اعداد فوق کامل

در ریاضیات یک عدد فوق کامل عددی صحیح مانند n است که در رابطه ی زیر صدق کند

که در آن σ تابع تقسیم کننده می باشد.

اولین اعداد فوق کامل عبارتند از :2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144

اگر n یک عدد فوق کامل زوج باشد باید به شکل توانی از 2 مانند 2^k باشد به طوری که2^k+1-1 یک عدد اول مرسن باشد.

مشخص نیست که عدد فوق کامل فردی وجود دارد یا نه. یک عدد فوق کامل فرد مانند n باید مربع کامل باشد به طوری هم n و هم (σ(n حداقل بر 3 عدد اول متمایز بخشپذیر باشند. هیچ عدد فوق کامل فردی کوچکتر از 7x10²⁴ وجود ندارد.

اعداد کامل و فوق کامل زیر مجموعه ای از دسته ای بزرگتر از اعداد((m.k کامل هستند که در رابطه ی زیر صدق می کنند

با این نماد گذاری اعداد کامل (1,2)-کامل هستند و اعداد فوق کامل (2,2)-کامل. دسته های دیگری از اعداد (m,k)-کامل عبارتند از :

m	k	(m,k)-کامل	دنباله OEIS
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	A019289
3	any	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	A019292
4	any	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	A019293

*فائزه سامانی*

اعداد دوست

عدد دوست در نظریه اعداد یک عدد طبیعی مثبت است که نسبت بین مقسوم علیه‌های آن عدد و خود عدد با یک یا چند عدد دیگر همانند است. دو عدد که در این خاصیت سهیم باشند یک زوج دوست نامیده می‌شوند. دسته‌های بزرگ‌تر اعداد دوست نیز وجود دارد. عددی که چنین دوستانی نداشته باشد عدد تنها نامیده می‌شود.

خاصیت مورد نظر عبارت است از عدد غیر موهومی σ(n) / n است که در آن σ نشان دهنده تابع تقسیم کننده (مجموع تمام مقسوم علیه‌ها) است. n یک عدد دوست است اگر n ≠ m باشد به طوری کهσ(m) / m = σ(n) / n .

اعداد ۱ تا ۵ همگی تنها هستند. کوچکترین عدد دوست ۶ است که زوج دوست (۲۸٬۶) که در ان ۶/(۶)σ مساویست با ۶ / (۶ + ۳ + ۲ + ۱) مساویست با ۲ همانطور که۲۸ / (۲۸)σ مساویست با ۲۸ / (۲۸ + ۱۴ + ۷ + ۴ + ۲ + ۱) مساویست با ۲. مقدار مشترک ۲ در این مورد یک عدد صحیح است اما در بسیاری از موارد چنین نیست.

مسائل حل نشده بسیاری در رابطه با اعداد دوست وجود دارد. به‌رغم مشابهت نام، هیچ رابطه خاصی بین اعداد دوستانه یا اعداد اجتماعی وجود ندارد. هر چند تعریف این دو نیز شامل تابع تقسیم است.

تابع تقسیم

اگر n یک عدد مثبت طبیعی باشد (σ(n جمع مقسوم علیه‌های ان است . مثلا ۱۰ به ۵، ۲ ،۱ و ۱۰ بخش پذیر است و لذا σ(۱۰) = ۱ + ۲ + ۵ + ۱۰ = ۱۸.

قرابت و دوستی

قرابت یا (K(n برای یک عدد مثبت طبیعی n به صورت عدد غیر موهومی σ(n)/n تعریف می‌شود مثلا κ(۱۰) = ۱۸/۱۰ = ^۹/_۵. کلمه قرابت و نشانه (K(n کاربرد‌های استاندارد نیستند و در اینجا فقط برای تسهیل بیان به کار رفته‌است. اعدادی که قرابت آن‌ها مثل هم باشد دوست هستند مثلا K(۴۹۶) = K(۲۸) = K(۶)=۲ اعداد ۶، ۲۸ و ۴۹۶ همه کامل هستند و بنابراین دوست هستند به عنوان مثالی دیگر : (۳۰ و ۱۴۰) یک زوج دوستی هستند از آنجا که(K(۳۰) =K(۱۴۰ :

دوست بودن یک رابطه هم ارزی است و لذا شامل تقسیم اعداد صحیح به دسته‌هایی از اعداد دوست هست .

اعداد تنها

اعدادی که به یک دسته واحد تعلق دارند چون عدد دوست دیگری نیستند اعداد تنها هستند.

همه اعداد اول و توانهایشان کامل هستند، به طور عام تر هر جا اعداد n و(σ(n اول هستند به این معنا که بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن‌ها ۱ است به طوری که σ(n)/n یک تابع کاهش نا پذیر است عدد n تنهاست . برای یک عدد اول p داریم σ(p) = p + ۱ که مانند p عدد اول است .روشی عمومی برای این که بفهمیم یک عدد کامل است یا تنها وجود ندارد.

کوچکترین عددی که طبقه بندی آن معلوم نیست (تا سال ۲۰۰۷) ۱۰ است و حدس زده می‌شود که تنها باشد اگر نباشد کوچکترین دوست آن یک عدد نسبتا بزرگ خواهد بود.

دسته‌های بزرگ

این مسئله باقی است که ایا دسته‌های بی نهایت بزرگ اعداد دوست وجود دارد؟ اعداد کامل یک دسته را تشکیل می‌دهند و حدس زده می‌شود که بی نهایت عدد کامل وجود دارد .(دست کم به اندازه تعداد اعداد اول مرسن) اما دلیلی برای ان نداریم . تا سال ۲۰۰۸ ،۴۴ عدد کامل شناخته شده‌است که بزرگترین انها ۱۹ میلیون رقم در سیستم ده دهی دارد . دسته‌های دیگری با اعداد شناخته شده بیشتر به خصوص آن‌هایی که از اعداد کامل چند گانه تشکیل می‌شوند که اعدادی هستند که قرابت آن‌ها عدد صحیح است. تا اوایل سال ۲۰۰۸ دسته ی اعداد دوست با قرابت مساوی ۹ ، ۲۰۷۹ عدد شناخته شده بوده‌است گرچه می‌دانیم برخی از انها بسیار بزرگ هستند دسته‌های اعداد کامل چند جانبه (به استثنای خود اعداد کامل) حدس زده می‌شود که متناهی باشد.

*فائزه سامانی*

مسئله پل‌های کونیگسبرگ

مسئله پل‌های کونیگسبرگ یکی از مشهورترین مسائل در نظریه گراف است که در مکان و شرایط واقعی طرح شده‌است. در اوایل ساکنین کونیگسبرگ در پروسیا (در حال حاضر کالینینگراد در روسیه) در روزهای یکشنبه پیاده‌روی‌هایی طولانی در شهر داشتند. رود پرگل شهر را به چهار قسمت تقسیم می‌کرد که با هفت پل به هم مربوط بودند. ساکنین سعی می‌کردند مسیری بیابند که از نقطه‌ای در شهر شروع کنند و از تمامی پل‌ها فقط یکبار بگذرند و به نقطه شروع بازگردند. نقشه کونیگسبرگ در زمان اویلر تاریخچه حل مسئله در سال ۱۷۳۶ لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی ثابت کرد که چنین مسیری وجود ندارد. او که در آن زمان استاد دانشگاه سن پترزبورگ بود، در مقاله‌ای با عنوان Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (راه حل مسئله‌ای در رابطه با هندسه موقعیت) اثباتش را شرح داد. بعدها در سال ۱۸۷۳ کارل هیرهولتزر کار او را تکمیل کرد و در سال ۱۹۳۵ جیمز نیومن مقاله تکمیلی را نوشت. مقاله اویلر شامل این شکل بود که نام مناطق مختلف کونیگسبرگ را نشان می‌دهد. این تصویر نام هفت پل به آلمانی و معنی آن‌ها به فارسی را نشان می‌دهد. پل‌ها از هفت پل زمان اویلر، دوتا از پل‌ها در جریان جنگ جهانی دوم به کلی نابود شدند. یکی دیگر از آن‌ها در سال ۱۹۳۵ توسط آلمانی‌ها بازسازی شد. دوتای دیگر نیز اکنون تبدیل به اتوبان شده‌است و فقط دوتا از پل‌ها متعلق به زمان اویلر است. پنج پل باقیمانده در کالینینگراد امروزی دارای مسیری است که از یک نقطه شروع می‌شود و از تمامی پل‌ها یکبار می‌گذرد و به نقطه‌ای دیگر ختم می‌شود. اهمیت مسئله در تاریخ ریاضیات راه‌حل اویلر باعث شکل‌گیری بهتر شاخه جدیدی از ریاضیات به نام توپولوژی شد که پیشتر توسط لایبنیتز مطرح شده بود اما مهمتر از آن، راه‌حل اویلر در تاریخ ریاضیات به عنوان اولین قضیه در نظریه گراف شناخته شده‌است که امروزه شاخه‌ای بسیار کاربردی در ریاضیات محسوب می‌شود. راه‌حل اویلر اویلر ابتدا نقشه شهر را با نقشه‌ای که فقط خشکی‌ها، رود و پل‌ها را نشان می‌داد، جایگزین کرد. سپس هر خشکی را با یک نقطه نشان داد که رأس نامیده می‌شود و هر پل را نیز با یک خط نشان داد که یال نامیده می‌شود. این ساختار ریاضی را گراف می‌نامند. ‎ → → اویلر ثابت کرد برای آنکه مسیری وجود داشته باشد که از یک رأس شروع شود و از تمامی یال‌ها یکبار بگذرد و به همان رأس بازگردد، باید گراف هم‌بند بوده و هر یک از رأس‌های آن نیز از درجه زوج باشد. چنین مسیری، دور اویلری و چنین گرافی، گراف اویلری نامیده می‌شود. برای آنکه از یک رأس بگذریم، باید از یک یال به آن رأس وارد شویم و چون باید از هر یال یکبار عبور کنیم، باید از یال دیگری که از آن عبور نشده‌است از آن رأس خارج شویم. پس همواره رئوسی که از آنها عبور می‌کنیم از درجه زوج هستند زیرا در هر گذر درجه آن رأس به اضافه دو می‌شود. حال اگر نقطه شروع و پایان یکی باشد، تمام رئوس از درجه زوج خواهند بود و دور اویلری طی کرده‌ایم. اگر نقطه شروع و پایان یکی نباشد، فقط این دو رأس از درجه فرد و بقیه رئوس از درجه زوج خواهند بود. چنین مسیری را مسیر اویلری می‌نامند. چون در مسئله هفت پل کونیگسبرگ چهار رأس از درجه فرد داریم پس نه دور اویلری و نه مسیر اویلری وجود دارد. اویلر ثابت نکرد که هم‌بند بودن و زوج بودن رئوس شرط کافی برای اویلری بودن گراف است. در سال ۱۸۷۳ تکمیل این اثبات منتشر شد. این تکمیل توسط کارل هیرهولتزر انجام شد که قبل از انتشار اثبات مرده بود و تنها دلیلی که اثبات منتشر شد این بود که او به همکارانش اثبات را گفته بود. نتیجه آن دو قضیه زیر بود: • یک گراف دارای دور اویلری است اگر و تنها اگرهم‌بند بوده و رئوس آن از درجه زوج باشند. • یک گراف دارای مسیر اویلری است (و نه دور اویلری) اگر و تنها اگرهم‌بند بوده و دقیقاٌ دو رأس از آن از درجه فرد باشند. الگوریتم فلری برای تولید یک دور اویلری در گراف حاوی این دور می‌توان از این الگوریتم که در سال ۱۸۸۳ معرفی شد، استفاده کرد.  

