضی عصر ما ثابت نگردند.

اما در مورد حکمی که اخیراً ذکر شد، اطلاعاتی در دست است. به عنوان مثال، معلوم گشته که رشته ی اعداد اول به صورت 4k+1 و4k+3 نامتناهی است. به طور کلی ثابت شده که در تصاعد حسابی ak+b،که در این a وb  نسبت به هم اولند و k=1,2,3,…  یک تعداد نامتناهی عدد اول وجود دارد.

فرض کنید به ازای هر عدد صحیح تعداد عددهای اول در میان اعداد صحیح 1، 2، 3، ...،را با نمایش دهیم. اگر زیر اعداد اول در دنباله مرکب از چند عدد صحیح نخست خط بکشیم، می‌توانیم چند مقدار اولیه را محاسبه کنیم:

حال اگر دنباله دلخواهی از مقادیر را در نظر بگیریم که به طور نامحدود افزایش یابد، مثلاً

آنگاه مقادیر متناظر :
نیز به طور نامحدود (هر چند با سرعت کمتر) افزایش می‌یابند. از آنجا که می‌دانیم بینهایت عدد اول وجود دارد، مقادیر هم دیر یا زود از هر عدد متناهی تجاوز خواهند کرد. «چگالی» عددهای اول در میان عدد صحیح نخست با نسبت مشخص می‌شود و با استفاده از یک جدول اعداد اول، مقادیررا می‌توان به طور تجربی به ازای مقادیر نسبتاً بزرگ محاسبه کرد.

0/168
0/078498
0/050847478
..........	...

می‌توان گفت که درایه آخر جدول بیانگر احتمال آن است که عدد صحیحی که به تصادف از میان عدد صحیح نخست انتخاب شده، اول باشد زیرا انتخاب ممکن وجود دارد که از آنها اول‌اند. توزیع عددهای اول در میان اعداد صحیح فوق‌العاده بی‌نظم است. ولی این بی‌نظمی «در مقیاس کوچک»، از میان می‌رود به شرط اینکه توجه خود را به متوسط توزیع عددهای اول که با نسبت مشخص می‌شود معطوف کنیم. کشف قانون ساده‌ای که رفتار این نسبت از آن تبعیت می‌کند یکی از برجسته‌ترین اکتشافات در تمام ریاضیات است. گاوس از بررسی تجربی جدولهای اعداد اول دریافت که نسبت تقریباً برابر است و این تقریب با افزایش ظاهراً بهتر می‌شود. میزان خوبی تقریب با نسبت مشخص می‌شود که مقدارهایش به ازای =1000، =1000000 و =1000000000 در جدول زیر نشان داده شده‌اند.

1/59	0/145	0/168
1/084	0/072382	0/78498
1/053	0/048254942	0/050847478
...	...	...	...

گاوس براساس این گونه شواهد تجربی حدس زد که نسبت «به طور مجانبی» برابر با است. منظور از این گفته آن است که اگر دنباله‌ای از مقادیر را که مرتباً بزرگ و بزرگتر می‌شوند، مثلاً همان دنباله
را در نظر بگیریم، آنگاه نسبت ه  یعنی عدد که به ازای همین مقادیر متوالی محاسبه شود، به 1 نزدیک و نزدیکتر خواهد شد، و اختلاف این نسبت با 1 می‌توان با محدود کردن به مقادیر به اندازه کافی بزرگ، به قدر دلخواه کوچک کرد. این مطلب به صورت نمادین با علامت ~ بیان می‌شود: به این معنی است که وقتی افزایش می‌یابد، به 1 میل می‌کند. با توجه به اینکه همیشه عددی صحیح است ولی چنین نیست، روشن می‌شود که چرا نمی‌توان علامت معمولی تساوی، =، را به جای ~ قرار داد. این موضوع که چگونگی توزیع میانگین اعداد اول را می‌توان به وسیله تابع لگاریتمی توصیف کرد، کشف بسیار جالبی است زیرا شگفت‌آور است که دو مفهوم ریاضی که این قدر نامرتبط به نظر می‌رسند، در واقع چنین ارتباط نزدیکی با هم دارند. اگر چه فهم صورت حدس گاوس آسان است، اثبات ریاضی دقیق آن بسیار دور از حدود امکانات علوم ریاضی در زمان گاوس بود. برای اثبات این قضیه، که فقط با ابتدایی‌ترین مفاهیم سروکار دارد، استفاده از قویترین روشهای ریاضیات نوین لازم است. تقریباً صدسال طول کشید تا آنالیز به درجه‌ای تکامل یافت که آدامار (1896) در پاریس و دلاواله پوسن در لوون (1896) توانستند اثبات کاملی از قضیه اعداد اول به دست دهند. من گولت و لاندوا صورتهای ساده شده و اصلاح شده مهمی از استدلال را عرضه کردند. مدتها قبل از آدامار، تحقیق پیشگامانه خطوط استراتژیک اقدام برای حل مساله مشخص گشته بود.