*فائزه سامانی*

تاریخچه هندسه

 واژه انگلیسی Geometry ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت. این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت. با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
تالس‌ دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند. براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم. خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند. در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است. بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

کاربرد هندسه در روانشناسی:


آزمونی ساده: ساده ترین اشکال هندسی را به یاد بیاورید: مربع، مستطیل، مثلث، دایره، منحنی پس خیلی سریع و بدون اینکه زیاد به مغزتان فشار بیاورید، شکلی را انتخاب کنید که بیشتر از همه می پسندید. آزمونی روانشناسی پیش روی شماست، که با توجه انتخابتان به سرعت نشان می دهد که شما در زندگی چه جور آدمی هستید و احتمال موفقیتتان در چه مشاغلی بیشتر است.
مربع: کسانی اند که در محیط پایدار بیشترین احساس آرامش را دارند و مسیر کارهایشان به طور کامل آشکار است. چنین اشخاصی محافظه کارند و دوست دارند که همه چیز مرتب و منظم باشد. وظیفه شناس اند و اگر کاری را به آنها محول کنید، آنقدر روی آن وقت می گذارند تا تمام شود حتی اگر کاری تکراری و طاقت فرسا باشد و مجبور شوند که بتنهایی آن را انجام دهند.
مستطیل: پایبند بودن از اصول مشخصه آنهاست، نظم و ترتیب را دوست دارند ولی آن را با سازماندهی دقیق اجرا می کنند این امر سبب می شود تا راههای مناسبی را انتخاب و همه قواعد و مقررات را بررسی کنند. اگر وظیفه ای را به این اشخاص محول کنید ابتدا آن را به خوبی سازماندهی می کنند تا اطمینان یابند که به طور اصولی اجرا خواهد شد.
آنهایی که مثلث را انتخاب می کنند: اشخاصی هدف گرایند و از برنامه ریزی قبل از انجام دادن کارها لذت می برند و به طرح موضوع و برنامه های بزرگ و بلند مدت تمایل دارند اما ممکن است که مسائل جزئی را فراموش کنند اگر کاری را بر عهده آنان بگذارید، ابتدا هدفی را برای آن تعیین و سپس با برنامه ریزی کار را آغاز می کنند.
آنهایی که دایره را انتخاب می کنند: اجتماعی و خوش صحبت اند و هیچ لحن خشنی ندارند و امور را با صحبت کردن درباره آن تنظیم می کنند و نخستین اولویتشان در زندگی ارتباطات است. مطمئن باشید که اگر وظیفه ای را به آنها محول کنید آنقدر درباره آن صحبت می کنند تا هماهنگی لازم برای به انجام رسیدن آن کار ایجاد شود.
منحنی: خلاقیت در آنها موج می زند و اغلب کارهای جدید و متفاوتی انجام می دهند. نظم و ترتیب برایشان کسالت آور است. اگر تکلیفی را برای آنها در نظر بگیرید طرهحای خوب و مطمئنی برای آنها ابداع می کنند.
نتیجه گیری: به طور کلی افرادی که سه شکل اول یعنی مربع، مستطیل، مثلث را انتخاب می کنند در مسیر ویژه ای حرکت می کنند و کارها را به طور منطقی و اصولی انجام می دهند ولی ممکن است خلاقیت کمی داشته باشند گزینش دایره و منحنی نشان دهنده خلاقیت و برونگرایی است چنین افرادی به موقعیتهای جدید دسترسی پیدا می کنند ولی چندان اصولگرا و اعتماد کردنی نیستند.
کاربرد: این آزمون برای ارزیابی افراد نسبت به موقعیت شغلیشان کاربرد دارد اگر شما به شدت علاقه مندید که کاری خاص و اصولی انجام دهید، فردی مربع دوست می تواند همکار خوبی برایتان باشد همچنین اینگونه افراد برای کارهای حسابرسی هم مناسب اند. اگر کارها به سازماندهی گروهی نیاز داشته باشد مثلث دوستان، در پیشبرد آنها موفق خواهند بود. این افراد می توانند مجری خوبی هم باشند چون اهداف را مشخص می کنند و اطمینان می یابند که دستیابی به آنها ممکن است. برای هر نوع ارتباطات حضوری، افرادی که دایره را انتخاب می کنند بهترین اند. آنان می توانند کارمند خوب یا مسئول پذیرش و یا فردی باشند که به مشتریان خود خدمات مناسبی عرضه می کنند. در آخر افرادی که به منحنی علاقه دارند همیشه طرحهای تازه دارند و برای کار در شرکتهای تبلیغاتی مناسبند

اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی
هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت:
اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.
اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.
یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود .
و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی.
ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گائوس فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.
بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال 1829 کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت گردید.
3-5 هندسه های نا اقلیدسی
اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.
نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد.
یک - هندسه های هذلولوی
هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید.
اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن دست کم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.
دو - هندسه های بیضوی
در سال 1854 فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارائه گردید.
اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.
یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژئودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.
در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از 180 درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.
4-5 انحنای سطح یا انحنای گائوسی
اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=1/r.
تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.
برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.
برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خط
k1=1/R1 and k2=1/R2
باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :
k=1/R1R2
انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:
k=o
برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :
k<>
برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :

k>o
در جدول زیر هر سه هندسه ها با یکدیگر مقایسه شده اند:

نوع هندسه	تعداد خطوط موازی	مجموع زوایای مثللث	نسبت محیط به قطر دایره	اندازه انحنا
اقلیدسی	یک	180	عدد پی	صفر
هذلولوی	بینهایت	< 180	> عدد پی	منفی
بیضوی	صفر	> 180	< عدد پی	مثبت

4-6 مفهوم و درک شهودی انحنای فضا
سئوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نا اقلیدسی درست است؟
پاسخ صریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شود کدام یک درست است. بهترین دانشی کا می تواند در شناخت نوع هندسه ی یک سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است. یک صفحه ی کاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین کرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است .
در کارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تلریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند. در این محاسبات ما می توانیم از خطکش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود، استفاده کنیم. حال سئوال این است که اگر خطکش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای که برای ساختن خطکش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر می گذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خطکش ما تلاش می کنیم از بهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خطکشی (متری) می توانیم استفاده کنیم؟ طبیعی است که در اینجا هیچ خطکشی وجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم که در عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟ بهترین ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرت می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است. برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .
اما تجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که از یک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است.

در جهان باستان، اعتقادات دینی و اسطوره‌ای سر منشأ بسیاری حرکت‌های انسانی بود. درون و ذات هر پدیده‌ای که رخ می‌داد به نوعی به اسطوره و دین پیوند می‌خورد و هنر بهترین وسیله برای نمایش این تفکر دینی و اسطوره‌ای بود.
در هنر باستانی، برخی نقش‌ها و نمادها صرفا تصویر نبودند بلکه نماد یک عقیده و سمبل دینی بودند. از میان این نشانه‌های دینی می‌توان به دایره اشاره کرد. دایره در جهان باستان از جمله بین‌النهرین، ایران، مصر، هند و تمدن‌های بودایی مذهب نقش مهمی را به عنوان سمبل دینی به عهده گرفته است.
حضور دایره در ابتدا در ادیان خدا - خورشید، از بین‌النهرین شروع شد و به ایران رفت. دایره نماد خدای خورشید بود ولی بعدها به عنوان نماد دینی و عقیدتی به مصر و چین و هند و... رفت و نقش‌های متعددی به خود گرفت.

«دایره و مرکز از جمله رمزهای اساسی محسوب می‌شوند. درخت زندگی و مار، در زمانی اساطیری و در بهشت روی زمین که مستدیر توصیف شده، نشانه‌ها و نگاهبانان مرکز بودند. در غالب تمدن‌ها، ابدیت به شکل دایره و چرخ و اروبوروس، ماری که دمش را گاز گرفته تصویر می‌شود. شکل مدور نمودار یکی از مهم‌ترین جهات زندگی یعنی وحدت و کلیت و شکفتگی و کمال است. انسان غالبا در درون دایره‌ای که نشانگر تناسبات پیکر است تصویر شده است. در بسیاری سنن، به این شکل بسته که انسان را در برگرفته؛ محافظت می‌کند، کار ویژه‌ای جادویی منسوب شده است.(مونیک دوبوکور،1376،ص77)
در تمامی ادیان و اساطیری که خورشید نقش مهمی در آن‌ها ایفا می‌کند شکل خورشید به تدریج تبدیل به دایره شده و به عنوان نماد خورشید در هنرهای دینی آنان مطرح شده است.

«خورشید غالبا در مرکز کیهان تصویر شده است و نشانه‌ی عقل عالم به شمار رفته است آن چنان که قلب آدمی مقر بعضی قوای وی محسوب می‌شود. خورشید به عنوان قلب جهان و چشم عالم، گاه در مرکز چرخ فلک البروج می‌درخشد و نیز یکی از صور درخت جهان است که در این نقش پرتوهایش درخت زندگی به شمار می‌روند(مونیک دوبوکور،1376، ص86)
در این تحقیق به بررسی تطبیقی دایره در اعتقادات مذهبی بین‌النهرین، ایران، هند و نیز جهان بودایی مانند چین پرداخته می‌شود، به اهمیت دایره در هنر مذهبی جهان باستان توجه شود.
دایره در هنر بین‌النهرین و ایران
در تمدن بین‌النهرین، آشور( آسور) خدای بزرگ و محافظ کشور آشور است. قرص بالدار او را احاطه کرده است و کمانی بر ضد دشمنان دارد. وی حامی جنگ و سپاه کشور خود است.(جیمز هال، ص327)
در کهن‌ترین تصاویر خورشید- خدایان، هاله‌ی تقدس ظاهر می‌شود که به شکل قرص است. هاله یا به صورت قرص ساده یا پرتوهای نوری در می‌آید که از سر آن‌ها ساطع است.(جیمز هال، ص221)
دایره و چرخ همواره بر یکدیگر دلالت کرده‌اند و همراه هم بوده و گاه به یکدیگر تبدیل شده‌اند. اولین چرخ‌هایی که در تاریخ نشانی از آن‌ها یافت شده چرخ‌های ارابه ای‌ است مخصوص حمل اموات که کاتبی سومری در 3500 ق.م آن را تصویر کرده است.(مونیک دوبوکور،1376ص87)
صلیب با چهار بازوی مساوی – که ابتدا دایره بود و- درون یک دایره محاط شده است، چهار جهت اصلی آن در بین‌النهرین نماد چهار جهت اصلی طبیعت و بادهای باران زاست که نماد خدایان آسمان، آب و هوا است و نیز نماد شمش Shamash و آنو Anu خدای آسمان است(جیمز هال، ص205)

برجهای دو قلو ی پتروناس را همه ما می شناسیم. آیا می دانستید که طراحی معماری این برجها بر اساس ۲ مربع ساده هندسه اسلامی که ستاره ای ۸ پر را می سازد انجام شده است و بازتاب کننده وحدت در عین کثرت، هماهنگی، پایداری و خرد است؟

متاسفانه این دوست عزیز اسم خود را ننوشته بودند

اعداد اول

                                        مقدمه

ریاضیات اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را بر حسب غریزه انسان همانطور که مثلا مرغ خانگی تعداد جوجه­هایش را می­داند انجام می داد. اما انسان امروزی در دنیای اعداد زندگی می­کند. برای مبادله­های تجارتی، محاسبه فرد، مالیات، بیمه، اندازه­گیری جدول ساعات، درجه حرارت و یا بزرگی امواج وخلاصه در هر لحظه نیازمند اعدادیم. امروز دیگر یک ریاضیدان، علم حساب و اعداد را به چند عمل ابتدائی خلاصه نمی­کند بلکه علم حساب و اعداد دارای مقصدی وسیع و دامنه­دار است. بقول دالامبر (dalembert) حساب و اعداد عبارتست از:

« کوششی که با در نظر گرفتن معلومات یک مسئله برای رسیدن به نتیجه انجام می­گیرد.»

به این ترتیب می­توان اعداد را ستون فقرات ریاضیات دانست. تکامل حساب و اعداد یک کوشش دسته جمعی است. همیشه افکار بزرگ نتیجه­ای است از کار متراکم و ممتد عدۀ زیادی متفکر و جوینده، اگرچه نام آنها در فهرست اصلی فراموش شده باشد. و باید گفت نتایج علمی که نصیب دانشمندان می­شود و خرسندی بی­پایانی که آزمایشهای خود دارند محقق می­دارد که چه رنج و کوشش دامنه­داری برای پیروزی بر مشکلات متحمل شده­اند.

                                تعریف اعداد اول

اعداد اول بسیار زیبا و جذابند و در عین حال معمایحیرت انگیز و سرگردان‌کننده ای را در برابر ریاضیدانان مطرح ساخته اند. هرچه در این سلسله پیش تر برویماعداد اول نایاب تر می‌شوند. رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن کاملابی‌نظم و فاقد قاعده به نظر می‌آید و هرچه شمار بیشتری از آنها شکارمی‌شوند، کارشکار بعدی‌ها دشوارتر می‌شود.

پی­یر فرما دانشمند قرن هفدهم اولین کسی بود که در خصوص اعداد اول این چنین نوشت: مقصود از اعداد اول(مثبت) عددی است بزرگتر از واحد که بر هیچ عددی غیر از یک و خودش قابل تقسیم نباشد(مقصود تقسیم بدون باقیمانده است) مثلا اعداد 1،2،3،5،13،17 عدد اول هستند و همچنین اعداد 257،65537. لیکن عدد 9742949672 عدد اول نیست زیرا عدد بر 641 قابل تقسیم است. نکته زیر در زندگی پی­یر فرما در تاریخ ریاضیات دارای اهمیت بزرگی است. اگر اعداد 3،5،17،257،65537 را در نظر گیریم، همه این اعداد دارای وجه مشترک خاصی هستند زیرا همگی متعلق هستند به سلسلۀ خاصی از اعداد که طبق قانون ساده­ای بوسیلۀ 1،2 ساخته می­شوند از این قرار است:

1+2⁴=17          ،          1+2²=5          ،          1+2¹=3

1+2¹⁶=65537         ،          1+2⁸=257

باین طریق هفت عدد از اعداد این سلسله را بعنوان مثال ذکر کردیم و چنانکه دیدیم از این هفت عدد پنج تای اولی از آنها اعداد اول هستند و حال آنکه دو عدد آخری عدد اول نیستند.

همه اعداد اول مشخصه خاصی دارند و آن اینست که همه آنها بوسیله اعداد 1و2 میتوانند ساخته شوند.شاید جالب باشد بدانید بزرگترین عدد اولی که تا به حال شناخته شده برابر است با 2به توان 30میلیون و402هزار و یک.

تعریف دیگری از اعداد اول:

عدد طبیعی p و p>1 را اول نامند به شرطی که تنها مقسوم علیه­های مثبت آن 1 و p باشند. اگر عددی طبیعی و بزرگتر از 1 اول نباشد، مرکب است و عدد 1 جزء اعداد استثناء است که نه اول است و نه مرکب. عدد یکان اعداد اول بزرگتر از 10 فقط ممکن است اعداد 1،3،7،9 باشد.بدون شک علاقه­مندی ریمان به اعدا اول باعث انتشار کتابی در این زمینه شد که در آن فرضی دارد به نام "دربارۀ تعداد اعداد اولی که کوچکتر از مقدار معلومی هستند" که این فرضیۀ ریمان در مجلۀ آکادمی برلین شمارۀ ماه نوامبر 1859 به چاپ رسیده است که ریمان این دانشمندی که در قرن هجدهم می­زیست در آن زمان سی­وسه ساله بود.

هدف : هدف آشنایی کامل با این اعداد، تاریخچۀ آن، جویندگان آنها در دوره­های مختلف تاریخ می­باشد، البته باید گفت که پیشرفت دائمی اعداد و توسعه شگفت­آور آن شایسته هرگونه تحسین و امیدواری است. این جملۀ نیوتن(neuton) منظور من را روشن می­کند: (ما به کودکی می­مانیم که در کنار دریا در حال گردش است، ابتدا از پیدا کردن یک سنگریزه شفاف و صاف و سپس با دیدن یک صدف زیبا غرق خوشحالی می­شود. در حالیکه اقیانوس پهناور حقیقت هنوز ناشناخته در جلو او گسترده است.)

                             تاریخچه اعداد اول

سومری­ها که تمدنشان به 1000 سال قبل از میلاد مسیح می­رسد دستگاهی به نام شمارش­گر اختراع کردند که بسیار پیچیده است و آثار آن دستگاه در کهن­ترین مدارک می­باشد. در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون(platon) علم اعداد را از منطق جدا کرد و بیان کرد علوم منظمی مثل علم اعداد در افراد یک تاثیر تربیتی دارند.

در قرن پنجم ق.م دانشمندان هندی همچون آپاستامبا (Apastamba) ، آریاب­هاتا (Aryabhate) سهم زیادی در پیشرفت علوم ریاضی داشتند. آنها سیستم اعداد فعلی را بوجود آوردند و نظریه اعداد را تکمیل کردند. ملل اسلامی هم نقش بسیار موثری در علوم ریاضی و علم حساب و اعداد داشتند. محمدبن­موسی خوارزمی، کتابدار خلیفه عباسی، رساله­ای را دربارۀ اعداد نوشته است.

در قرن 15 دانشمندان ایتالیایی باعث ترقی علم اعداد شدند، در قرنهای 16 و 17 (میلادی) انگلیسی­ها در این راه گامهایی برداشتند ولی در قرن هجدهم میلادی ظهور گاوس آلمانی باعث پیشرفت اعداد شد. او در نمایش هندسی اعداد و همین­طور اعداد اول تلاشهای قابل ملاحظه­ای صورت داد البته باید گفت تلاشهای پی­یر فرما(pierre fermat) شهزاده ریاضیدانان غیر حرفه­ای بود که در قرن هفدهم منجر به کشف گونه­ای از اعداد به نام اعداد اول شد.

در 150 سال اخیر یا بیشتر نظریه اعداد پیشرفتهای زیادی در جهات مختلف داشت. باید گفت شرح انواع مسائل، قضایایی که در نظریه اعداد بررسی شده­اند در اینجا ممکن نیست. چون نظریه اعداد مبحث بسیار وسیعی است و در بعضی قسمتها نیاز به داشتن مطالب عمیقی از ریاضیات پیشرفته مثل نظریه گالوا و یا آنالیز در سطح بالا دارد. با این حال مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارد که به آسانی قابل بیانند.

طی قرن های متمادی ریاضیدانان در شرق و غرب عالم به جستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته اند و با این همه بهترین روشهایی که تا به حال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت ترین کامپیوتر های کنونی نیز نمیتوانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند.

یکی از اولین و در عین حال درخشان ترین کارهای بشر در نظریه اعداد اثبات اقلیدس از نا متناهی بودن اعداد اول است که امروزه میتوان آن را در کتابهای درسی دبیرستانی هم خواند.

یونانی ها اعداد اول را می شناختند و از نقش آنها به عنوان بلوکهای سازنده دیگر اعداد آگاه بودند.

بعد از این دستاورد های بزرگ طبیعی ترین سوالی که به ذهن بشر رسید این بود که چه نظمی به دنبال اعداد اول حاکم است&چگونه میتوان اعداد اول را یافت و چطور میتوان اعدادی را که اول نیستند به عوامل اولشان تجزیه کرد.تا امروز تلاش های زیادی برای پیدا کردن یک فرمول تولید کننده اعداد اول و یا الگویی برای ظهور اعداد اول در میان دیگر اعداد انجام شده است که هر چند کمک های زیادی به گسترش نظریه اعداد کرده اند اما ساختار پیچیده اعداد اول همچنان در مقابل این تلاشها مقاومت میکند.

ریاضیدانان در آرزوی پیدا کردن راهی هستند که با سرعت زیاد بتواند تشخیص دهد که عددی هر قدر پر رقم اول هست یا نه.اما این فقط به فسفر مغز نیاز دارد نه به سرعت کامپیوتر.

سابقه قرار گرفتن ریاضیدانان تحت جاذبه اعداد اول به قرن ها پیش باز میگردد.در سال 1801کارل گاوس از بزرگترین ریاضیدانان  اعلام کرد که مسئله تشخیص اعداد اول از اعداد غیر اول یکی از مهمترین مسائل حساب به شمار می آید.اعداد اول به یک معنا همان نقشی را در سلسله اعداد بازی میکنند که اتمها در ساختار بنای کیهان دارند.این اعداد سنگ بنای ناپیدای دیگر اعداد محسوب میشوند.

مهمترین سوال درمورد همه این روشها آنست که با چه سرعتی میتوانند یک عدد اول را مشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر میشود.اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابد درآن صورت این روش،روش قابل قبولی به شمار آورده میشود.به این نوع روشها که زمان به صورت توانی در آنها افزوده میشود"روشهای توانی"میگویند.روشهای دیگر که زمان در آنها با سرعت بیشتری افزایش میابد"روشهای غیر توانی"نام دارند.برای مثال روشهای تقسیم معمولی یک روش غیر توانی برای یافتن اعداد اول است.همه این روشها احتمالاتی هستند و بنابر این در مواردی پاسخ غلط به دست میدهند هر چند که این موارد نادرند.

در سال 1983روشی کشف شد که بسیار نزدیک به روش های توانی بود.این روش که بوسیله سه ریاضیدان به نام های "لئوناردوآدلمن" از دانشگاه کالیفرنیای جنوبی،"کارل پومرانس"از آزمایشگاههای بل و"رابرت روملی"از دانشگاه جورجیا کشف شد،به نام خود آنان به روش RAPشهرت یافت.در این روش زمان محاسبه یک عدد دارایdرقم برابر است با dضرب در لگاریتم لگاریتم d.به لحاظ فنی این روش غیر توانی است؛زیرا توان آن ثابت نیست و زیاد میشود،اما سرعت این ازدیاد بسیار بسیار کند است.

شاید اولین راهی که برای تشخیص اعداد اول به ذهن بشر رسید غربال اراتستن بود.در این روش کافی بود عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آن تقسیم کنیم،اگر به هیچ کدام بخش پذیر نبوداول است و اگر بخش پذیر بود به این ترتیب عوامل اول آن معلوم میشود.همچنین در صورتی که اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند،تقسیم کردن به این اعداد کافی است.

غربال اراتوستن: فرض کنید که بخواهیم اعداد اول کوچکتر از 1000 را معین کنیم. ابتدا اعداد را کنار هم می­گذاریم یعنی از 1 تا 1000 را می­نویسیم سپس بعد از این کار مضارب3،2 را از مجموعۀ اعداد حذف می­کنیم البته بدون حذف خود دو عدد یعنی 3،2 به این ترتیب اعداد باقیمانده از مجموعۀ اعداد نوشته شده اعداد اول کمتر از 10000 است.

مثال:اعداد اول کمتر از 20 را بدست می­آوریم.(به روش غربال اراتوستن)

10  9   8   7   6   5   4  3   2  1

20  19  18  17  16  15  14  13  12  11

این روش ها برای اعداد نسبتا کوچک کار می کنند،اما وقتی با عددی مثلا 100رقمی طرف باشیم،اوضاع فرق میکند.حتی با سریع ترین کامپیوتر ها هم تقسیم کردن یک عدد100 رقمی به همه اعداد کوچکتر از آن خیلی بیشتر از عمر آدم طول می کشد.

فرض کنید بخواهیم یک عدد100رقمی را به همه اعداد کوچک تر از خودش تقسیم کنیم.برای این کار بایدحدود10⁹⁹ تقسیم انجام بدهیم .اگر کامپیوتر ما بتواند در هر ثانیه 10¹² تقسیم انجام دهد،برای انجام کل کار 10⁸⁷ ثانیه وقت لازم است.یک سال حدود 10⁸ ثانیه است و این یعنی کار ما 10⁷⁹ سال طول خواهد کشید.عمر عالم د ست بالا 15 میلیارد سال تخمین زده میشود،یعنی حتی یک دهم یا یک هزارم و یا یک ده هزارم این محاسبه هم غیرقابل انجام است. در جستجو برای یافتن قانون حاکم بر توزیع عددهای اول، گام مهم و اساسی زمانی برداشته شد که ریاضیدانان از تلاش بی‌ثمر برای یافتن فرمول ریاضی ساده‌ای که همه اعداد اول یا تعداد دقیق عددهای اول در میان عدد صحیح نخست را به دست دهد دست برداشتند، و به جای آن در جستجوی اطلاعات درباره متوسط توزیع عددهای اول در میان عددهای صحیح برآمدند.  برخی از این قضایا در نظریه اعداد مربوط به اعداد اول می­شوند.