نوربرت وینر ریاضیدان آمریکایی توانست این اثبات را اصلاح کند تا از به کار بردن عددهای مختلط  در مرحله مهمی از استدلال  اجتناب  شود. با این حال، اثبات قضیه  اعداد  اول  هنوز هم،  حتی برای دانشجوی  پیشرفته، آسان  نیست.

در سال 1949 پل اردوش ، استاد مسلم اپباع‌های  ابتدایی ، و سلبرگ توانستند این قضیه را با تکنیک‌های  ابتدایی نظریه اعداد و  بدون استفاده از تکنیک‌های تحلیلی اثبات نمایند.

                                     کاربرد

اعداد اول برای ریاضیات از اهمیت بنیادی برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم خواص آنها باعث می شود خللهای بزرگی در بنای ریاضیات ایجاد شود.

درحال حاضر بسیاری از معاملات تجاری و نقل و انتقالاتمالی و نیز مبادله اطلاعات محرمانه از طریق شبکه های مخابراتی مانند اینترنت و بابهره گیری از رمز کردن پیامها به انجام می‌رسد. اعداد اول در تنظیم این قبیل رمزها نقشی اساسی بر عهدهدارند و از همین رو دستیابی به اعداد اول جدید که دیگران از آن بی‌خبر باشند برایسازندگان این رمزها و نیز مشتریان آنان از اهمیت زیاد برخوردار است. اما یک گروه از ریاضیدانان هندی  مدعی  شدند که در آستانه دستیابی به آزمونی هستند کهریاضیدانان قرنها مشتاقانه در آرزویش بودند ،که اگر روش این محققان هندی تکمیل شود در آن صورت امنیت این قبیل نقل و انتقالات در معرض خطر جدی قرار خواهد گرفت.

در گذشته و در زمانی که نظریه اعداد تنها مورد توجه یک گروه کوچک از ریاضیدانان بود، این مساله چندان اهمیتی نداشت اما در 20 سال گذشته اعداد اول موقعیتی استثنائی در عرصه رمزنگاری و دانش طراحی و شکستن رمزها کسب کرده اند.

رمزها صرفاً از نظرنظامی و جاسوسی حائز اهمیت نیستند،بلکه از آنها در عرصه های تجاری و فعالیت های اینترنتی در مقیاس وسیع هم استفاده به عمل می آید. هیچ کس نمی خواهد که راهزنان اینترنتی  به اطلاعات شخصی مربوت به حسابهای بانکی یا شماره کارتهای اعتباری آنان دست یابد.

سازندگان کامپیوترها و ارائه دهندگان خدمات اینترنتی با توجه به اینکه درحال

حاضر افراد بسیاری از فعالیتهای خود را از طریق اینترنت انجام می دهند،نظیر اینکه پول قبضهای برق و آب و تلفن خود را می پردازند،یا در کلاسهای مورد نظر ثبت نام می کنند،یا بلیت هواپیما و قطار رزرو می کنند،در تلاشند تا از خطر دستیابی تبهکاران به اطلاعات شخصی افراد جلوگیری به عمل آورند.

یکی از سیستمهایی که در این زمینه مورد استفادۀ صنایع است،سیستم «آر اس آ» نام دارد که متکی به اعداد اول است.اعداد اول مورد استفاده در این سیستم در حدود 100 رقمی هستند.سیستم «آر اس آ» در بسیاری از سیستمهای کامپیوتری مورد استفاده قرار دارد و در پروتکل اصلی برای ارتباطات امن اینترنتی نیز گنجانده شده است و بسیاری از دولتها و شرکتهای بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده می کنند. جواز استفاده از این سیستم برای بیش از 700 شرکت صادر شده و بیش از نیم میلیون کپی از آن در سطح جهانی مورد استفاده قرار دارد.همه این جنبه ها بر اهمیت کشف هر روشی برای محاسبه اعداد اول می افزاید.

*مهشید احتشامی*