در قرن بیستم یعنی 1914 میلادی ریاضیدان امریکایی دی.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد اول کوچکتر از 10 میلیون متوجه شد که فقط 664579 تا عدد اول وجود دارد یعنی حدود 5/6 درصد، همچنین دی.اچ.لمر(پسر دی.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 میلیارد را محاسبه کرد و به این نتیجه رسید که تعداد 455052512 عدد اول یعنی حدودا 5/4 درصد.کل اعداد اول موجود است. بررسی دقیق اعداد اول نشان می­دهد که اعداد اول توزیع بسیار منظمی دارند. به آسانی ثابت می­شود که شکافهای به اندازۀ دلخواه بین آنها وجود دارد. بررسی این اعداد نشان می­دهد که اعداد اول متوالی نظیر 3و5 یا 101و 103 همین­طور تکرار می­شوند، جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 است، اعداد اول دوقلو نامیده می­شوند. بیش از 1000 جفت از این جفتها زیر 100000. بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارند. ولی باید گفت این مساله (که آیا بی­نهایت  از این اعداد وجود دارد یا نه؟) هنوز حل نشده است.

پیدا کردن ضابطه­ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده بود تا اینکه درست در اردیبهشت ماه 1386 باخبر شدیم سید محمدرضا هاشمی موسوی فرمولی از اعداد اول کشف کرده که دانشمندان برای حل این مساله و دریافت جایزه نوبل و جایزه یک میلیون دلاری آن تا سال 3001 فرصت داشتند که پرفسور هاشمی موسوی فرمول این اعداد را برای اولین بار کشف و به نام خود ثبت کرد. پرفسور هاشمی موسوی، دکترای ریاضی از دانشگاه بوستون کتابی نیز در این زمینه چاپ کرده است که پیش­بینی می­شود به زودی جایزه نوبل ریاضی را از آن خود خواهد کرد، این جایزه برای اولین بار در طول تاریخ به یک ایرانی و یک مسلمان اهدا خواهد شد. البته باید گفت فرمول ارائه شده از سوی این محقق ایرانی تاکنون مورد تایید مجامع ریاضیات در دنیا قرار نگرفته است.

با شناسائی جدول فیثاغورث می­توانیم اعداد اول کوچکتر از 100 را بلافاصله بنویسیم. باید گفت تنها عدد صحیح غیر اولی که عوامل اول آن در نظر اول شناخته نمی­شود: 13×7=91 می­باشد.

تعداد اعداد اول کوچکتر از 100 مساوی 25 است که 15 عدد از این اعداد اول بین 1،50 وتنها 10 عدد آنها بین 51 تا 100 قرار گرفته است. این یک مثال ساده از نزولی بودن تعداد اول در مقیاس اعداد صحیح است.

                      قضایای مربوط به اعداد اول

قضیه1: بی­نهایت عدد اول وجود دارد.( این قضیه مشهور است به حدس اعداد اول مرسن)

برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است ( برهان خلف) اثبات می­کنیم. فرض کنید تعداد متناهی اعداد اول وجود دارد که تعداد آنها nتا می­باشد، حال عدد m را که برابر حاصلضرب این اعداد بعلاوۀ 1 را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیه­ای غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.

P₁P₂…P_n                           P₁P₂…P_n +1>p_i

P₁P₂...P_n>P_i                               P₁P₂…P_n +1=P_i1...P_ik

P₁P₂…P_n +1=P_i .x

P_i1...P_ik= P_i .x

P₁P₂…P_n +1= y+1

P_i1.y+1= P_i1.x

P_i1.x-P_i1.y=1

P_i1.(x-y)=1

P_i1=1

که به تناقض رسیدیم پس حکم ثابت است .

اثبات قضیۀ 1 به گونه­ای دیگر توسط کومر در سال 1878 میلادی صورت گرفت، این اثبات، اثباتی بسیار زیباست که در عین سادگی نکات جالبی را دربردارد.

اثبات: فرض کنید که همه اعداد اول موجود متناهی و به ترتیب زیر باشند:    P₁<P₂<…<P_r  قرار می­دهیم،  P=P₁P₂…P_r>2 اگر اعداد صحیح P-1 دارای عاما مشترک P_i با P باشد آنگاه P_i عامل P-(P-1)=1 است که ناممکن می­باشد لذا P-1 عامل اولی به غیر از آنچه ذکر شد دارد که تناقضی آشکار با اثبات است.

قضیۀ2: قضیۀ اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.

این قضیه از قضایای مهم نظریه اعداد است که نشان می­دهد اعداد اول چگونه همانند بلوک­های ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقض دارند. این قضیه به طور ساده بیان می­کند، هر عدد صحیح بجز 1 و 1- به صورت حاصلضرب­هایی از عوامل اول قابل نمایش هستند. همچنین این نمایش اعداد به صورت حاصل­ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتاست. به عنوان مثال عدد 60 را می­توان به صورت 60=2×2×3×5 به حاصل­ضرب عوامل اول نوشت.

اگر عدد n را به صورت n=P₁P₂…P_r به حاصل­ضرب عوامل اول بنویسیم، این کار را اصطلاحا تجزیه عدد n به عوامل اول می­گوییم. پس قضیۀ اساسی حساب بیان می­کند هر عدد صحیح 1 و 1- قابل تجزیه به عوامل اولند و این تجزیه صرف نظر از ترتیب عوامل اول یکتاست. اصطلاح تجزیه به عوامل اول می­تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم­علیه­های آن عدد و به طور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد. باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساسا توسط اقلیدس به اثبات رسیده است اما اولین اثبات کامل این قضیه توسط گاوس در کتاب تحقیقات حساب منتشر شده است.

همچنین با گسترش جبر مجرد و نظریۀ حلقه مفهومی مشابه در نظریۀ حلقه به عنوان حوزه تجزیه یکتا  (VFD) بوجود آمد که در آنها خاصیتی مشابه برقرار است که توسط کومر و زمانی که به روی قضیۀ آخر فرما کار می­کرد معرفی شد. این نشان می­دهد که اگرچه قضیۀ اساسی حساب در حلقۀ اعداد صحیح بدیهی جلوه می­کند اما چنین چیزی در مورد هر حلقه دلخواه بدیهی نیست و ممکن است نادرست باشد.

قضیه3:

قضیۀچیشف: اگر n عددی طبیعی  بزرگتر از 2 باشد حتما بی n و 2n عدداولی وجود دارد.

قضیه 4:

حدس گلدباخ: هر عدد زوج را می­توان بصورت جمع دو عدد اول نوشت.

قضیه 5:

هر عدد فرد(شامل اعداد اول) را می­توان بصورت جمع 3 عدد اول نوشت.

قضیه6:

هر عدد فرد را می­توان بصورت دو برابریک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.

خواص اعداد اول: مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1

از طرفی دیگر با کمی تامل مشخص میشود که اعداد زوج اول نیستند(البته غیر از 2)چون همه آنها به2 بخش پذیرند.اعداد که جذر کامل دارند نیز همین طورند.

اعداد اول دوقلو :بسیاری از عددهای اول به صورت جفتهایی به شکل p و p+2 هستند، مانند  3و5 ، 11و13 ، 29و31 . گمان می‌رود تعداد این گونه جفت ها نامتناهی باشد ولی تا کنون هیچ گام قطعی در راه اثبات این موضوع برداشته نشده است.
برون در 1919 اثبات کرد که بینهایت عدد p موجود است به طوری که هم p و هم p+2 حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اولند. این اثبات توسط سایر ریاضی‌دانان پیشرفت کرد به طوری که در 1924 ، رادماخر عدد برون را از 9 به 7 کاهش داد.

در 1930 بوخشتاب این تعداد را به 6 و در 1938 به 5 رساند. ونگ با مفروض دانستن صورت تعمیم یافته‌ی فرضیه ریمان در 1962 نشان داد که بی‌نهایت عدد اول p موجود است به قسمی که p+2 حاصل‌ضرب حداکثر 3 عدد اول است. با این حال بوخشتاب در 1965 و بدون در نظر گرفتن صحت فرضیه ریمان توانست اثبات کند که به ازای عدد c ثابتی ، بی‌نهایت عدد اول p موجود است به قسمی که p+2 حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است.چن در مقاله‌ای که در 1973 منتشر گردید اثبات کرد که عدد c=2 برای اثبات بوخشتاب کفایت می‌کند.         

سی و پنج جفت ابتدایی اعداد اول دوقلو:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

 قضیه اعداد دوقلو : m و m+2 اعداد اول دوقلو هستند اگر و تنها اگر :

مهمترین سوال در مورد همه این روشها آن است که با چه سرعتی می‌توانند یک عدد اول رامشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر میشود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابددر آن صورت این روش روش قابل قبولی به شمار آورده می‌شود.

طی قرنهای متمادی ریاضی دانان در شرق و غرب عالم بهجستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته‌اند و با این همه بهترین روشهاییکه تا بحال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت‌ترین کامپیوتر هایکنونی نیز نمی‌توانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند. بطوریکه اگر چندین میلیون بار به سرعت کامپیوتر هایکنونی افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترین عدد اولی که تا به حالشناخته شده افزوده می‌گردد.

درحال حاضر بزرگترین "عدد اول" شناسایی شده در جهان‪  ۹میلیون و ‪ ۱۵۲هزار و ‪ ۵۲رقم وجود دارد که توسط دانشمندان دانشگاه ایالتی "میسوری" آمریکا با استفاده از توان محاسباتی هزاران رایانه، شناسایی شده است.

ریاضی دانان در آرزوی دست یافتن به روشی هستند که بااستفاده از آن بتوانند با سرعت به یافتن اعداد اول توفیق یابند و یا اگر با عددی هراندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند که آیا عدد اول است؟  اما یافتن چنین روشی به فسفر مغز نیاز دارد و نه سرعت کامپیوتر.

یکی از اولین و در عین حال درخشانترین کارهای بشر در نظریهاعداد،اثبات اقلیدس از نامتناهی بودن اعداد اولاست که امروزه می توان آن را در کتاب های درسیدبیرستانی خواند. یونانی ها اعداد اول رامی شناختند و از نقش آن ها به عنوان بلوک های سازنده دیگر اعداد آگاه بودند.

                 جستجو برای الگوهایی از نظم در اعداد اول

یک نمونه ساده: ۳۱- ۳۳۱ --۳۳۳۱ -۳۳۳۳۱ -۳۳۳۳۳۱ -۳۳۳۳۳۳۱ -۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدداول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴ است.

اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادی به شکل2^P-1 را عدد مرسن میگوییم. اگر این اعداد اول باشند به آن ها عدد اولمرسن می گوییم. به ازای p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگیریم مرکب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند که آخرینشان به ازای P=13466917   به دست می‌آید و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. یعنی بین همه اعداد اول کوچکتر از۱۳۴۶۶۹۱۷تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن تولید می کنند .

بنابراین هیچ کدام از روش های فوق یک نتیجه کلی به ما برای تولید و شناسایی اعداد اول نمی دهد.

در نظر گذشتگان آزمایش اول بودن یک عدد و یافتن عوامل اول آنیک سوال بودند. کافی بود عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آنتقسیم کنیم. اگر به هیچ کدام بخشپذیر نبود اول است و اگر بخشپذیر بود به این ترتیبعوامل اول آن معلوم می شوند. کم کم این فرایند ساده تر شد و مشخص گردید کهتقسیم کردن به همه اعداد کوچکتر از جذر عدد مورد نظر کافیست، همچنین درصورتیکه اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند، تقسیم کردن به ایناعداد کافیست.

حوالی قرن هفدهم توجه ریاضیدانان به این نکته جلب شد که شاید راههای ساده تری برای آزمایش اول بودن یا نبودن یک عدد وجود داشته باشد چرا که روشتقسیم مقدار زیادی اطلاعات اضافی ( لیست عوامل اول، وقتی که جواب سوال منفی است)تولید می کند که برای پاسخ گفتن به این سوال نیازی به آن ها نیست. فرما مدتی بعدنشان داد که این حدس صحیح بوده است. فرما قضیه ای را ثابت کرد که تاامروز اساس همه روش های آزمایش اول بودن اعداد است و ما آن را با نام قضیه کوچکفرما می شناسیم.

به این ترتیب می‌توان از این قضیه کوچک فرما به عنوانمبنایی برای تدوین آزمونی جهت تعیین اعداد اول استفاده کرد. این آزمون کاملا بی‌نقصنیست زیرا شماری از اعداد غیر اول نیز از غربال آن رد می‌شوند. اما می‌توان روایت های پیچیده تر و دقیق تری از اینآزمون را تولید کرد که بسادگی به اعداد غیر اول اجازه ورود ندهند.

گروه آگراوال از همین قضیه کوچک فرما استفاده کرد اماآن را به نحو دیگری بسط داد. این گروه به عوض آنکه با اعداد کار کنند از چندجمله‌ای‌ها استفاده کردند.مانیندرا اگراوال Manindra Agrawal و دانشجویانش نیراج کایال ‪Neeraj Kayal و نیتین سکسنا Nitin Saxenaدر موسسه تکنولوژیکانپور مدعی شده‌اند که در آستانه تکمیل آزمونی هستند که اول بودن یا نبودن هر عددطبیعی را با سرعت مشخص می‌کند. این آزمون در صورتی که تکمیل شود می‌تواند تبعات ونتایج بسیار گسترده‌ای برای جهان کنونی به بار آورد.

دانشمندان دانشگاه ایالتی "میسوری" آمریکا موفق شدند با استفاده از توان محاسباتی هزاران رایانه، بزرگترین "عدد اول" شناسایی شده در جهان را با ‪ ۹میلیون و ‪ ۱۵۲هزار و ‪ ۵۲رقم شناسایی کنند.

به آن دسته از اعداد اولی که برابر یکی از توان‌های عدد ‪ ۲منهای ‪ ۱هستند، اعداد "اول مرسن" گفته می‌شود. به طور مثال عدد ‪ ۷یک "عدد اول مرسن" است زیرا برابر است با عدد ‪۲ به توان ‪۳ یعنی‪ ۸منهای یک.

در طرح شناسایی "اعداد اول مرسن"، از توان محاسباتی بلااستفاده رایانه‌های بیش از ‪ ۲۰۰هزار داوطلب در سرتاسر جهان استفاده می‌شود. بزرگترین "اعداد اول" شناسایی شده در چند سال قبل همگی "عدد اول" از نوع "مرسن" بوده‌اند و عدد اول تازه شناسایی شده نیز یک "عدد اول مرسن" بوده و برابر است با دو به توان ‪ ۳۰میلیون و ‪ ۴۰۲هزار و ‪ ۴۵۷منهای یک.تاکنون ‪" ۴۳عدد اول مرسن" در جهان شناسایی شده است.

در بین اعداد طبیعی بزرگتر از یک یعنی ...و 4و3و2 اعدادی وجود دارند که تنها بر یک و خود بخش پذیرند، این اعداد را اعداد اول می نامند. اعداد اول مبنایی برای همه ی عددهای طبیعی است ، به این معنی که هر عدد طبیعی به صورت حاصل ضرب توانی از اعداد اولی است که مقسوم علیه های این عددند. به عنوان مثال  . نخستین هفت عدد اول متمایز عبارتند از: 2و3و7و11و13و17. اینک این سؤال پیش می آید که آیا این رشته از اعداد مختوم است یا اینکه تا بی شمار ادامه دارد. به عبارت دیگر آیا بزرگترین عدد اول وجود دارد یا نه. جواب این است که بزرگترین عدد اول وجود ندارد.

این موضوع از عصر طلائی یونانیان مکشوف بوده و توسط اقلیدس در سه قرن قبل از میلاد به اثبات رسیده است. استدلال وی بی اندازه ساده و مبرهن است و هنوز هم تازگی خود را حفظ کرده. پس از اثبات نامتناهی بودن مجموعه ی اعداد اول سؤالاتی دیگر در مورد این اعداد مطرح می شود، که به بعضی از آنها پاسخ داده شده ، ولی برخی هم همچنان بی جواب باقی مانده اند. در این جا چند نمونه از این سؤالات مورد بررسی قرار می گیرند، و ضمناً برهان اقلیدس نیز ارائه خواهد گردید.

معلوم نیست که مفهوم اول برای اولین بار در چه زمانی طرح شده است و چه مدتی سپری گشته تا از مطالعه در خواص اولیه چنین اعدادی به نامتناهی بودن آن پی برده شود. شاید پس از نخستین ملاحظات تجربی و نیز مطالعه ی عملی در خواص اعدادی چون 2و3و11و17 این سؤال طبعاً پیش آمده است.

برهان ذیل، برای اثبات نامتناهی بودن رشته ی اعداد اول هنوز هم از ساده ترین برهان ها در این زمینه است. فرض کنیم که چنین نباشد در این صورت ، عدد اولی مانند p وجود دارد که از هر عدد اول دیگر بزرگتر است. اینک  را در نظر می گیریم این عدد بر هیچ یک از اعداد ()بخشپذیر نیست . چون m یک عامل اول دارد و این عامل در بین اعداد ()نیست پس عامل اولی به غیر از اعداد یاد شده دارد و این با فرض ما در تناقض است.

این نتیجه ی ظریف و زیبای اقلیدسی ، که ضمناً برهانش هم بسیار ساده است ، یکی از اولین نمونه ی برهانهای مشهود ریاضی است که به طریقه ی برهان خلف صورت گرفته است. پس ازبررسی این حکم سؤالات تازه ای مطرح می شود، و پاسخ به این سؤالات منجر به نتایج و ملاحظات دیگری می گردد.

به عنوان مثال ، با بکار بردن مفهوم « فاکتوریل» می توان متقاعد شد که همواره یک رشته ی بقدر کافی طولانی از اعداد طبیعی متوالی که اول نباشد وجود دارد. در واقع به ازای هر n مفروض می توان n عدد متوالی ، با در نظر گرفتن اعداد طبیعی : n!+2,n!+3,n!+4,…,n!+n به دست آورد؛ این اعداد جملگی مرکب اند (غیر اول). زیرا اولی بر 2 ودومی 3 و سومی 4 و n امی برn بخش پذیر است.

هر گاه موضوع را بیشتر تعقیب کنیم، به شگفتی این اعداد و خصیصه ی مسائل مربوط به آن پی خواهیم برد، به تدریج مسائل جدید مطرح می شوند و این مسائل ، مسائل جدید دیگری را پیش می آورند که عموماً پاسخ به بعضی از آنها چندان هم ساده نیست.

از بین مسائل معروف اعداد اول ، مقدماتی ترین آنها مسئله ذیل است:

در مورد اعداد طبیعی زوج به امتحان ملاحظه شده است که قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. « کریستیان گلدباخ» ریاضیدان آلمانی حالت کلی را حدس زد. یعنی به حدس اظهار داشت که هر عدد طبیعی زوج بزرگتر از 2 قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. ( این موضوع در گلچین ریاضی هم آمده) تا عصر حاضر این حدس به یقین مبدل نشده است و ریاضیدانان موفق به اقامه ی برهان برای آن نشده اند. صحت این حکم برای اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 10⁸ محقق شده است. ( تا سال 1968)

با بکار بردن ماشینهای الکتریکی محاسبه ، می توان آمارهایی فراهم آورد برای نشان دادن اینکه به چند طریق می توان یک عدد زوج مانند 2n به صورت حاصل جمع دو عدد اول نوشت ، عده ی طرق با بزرگ شدن n بزرگ می شوند. در حال حاضر ریاضیدانان روسی « ایوان ماتویویچ ویورگرادوف» ثابت کرده است که هر عدد طبیعی فرد بقدر کافی بزرگ ، قابل نمایش به صورت حاصل جمع سه عدد اول است. فرمولی که بوسیله آن بتوان هر عدد اول بقدر کافی بزرگ را به دست آورد، وجود ندارد. البته عبارت هایی در دست است که از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین کرد. به عنوان مثال فرمول اویلر در دست است که از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین کرد. به عنوان مثال فرمول اویلر  به ازای  اعداد اول متمایزی به دست می دهد .

همچنین معلوم نیست که تعدادی نامتناهی از اعداد اول دوقلو ، یعنی اعداد اولی که تفاضل آنها 2 باشد مانند 5و7 ، 11و13، 29و31 و غیره وجود دارد یا نه. اینها نمونه هایی هستند از مسائلی ساده در اعداد اول که بطور طبیعی مطرح می شوند و اگر چه صورت ظاهری آنها ساده به نظر می رسد، اثبات آنها غالباً دشوار است و این امکان وجود دارد که با معلومات ریاضی عصر ما ثابت نگردند.

اما در مورد حکمی که اخیراً ذکر شد، اطلاعاتی در دست است. به عنوان مثال، معلوم گشته که رشته ی اعداد اول به صورت 4k+1 و4k+3 نامتناهی است. به طور کلی ثابت شده که در تصاعد حسابی ak+b،که در این a وb  نسبت به هم اولند و k=1,2,3,…  یک تعداد نامتناهی عدد اول وجود دارد.

فرض کنید به ازای هر عدد صحیح تعداد عددهای اول در میان اعداد صحیح 1، 2، 3، ...،را با نمایش دهیم. اگر زیر اعداد اول در دنباله مرکب از چند عدد صحیح نخست خط بکشیم، می‌توانیم چند مقدار اولیه را محاسبه کنیم:

حال اگر دنباله دلخواهی از مقادیر را در نظر بگیریم که به طور نامحدود افزایش یابد، مثلاً

آنگاه مقادیر متناظر :
نیز به طور نامحدود (هر چند با سرعت کمتر) افزایش می‌یابند. از آنجا که می‌دانیم بینهایت عدد اول وجود دارد، مقادیر هم دیر یا زود از هر عدد متناهی تجاوز خواهند کرد. «چگالی» عددهای اول در میان عدد صحیح نخست با نسبت مشخص می‌شود و با استفاده از یک جدول اعداد اول، مقادیررا می‌توان به طور تجربی به ازای مقادیر نسبتاً بزرگ محاسبه کرد.

0/168
0/078498
0/050847478
..........	...

می‌توان گفت که درایه آخر جدول بیانگر احتمال آن است که عدد صحیحی که به تصادف از میان عدد صحیح نخست انتخاب شده، اول باشد زیرا انتخاب ممکن وجود دارد که از آنها اول‌اند. توزیع عددهای اول در میان اعداد صحیح فوق‌العاده بی‌نظم است. ولی این بی‌نظمی «در مقیاس کوچک»، از میان می‌رود به شرط اینکه توجه خود را به متوسط توزیع عددهای اول که با نسبت مشخص می‌شود معطوف کنیم. کشف قانون ساده‌ای که رفتار این نسبت از آن تبعیت می‌کند یکی از برجسته‌ترین اکتشافات در تمام ریاضیات است. گاوس از بررسی تجربی جدولهای اعداد اول دریافت که نسبت تقریباً برابر است و این تقریب با افزایش ظاهراً بهتر می‌شود. میزان خوبی تقریب با نسبت مشخص می‌شود که مقدارهایش به ازای =1000، =1000000 و =1000000000 در جدول زیر نشان داده شده‌اند.

1/59	0/145	0/168
1/084	0/072382	0/78498
1/053	0/048254942	0/050847478
...	...	...	...

گاوس براساس این گونه شواهد تجربی حدس زد که نسبت «به طور مجانبی» برابر با است. منظور از این گفته آن است که اگر دنباله‌ای از مقادیر را که مرتباً بزرگ و بزرگتر می‌شوند، مثلاً همان دنباله
را در نظر بگیریم، آنگاه نسبت ه  یعنی عدد که به ازای همین مقادیر متوالی محاسبه شود، به 1 نزدیک و نزدیکتر خواهد شد، و اختلاف این نسبت با 1 می‌توان با محدود کردن به مقادیر به اندازه کافی بزرگ، به قدر دلخواه کوچک کرد. این مطلب به صورت نمادین با علامت ~ بیان می‌شود: به این معنی است که وقتی افزایش می‌یابد، به 1 میل می‌کند. با توجه به اینکه همیشه عددی صحیح است ولی چنین نیست، روشن می‌شود که چرا نمی‌توان علامت معمولی تساوی، =، را به جای ~ قرار داد. این موضوع که چگونگی توزیع میانگین اعداد اول را می‌توان به وسیله تابع لگاریتمی توصیف کرد، کشف بسیار جالبی است زیرا شگفت‌آور است که دو مفهوم ریاضی که این قدر نامرتبط به نظر می‌رسند، در واقع چنین ارتباط نزدیکی با هم دارند. اگر چه فهم صورت حدس گاوس آسان است، اثبات ریاضی دقیق آن بسیار دور از حدود امکانات علوم ریاضی در زمان گاوس بود. برای اثبات این قضیه، که فقط با ابتدایی‌ترین مفاهیم سروکار دارد، استفاده از قویترین روشهای ریاضیات نوین لازم است. تقریباً صدسال طول کشید تا آنالیز به درجه‌ای تکامل یافت که آدامار (1896) در پاریس و دلاواله پوسن در لوون (1896) توانستند اثبات کاملی از قضیه اعداد اول به دست دهند. من گولت و لاندوا صورتهای ساده شده و اصلاح شده مهمی از استدلال را عرضه کردند. مدتها قبل از آدامار، تحقیق پیشگامانه خطوط استراتژیک اقدام برای حل مساله مشخص گشته بود.

نوربرت وینر ریاضیدان آمریکایی توانست این اثبات را اصلاح کند تا از به کار بردن عددهای مختلط  در مرحله مهمی از استدلال  اجتناب  شود. با این حال، اثبات قضیه  اعداد  اول  هنوز هم،  حتی برای دانشجوی  پیشرفته، آسان  نیست.

در سال 1949 پل اردوش ، استاد مسلم اپباع‌های  ابتدایی ، و سلبرگ توانستند این قضیه را با تکنیک‌های  ابتدایی نظریه اعداد و  بدون استفاده از تکنیک‌های تحلیلی اثبات نمایند.

                                     کاربرد

اعداد اول برای ریاضیات از اهمیت بنیادی برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم خواص آنها باعث می شود خللهای بزرگی در بنای ریاضیات ایجاد شود.

درحال حاضر بسیاری از معاملات تجاری و نقل و انتقالاتمالی و نیز مبادله اطلاعات محرمانه از طریق شبکه های مخابراتی مانند اینترنت و بابهره گیری از رمز کردن پیامها به انجام می‌رسد. اعداد اول در تنظیم این قبیل رمزها نقشی اساسی بر عهدهدارند و از همین رو دستیابی به اعداد اول جدید که دیگران از آن بی‌خبر باشند برایسازندگان این رمزها و نیز مشتریان آنان از اهمیت زیاد برخوردار است. اما یک گروه از ریاضیدانان هندی  مدعی  شدند که در آستانه دستیابی به آزمونی هستند کهریاضیدانان قرنها مشتاقانه در آرزویش بودند ،که اگر روش این محققان هندی تکمیل شود در آن صورت امنیت این قبیل نقل و انتقالات در معرض خطر جدی قرار خواهد گرفت.

در گذشته و در زمانی که نظریه اعداد تنها مورد توجه یک گروه کوچک از ریاضیدانان بود، این مساله چندان اهمیتی نداشت اما در 20 سال گذشته اعداد اول موقعیتی استثنائی در عرصه رمزنگاری و دانش طراحی و شکستن رمزها کسب کرده اند.

رمزها صرفاً از نظرنظامی و جاسوسی حائز اهمیت نیستند،بلکه از آنها در عرصه های تجاری و فعالیت های اینترنتی در مقیاس وسیع هم استفاده به عمل می آید. هیچ کس نمی خواهد که راهزنان اینترنتی  به اطلاعات شخصی مربوت به حسابهای بانکی یا شماره کارتهای اعتباری آنان دست یابد.

سازندگان کامپیوترها و ارائه دهندگان خدمات اینترنتی با توجه به اینکه درحال

حاضر افراد بسیاری از فعالیتهای خود را از طریق اینترنت انجام می دهند،نظیر اینکه پول قبضهای برق و آب و تلفن خود را می پردازند،یا در کلاسهای مورد نظر ثبت نام می کنند،یا بلیت هواپیما و قطار رزرو می کنند،در تلاشند تا از خطر دستیابی تبهکاران به اطلاعات شخصی افراد جلوگیری به عمل آورند.

یکی از سیستمهایی که در این زمینه مورد استفادۀ صنایع است،سیستم «آر اس آ» نام دارد که متکی به اعداد اول است.اعداد اول مورد استفاده در این سیستم در حدود 100 رقمی هستند.سیستم «آر اس آ» در بسیاری از سیستمهای کامپیوتری مورد استفاده قرار دارد و در پروتکل اصلی برای ارتباطات امن اینترنتی نیز گنجانده شده است و بسیاری از دولتها و شرکتهای بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده می کنند. جواز استفاده از این سیستم برای بیش از 700 شرکت صادر شده و بیش از نیم میلیون کپی از آن در سطح جهانی مورد استفاده قرار دارد.همه این جنبه ها بر اهمیت کشف هر روشی برای محاسبه اعداد اول می افزاید.

*مهشید احتشامی*

علم آمار و کاربردهای آن

آمار چیست؟

آمار رشته وسیعی از ریاضی است که راههای جمع آوری، خلاصه سازی و نتیجه گیری از داده‌ها را مطالعه می‌کند. این علم برای طیف وسیعی از علوم دانشگاهی از فیزیک و علوم اجتماعی گرفته تا انسان‌شناسی و همچنین تجارت، حکومت داری و صنعت کاربرد دارد.

آمار علم و عمل توسعه دانش انسانی از طریق استفاده از داده‌های تجربی است. آمار بر نظریه‌ی آمار مبتنی است که شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی است. در نظریه‌ی آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریه احتمال مدل می‌شوند.

علم آمار:

علم آمار، خود مبتنی است بر نظریه آمار که شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی به حساب می‌آید. در نظریهٔ آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریهٔ احتمالات مدل‌سازی می‌شوند. در این علم، مطالعه و قضاوت معقول در بارهٔ موضوع‌های گوناگون، بر مبنای یک جمع انجام می‌شود و قضاوت در مورد یک فرد خاص، اصلاً مطرح نیست.

به عبارت دیگر آمار را باید علم و عمل استخراج، بسط، و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری، تنظیم، پرورش، و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه گیری و آزمایش) دانست.

زمینه‌های محاسباتی و رایانه‌ای جدیدتری همچون یادگیری ماشینی ، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش گسترده و کهن آمار است به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی در همه‌جا.

هدف از علم آمار:

از جملهٔ مهم‌ترین اهداف آمار، می‌توان تولید «بهترین» اطّلاعات از داده‌های موجود و سپس استخراج دانش از آن اطّلاعات را ذکر کرد. به همین سبب است که برخی از منابع، آمار را شاخه‌ای از نظریه تصمیم‌ها به شمار می‌آورند.

*این علم به بخش‌های آمار توصیفی و آمار استنباطی تقسیم می‌شود:

 از طرف دیگر می‌توان آن را به دو بخش آمار کلاسیک و آمار بیز تقسیم بندی کرد. در آمار کلاسیک، که امروزه در دانشگاه‌ها و دبیرستان‌ها تدریس می‌گردد، ابتدا آزمایش و نتیجه را داریم و بعد بر اساس آن‌ها فرض‌ها را آزمون می‌کنیم. به عبارت دیگر ابتدا آزمایش انجام می‌شود و بعد فرض آزمون می‌گردد. در آمار بیزی ابتدا فرض در نظر گرفته می‌شود و داده‌ها با آن مطابقت داده می‌شوند به عبارت دیگر در آمار بیزی یک پیش توزیع داریم-توزیع پیشین- و بعد از مطالعه داده‌ها و برای رسیدن به آن تئزیع پیشین توزیع پسین را در نظر می‌گیریم.

آمار توصیفی:

هنگامی که داده‌ها جمع آوری شدند چه از طریق یک روش نمونه برداری خاص یا به وسیله ثبت پاسخ‌ها در قبال رفتارها در یک مجموعه آزمایشی (طرح آزمایش) یا به وسیله مشاهده مکرر یک فرایند در طی زمان (سری‌های زمانی) خلاصه‌های گرافیکی یا عددی را می‌توان با استفاده از آمار توصیفی به دست آورد.

آمار استنباطی:

الگوهای موجه در داده‌ها سازمان بندی می‌شوند تا نتیجه گیری در مورد جمعیت‌های بزرگ‌تر به دست آید که این کار با استفاده از آمار استنباطی صورت می‌گیرد و تصادفی بودن و عدم قاطعیت در مشاهدات را شناسایی می‌کند. این استنباط‌ها ممکن است به شکل جوابهای بله یا خیر به سؤالات باشد (آزمون فرض)، خصوصیات عددی را برآورد کند(تخمین)، پیش گویی مشاهدات آتی باشد، توصیف ارتباط ‌ها باشد (همبستگی) و یا مدل سازی روابط باشد (رگرسیون).

شبکه توصیف شده در بالا گاهی اوقات به عنوان آمار کاربردی اطلاق می‌شود. در مقابل، آمار ریاضی (یا ساده تر نظریه آماری) زیر رشته‌ای از ریاضی کاربردی است که از نظریه احتمال و آنالیز برای به کارگیری آمار برروی یک پایه نظریه محکم استفاده می‌کند.

مراحل پایه برای انجام یک تجربه عبارت‌اند از :

برنامه ریزی تحقیق شامل تعیین منابع اطلاعاتی، انتخاب موضوع تحقیق و ملاحظات اخلاقی برای تحقیق و روش پیشنهادی. طراحی آزمون شامل تمرکز روی مدل سیستم و تقابل متغیرهای مستقل و وابسته. خلاصه سازی از نتایج مشاهدات برای جامعیت بخشیدن به آنها با حذف نتایج (آمار توصیفی). رسیدن به اجماع در مورد آنچه مشاهدات درباره دنیایی که مشاهده می‌کنیم به ما می‌گویند (استنباط آماری). ثبت و ارائه نتایج مطالعه.

تاریخچه:

سرآغاز اولیه آمار را باید در شمارش های آماری حوالی آغاز قرن اول میلادی یافت. اما ،تنها در قرن هجدهم بود که این علم ، با به کار رفتن در توصیف جنبه هایی که شرایط یک وضعیت را مشخص میکردند ، به عنوان رشته ای علمی و مستقل شروع به مطرح شدن کرد.

مفهوم از کلمه لاتینی ،به معنی شرط ، استخراج شده است. مدت های مدید ، این علم ، محدود به کار در این حوزه بود ، و تنها در دهه های اخیر از این انحصاری جدا شدو ، و به کمک نظریه احتمال ،شروع به بررسی روش های تحلیل داده های آماری و اثبات فرض های آماری کرد.

روش های این آمار ریاضی با آشکار کردن قوانین جدید ، به ابزاری موثر در علوم طبیعی و تکنولوژی تبدیل شد.

عمل آماری:

شامل برنامه‌ریزی و جمع‌بندی و تفسیر مشاهدات غیر قطعی است به‌شکلی که :

• اعداد نمایندهٔ واقعی مشاهدات بوده، غیر واقعی یا غلط نباشند.
• به‌نحو مفیدی تهیه و تنظیم شوند.
• به‌نحو صحیح تحلیل شوند.
• قابل نتیجه‌گیری صحیح باشند.

در صورتی که شاخه‌ای علمی مد نظر نباشد، معنای آن، داده‌هایی به‌شکل ارقام و اعداد واقعی یا تقریبی است که با استفاده از علم آمار می‌توان با آن‌ها رفتار کرد و عملیات ذکر شده در بالا را بر آن‌ها انجام داد. بیشتر مردم با کلمة آمار به مفهومی که برای ثبت و نمایش اطلاعات عددی به کار می‌رود اشنا هستند . ولی این مفهوم منطبق با موضوع اصلی مورد بحث آمار نیست. آمار عمدتاً با وضعیتهابیی سر و کار دارد که در آنها وقوع یک پیشامد به طور حتمی قابل پیش بینی نیست. اسنتاجهای آماری غالباً غیر حتمی اند،زیرا مبتنی بر اطلاعات ناکاملی هستند. در طول چندین دهه آمار فقط با بیان اطلاعات و مقادیر عددی در باره اقتصاد،جمعیت شناسی و اوضاع سیاسی حاکم در یک کشور سر و کار داشت .حتی امروز بسیاری از نشریات و گزارشهای دولتی که توده‌ای از آمارو ارقم را در بردارند معنی اولیه کلمه آمار را در ذهن زنده می‌کنند .

اکثر افراد معمولی هنوز این تصویر غلط را در باره آمار دارند که آن را منحصر به ستونهای عددی سرگیجه آور و گاهی یک سری شکلهای مبهوت کننده می‌دانند .بنابر این یادآوری این نکته ضروری است که نظریه و روشهای جدید آماری از حد ساختن جدولهای اعداد و نمودارها بسیار فراتر رفته‌اند. آمار به عنوان یک موضوع علمی،امروزه شامل مفاهیم و روشهایی است که در تمام پژوهشهایی که مستلزم جمع آوری داده‌ها به وسیله یک فرایند آزمایش و مشاهده و انجام استنباط و نتیجه گیری به وسیله تجزیه و تحلیل این داده‌ها هستند اهمیت بسیار دارند.

روش‌های آماری

مطالعات تجربی و مشاهداتی هدف کلی برای یک پروژه تحقیقی آماری، بررسی حوادث اتفاقی بوده و به ویژه نتیجه گیری روی تأثیر تغییرات در ارزش شاخص‌ها یا متغیرهای غیر وابسته روی یک پاسخ یا متغیر وابسته‌است. دو شیوه اصلی از مطالعات آماری تصادفی وجود دارد: مطالعات تجربی و مطالعات مشاهداتی. در هر دو نوع از این مطالعات، اثر تغییرات در یک متغیر (یا متغیرهای) غیر وابسته روی رفتار متغیرهای وابسته مشاهده می‌شود. اختلاف بین این دو شیوه درچگونگی مطالعه‌ای است که عملاً هدایت می‌شود. یک مطالعه تجربی در بردارنده روش‌های اندازه گیری سیستم تحت مطالعه‌است که سیستم را تغییر می‌دهد و سپس با استفاده از روش مشابه اندازه گیری‌های اضافی انجام می‌دهد تا مشخص سازد که آیا تغییرات انجام شده، مقادیر شاخص‌ها را تغییر می‌دهد یا خیر. در مقابل یک مطالعه نظری، مداخلات تجربی را در بر نمی‌گیرد. در عوض داده‌ها جمع آوری می‌شوند و روابط بین پیش بینی‌ها و جواب بررسی می‌شوند.

یک نمونه از مطالعه تجربی، مطالعات Hawthorne مشهور است که تلاش کرد تا تغییرات در محیط کار را در کمپانی الکتریک غربی Howthorne بیازماید. محققان علاقه مند بودند که آیا افزایش نور می‌تواند کارایی را در کارگران خط تولید افزایش دهد. محققان ابتدا کارایی را در کارخانه اندازه گیری کردند و سپس میزان نور را در یک قسمت از کارخانه تغییر دادند تا مشاهده کنند که آیا تغییر در نور می‌تواند کارایی را تغییر دهد. به واسطه خطا در اقدامات تجربی، به ویژه فقدان یک گروه کنترل محققاتی در حالی که قادر نبودند آنچه را که طراحی کرده بودند، انجام دهند قادر شدند تا محیط را با شیوه Hawthorne آماده سازند. یک نمونه از مطالعه مشاهداتی، مطالعه ایست که رابطه بین سیگار کشیدن و سرطان ریه را بررسی می‌کند. این نوع از مطالعه به طور اختصاصی از شیوه‌ای استفاده می‌کند تا مشاهدات مورد علاقه را جمع آوری کند و سپس تجزیه و تحلیل آماری انجام دهد. در این مورد، محققان مشاهدات افراد سیگاری و غیر سیگاری را جمع آوری می‌کنند و سپس به تعداد موارد سرطان ریه در هر دو گروه توجه می‌کنند.

احتمالات:

مقالهٔ اصلی: احتمالات در زبان محاوره، احتمال یکی از چندین واژه‌ای است که برای دانسته یا پیشامدهای غیر مطمئن به کار می‌رود و کم و بیش با واژه‌هایی مانند ریسک، خطرناک، نامطمئن، مشکوک و بسته به متن قابل معاوضه‌است. شانس، بخت، امتیاز و شرط بندی از لغات دیگری است که نشان دهنده برداشت‌های مشابهی است. همانگونه که نظریه مکانیک به تعاریف دقیق ریاضی از عبارات متداولی مثل کار و نیرو می‌پردازد، نظریه احتمالات نیز تلاش دارد تا مفاهیم و برداشت‌های مربوط به احتمالات را کمّی سازی کند.

نرم‌افزارها:

آمار مدرن برای انجام بعضی از محاسبات خیلی پیچیده و بزرگ به وسیله رایانه‌ها استفاده می‌شود. کل شاخه‌های آمار با استفاده از محاسبات کامپیوتری انجام‌پذیر شده‌اند، برای مثال شبکه‌های عصبی. انقلاب کامپیوتری با یک توجه نو به آمار «آزمایشی» و «شناختیک» رویکردهایی برای آینده آمار داشته‌است.

یکی از مهم‌ترین کاربردهای آمار و احتمال با استفاده از رایانه شبیه سازی است .

جامعه و نمونه

جامعه یک بررسی آماری دارای مشاهده ها یا آزمایش هایی تحت شرایطی یکسان ، به عنوان عنصرهای خود است. هر یک از این عنصرها را میتوان نسبت به مشخصه های متفاوتی بررسی کرد ، که می توانند به عنوان متغیرهای تصادفی XوY .... در نظر گرفته شوند. اگر مشخصه تحت بررسی X ، دارای تابع توزیع F در جامعه مربوط باشد ، آنگاه گفته می شود که جامعه مورد بحث دارای توزیع F نسبت به مشخصه X است. در بررسی های آماری همواره زیر مجموعه ای متناهی از عناصر جامعه مورد تحقیق قرار می گیرد.این زیر مجموعه به نمونه موسوم است ، و n، تعداد عناصر موجود در آن ، اندازه نمونه نامیده می شود.

  نمونه گیری یکی از فنونی است که آمار گران از آن بهره می گیرند. نمونه گیری یعنی جمع آوری اطلاعات درباره گروهی از مردم یا مجموعه ای از چیزها  توسط بررسی قسمت کوچکی ازکل مجموعه.

 به عنوان مثال: سرویسهای رتبه بندی برنامه های تلویزیونی،  به منظور تخمین تعداد بینندگان برنامه ای خاص،  به جای مطالعه تمامی بینندگان تنها به بررسی چند هزار خانواده می پردازند. آمار گران تصمیم می گیرند که ازکجا و چگونه داده ها را جمع آوری کنند، نوع و تعداد گروه های نمونه را مشخص می کنند و به تهیه پرسشنامه های تحقیقی یا فرمهای گزارشی می پردازند. آنها همچنین دستورالعملهائی برای کارکنانی که به جمع  آوری و جدول بندی اطلاعات می پردازند، تهیه می کنند. در نهایت آمارگران با بکارگیری نرم افزارهای رایانه ای به تجزیه و تحلیل ، تفسیر و جمع بندی  اطلاعات می پردازند.

*مثال :اگر وزن پسر بچه های ده ساله متغیر تصادفی x باشد ، در این صورت تمام پسر بچه های به این سن یک جامعه تشکیل می دهند . اندازه های وزن پسربچه های در شماری از مکان ها یک نمونه می سازند ، و هر پسر بچه عنصری از جامعه مزبور است . وزن مورد بحث مشخصه ای از عنصر های مزبور به شمار می رود ، و سایر مشخصه ها ، به عنوان مثال ، بلندی قد و اندازه سینه اند.

طرح آزمایش :

در بررسی یک مسئله با روش های آماری ، باید نقشه آزمایش کشیده شود که شامل روش جمع آوری داده ها،اندازه نمونه مورد نظر و روش حل آن مسئله است. در این مورد هر چه نقشه آزمایش دقیق تر باشد ، نتایج به دست آمده از روش های آماری بهتر خواهند بود . بخصوص ، باید اطمینان حاصل شود که هیچ یک از اندازه گیری هایی که برای نتایج مورد نظر دارای اهمیت اند از قلم نیفتند یا ناقص نباشند...

اما در این مورد همچنین می توان ، تنها به همان اندازه که می شود با بخش ناچیزی از هزینه ها به دست آورد قناعت و از دستاوردی با یک رشته آزمون بسیار پرخرج اجتناب کرد.

در این رابطه ، نکات زیر از اهمیت برخوردارند:

• مواد یا اطلاعات بررسی شده باید همگن باشند ؛ یعنی ،روش آزمون ،در دوره بررسی ، باید یکسان باقی بماند. در وسایل یا شرایط تولید نباید تغییری داده شود ، و ابزارهای اندازه گیری با دقت های متفاوت نباید به کار روند.

• بایدتا آنجا که امکان دارد خطاهای منظم یا عوامل موثر کنار گذاشته شوند . به عنوان مثال ، اگر مایل باشیم دو ماده را با هم مقایسه کنیم ، باید هر دو را در یک دستگاه تهیه کرده باشیم ، چه در غیر این صورت تفاوت دستگاه ها در نتایج بررسی وارد می شود ، و در کشاورزی ، در آزمون کودهای متفاوت ، باید زمین را ،به خاطر یکسان کردن تاثیر نوع خاک و موقعیت آن ، به باریکه های موازی تقسیم کرد.

باید نظارتی در نظر

 به عنوان مثال : در آزمایش مربوط به کودها ، باید تاثیر یک کود از تفاوت بین گیاهانی که که با آن یا بدون آن ،تحت شرایط محیطی یکسان ،رشد کرده اند ، ارزیابی شود.

انتخاب نمونه باید تصادفی یا نماینده ای باشد . انتخاب تصادفی انتخابی است که در آن هر عنصر برای اینکه عضو آن نمونه باشد یا نباشد ، از احتمال یکسان برخوردار است. به عنوان مثال ، در یک محموله پیچ ، نمونه مورد آزمون نباید تماماَ از یک مکان انتخاب شود ،بلکه باید روی کل محموله توزیع شده باشد ، و در اندازه گیری ضخامت سیم ها نقاط اندازه گیری شده باید به طور تصادفی روی تمام طول سیم توزیع شده باشد.

انتخاب تصادفی عناصر را می توان به کمک جداول اعداد تصادفی انجام داد

با توجه به اندازه نمونه

از این گفته ها میتوان به اهمیت تحصیل در رشته آمار و نیاز جامعه به فارغ التحصیلان این رشته پی برد.

واژگانی که درک مفهوم آن‌ها در علم آمار مهم است عبارت‌اند از :

• جمعیت
• نمونه
• متغیّر
• مقیاس‌های اندازه‌گیری :
• مقیاس اسمی
• مقیاس ترتیبی
• مقیاس فاصله‌ای
• مقیاس نسبتی
• ...

سطوح اندازه گیری:

چهار نوع اندازه گیری یا مقیاس اندازه گیری در آمار استفاده می‌شود. چــهار نوع یا سطح اندازه گیری (ترتیبی، اسمی، بازه‌ای و نسبی) دارای درجات متفاوتی از سودمندی در بررسی‌های آماری دارند. اندازه گیری نسبی در حالی که هم یک مقدار صفر و فاصله بین اندازه‌های متفاوت تعریف می‌شود بیشترین انعطاف پذیری را در بین روش‌های آماری دارد که می‌تواند برای تحلیل داده‌ها استفاده شود.

 مقیاس تناوبی با داشتن فواصل معنی دار بین اندازه‌ها اما بدون داشتن میزان صفر معنی دار (مثل اندازه‌گیری بهره هوشی یا اندازه‌گیری دما در مقیاس سلسیوس) در تحقیقات آماری استفاده می‌شود. صفت آماری نیز به این

معناست که  هر ویژگی مربوط به هر واحد جامعه را یک صفت آماری یا به اختصار یک صفت برای آن واحد آماری است. اگر یک واحد آماری یک انسان باشد، گروه خون، وزن، میزان سواد، میزان درآمد، درجه حرارت بدن و تعدادخانوار هر کدام یک صفت آماری برای آن واحد است.

 صفتهای آماری دو دسته کلی هستند:

 ۱- صفت مشخصه.

 ۲- صفت متغیر.

کاربرد علم آمار:

علم آمار کاربرد علمی مبانی ریاضی برای جمع آوری، تجزیه وتحلیل و ارائه اطلاعات ارقامی‌‌ می باشد. آمار گران با بکار بردن  دانش ریاضیشان در طراحی مطالعات  وتحقیقات ؛ جمع آوری ، پردازش و تجزیه و تحلیل اطلاعات‌؛ و تفسیر نتایج ؛ در پژوهشهای علمی شرکت می کنند. متخصصین آمار اغلب دانششان در روشهای آماری را در علوم گوناگونی مانند زیست شناسی ، اقتصاد ، مهندسی ، پزشکی ، بهداشت عمومی ، روانشناسی ، بازار یابی، آموزش و ورزش بکار می‌‌گیرند. بسیاری از امور به عنوان مثال، طراحی روشهای آزمایشی برای  تایید دارویی جدید از طرف دولت،  بدون بهره گیری از روشهای آماری قابل اجرا نمی باشند.  

انواع کاربردهای آمار:

کاربرد آمار در هوا شناسی:

ارزیابی قابلیت کاربرد آمار ماهیانه بارش ایستگاههای هواشناسی حوزه کارون جهت استفاده در محاسبه شاخص بارش استاندارد (SPI

هدف از کاربرد آن:

هدف از تهیه و کابرد هر نمایه خشکسالی، ارائه یک ارزیابی ساده و کمی از سه خصوصیت خشکسالی یعنی شدت، تداوم و گستردگی مکانی می‌باشد. برای پایش وضعیت خشکسالی نمایه‌های متعددی در کشورهای مختلف مورد استفاده قرار می‌گیرد.

 این نمایه‌ها براساس تعاریف خشکسالی و با روش محاسبه‌ای، که در آن از یک یا چند متغیر هواشناسی و در بعضی موارد همراه با متغیرهای آبشناسی استفاده شده، بدست می‌آید.از جمله این نمایه‌ها می توان به نمایه درصد از نرمال بارندگی، نمایه دهکهای بارندگی، نمایه شدت خشکسالی پالمر(PDST) و نمایه استاندارد شده بارش(SPI) اشاره نمود. نمایه SPI برای تعیین کمبود بارندگی در مقیاس‌های زمانی مختلف طراحی شده است و مقیاس زمانی اثرات خشکسالی را بر روی میزان توانایی منابع آب نشان می‌دهد. این نمایه یک ابزار قوی در آنالیز داده‌های بارندگی است. نمایه SPI با اختصاص ارزش عددی به مقادیر مختلف بارندگی امکان مقایسه نواحی با آب و هوای کاملاً متفاوت را فراهم می نماید.

 محاسبه SPI برای هر منطقه معین بر پایه آمار درازمدت بارندگی (دست‌کم 30 سال) برای یک دوره دلخواه 3، 6 ماهه و غیره می‌باشد. این آمار دراز مدت با توزیع گاما برازش یافته و تابع حاصل از آن برای پیدا کردن احتمال تجمعی بارندگی برای یک ایستگاه و برای ماه معین و مقیاس زمانی گوناگون مورد استفاده قرار می گیرد. از آنجاییکه اساس شاخص SPI بر مبنای توزیع گاما استوار است در این مقاله ابتدا برای تطویل و بازسازی آمار ایستگاه های ناقص از روش همبستگی بین ایستگاهها استفاده شد و با کمک آمار ایستگاه های با همبستگی بالا در نرم افزار SPSS آمار ایستگاه های ناقص به صورت ماهیانه بازسازی و سپس با انواع توزیع های فراوانی در محیط نرم افزار SMADA برازش داده شد. در ادامه با استفاده از روش گرافیکی این نرم افزار و روش محاسبه مجموع مربعات باقی مانده، قابلیت استفاده از این شاخص برای آمار بارش ماهیانه حوزه و نیز بارش تجمعی در مقیاس های زمانی نمایه SPI بررسی گردید.

 نتایج نشان داد که آمار بارش ماهیانه اغلب ایستگاه های حوزه به جزء ایستگاههای مرغک، چمزمان و دار شاهی از توزیع گاما پیروی می نماید و در بین این ایستگاهها، آمار بارش تجمعی سه ماهه ایستگاه نجف آباد و بیست و چهار ماهه ایستگاه شمس آباد از توزیع گاما پیروی نکرده و قابلیت استفاده در محاسبه نمایه SPIرا ندارد.

کاربرد آمار در امور اداری چیست؟

در این امور اطلاعات آماری زیر اهمیت فراوانی دارد :

ـ تعریف علم و آمار و مشخصات آمار توصیفی و کاربردهای آن

ـ داده‌های آماری (تنظیم و جدول‌بندی داده‌ها، گرد کردن اعداد، نمودارها (انواع و کاربرد هر یک)، توزیع فراوانی، زیگما و کاربرد هر یک ـ انواع مقیاس‌ها و ویژگی‌های هر یک، شاخص‌های گرایش مرکزی (میانگین، نما، میانه)، شاخص‌های پراکندگی، واریانس، انحراف معیار و شیوه تفسیر هر یک ـ همبستگی، همبستگی گشتاوری.

ـ کاربرد آمار در برنامه‌ریزی نیروی انسانی، عرضه و تقاضای نیروی انسانی، آمار پرسنلی، روشهای برآورد نیروی انسانی و منابع اطلاعاتی آن، تهیه و تنظیم گزارشات آماری مورد نیاز در زمینه‌های مختلف اداری، انواع نرم‌افزارهای آماری مربوط به کارکنان، روشهای طبقه‌بندی و تجزیه و تحلیل آمار کارکنان، روش‌ها و وسایل جمع‌آوری آمار کارکنان.

یک مثال:

کاربرد آمار در اقتصاد: نمودار تولید طلا در نیوزلاند بین سالهای ۱۸۵۵ تا ۲۰۰۵ میلادی.

*بیشتر اطلاعات وخبر هایی که می شنویم بر اساس آمار و آمار گیری صورت می گیرد و به گوش ما میرسد.     به طور مثال :

عابران بیشترین قربانیان تصادفات در تهران را شامل می شوند

در تازه ترین آمار پزشکی قانونی کشور از 6729 مورد فوت ناشی از تصادف در بهار امسال ، بیشترین قربانیان مربوط به عابران در استان تهران است .  گزارش اداره کل روابط عمومی و اطلاع رسانی قوه قضائیه به نقل از روابط عمومی و بین الملل پزشکی قانونی حاکی است: آمار فوت شدگان ناشی از تصادف رانندگی در سه ماهه اول سال جاری نسبت به سال قبل 8/1 درصد افزیش را نشان می دهد.

میدان جنگ برزیل

براساس آمار وزارت بهداشت برزیل سال گذشته 36 هزار نفر در برزیل با سلاح‌های گرم کشته شدند که نسبت به سال 2003 هشت درصد کاهش داشت.سال گذشته هر روز 99 نفر در برزیل با سلاح گرم کشته شدند که 8 درصد کمتر از سال 2003 بود.قانون جدید برزیل درباره خرید و حمل سلاح محدودیت‌هایی وضع کرده است. مردم در طول سال گذشته حدود یک میلیون سلاح گرم خود را به پلیس فروختند.

افزایش تولید خودرو در چین

براساس ارقام اداره دولتی آمار چین در ماه اوت 2005 تعداد 251500 دستگاه خودرو در چین تولید شده که این تعداد نسبت به اوت سال 2004 میلادی 46.3 درصد افزایش یافته است. به گزارش رادیو بین‌المللی چین، براساس ارقام اداره دولتی آمار چین که روز جمعه 23 سپتامبر منتشر شدند در 8 ماهه نخست سال 2005 تعداد یک میلیون و 856 هزار دستگاه خودرو در چین تولید شده‌اند که این رقم نسبت به 8 ماهه نخست سال 2004 میلادی 14.7 درصد افزایش نشان می‌دهد.در ماه اوت سال جاری 251500 دستگاه خودرو در چین تولید شدند که این رقم نسبت به اوت سال گذشته 43.6 درصد افزایش پیدا کرده است.

مصرف یک میلیون لیتر چای در عربستان

آمار نشان داد عربستانی ها روزانه نزدیک به یک میلیون لیتر چای مصرف می کنند.
به نوشته پایگاه اینترنتی الرایه ، استفاده از چای های مختلف بخصوص به همراه قلیان به وسیله جوانان و زنان، در عربستان بسیار رواج دارد.شرکت های تولید کننده چای کنیا ، بازار چای عربستان را در دست دارند و در سطح گسترده به این کشور چای وارد می کنند.

افزایش نرخ بیکاری در آمریکا

در پی عبور توفان مهیب کاترینا بیش از 200 هزار امریکایی کار خود را از دست داده‌اندوزارت کار امریکا روز پنجشنبه 22 سپتامبر اعلام کرد در پی عبور توفان مهیب کاترینا 214 هزار امریکایی مشاغل خود را از دست داده‌اند. . نرخ بیکاری امریکا که در ماه اوت به 4.9 درصد جمعیت فعال کاهش یافته بود، به دلیل این فاجعه در ماه سپتامبر دوباره افزایش خواهد یافت.   

*این مثال ها همگی به وسیله ی آمارگیری های دقیق بررسی شده و به صورت خبر منتشر میشوند.

6 سیگما :

۶ سیگما در واقع یک بحث آماری است که در مهندسی صنایع کاربرد فراوانی دارد و به همین دلیل از ان به عنوان مبحثی در مهندسی صنایع یاد می شود که من از همین تریبون ازاد علام می کنم که نه تنها فارغ التحصیلان رشته مهندسی صنایع در بحث کیفیت اشنایی دارند که صد البته این دانش اموختگان رشته آمار هستند که توانایی اصلی و قاطع در این بحث دارند چرا که این مبحث در ابتدا ریشه از علم آمار دارد.

* ( البته اگر به این دید بنگریم قطعا بسیاری از علوم باید به آمار تغغیر نام دهند یا در کنار نام خود به این نام زینت شوند.)

کنترل و کیفیت:

عمده بحث کنترل کیفیت مربوط به انجام نمونه گیری از محصولات ، بازرسی آن نمونه ها و تعممیم نتایج به کل انباشت محصول است که بر اساس روش های آماری انجام می گیرد . از دیگر روش های مورد استفاده در کنترل کیفیت ، کنترل فرایند تولید محصول به جای کنترل محصول تهیه شده است که با استفاده از روش های آماری مانند SPC و ... انجام می گیرد. مبحث کنترل کیفیت ، جایگاه ویژه ای در مباحث نظام های جامع مدیریت کیفیت دارد.

بحث کنترل و کیفیت را می توان یکی از مباحث علم آمار نام برد که بدلیل شناخت ناکافی از مهارت فارغ التحصیلان این رشته در این  مورد بخصوص  در ایران کارایی آن ناشناخته مانده است.                             

اکثریت بدلیل کم اطلایی از علم آمار از کارشناسان آماری در این مورد کمتر استفاده می شود در حالییکه تنها با وجود یک کارشناس وارد به کار می توان محصول را در فرایند مورد نظر به سوی مقدار مطلوب سوق داد.       

 نمودارآن را که با چند روش گوناگون بدست می اید را می کشیم تا داده های خارج از کنترل شناسایی و مشکل به وجود آمده را شناسایی و حل کنیم

ابزار کنترل و کیفیت:

این ابزار شامل هفت ابزار پایه ای خواهند بود که در قالب دو نمودار زیر میگنجند:

1-ابزار کمی  

2- ابزارکیفی

انواع نمودار های آماری:

هیستوگرام چیست؟

هیستوگرام نموداری میله ای است که غالباً برای تحلیل فرکانس داده های موجود به کار میرود

هیستوگرام چگونه کار میکند؟دسته های مشخص برای داده های موجود تعیین میکندو داده ها را دسته بندی کرده و در قالب سرفصلهای مذکور قرار میدهد و آنها را برای هر سرفصل مشخص محاسبه میکند سپس دیاگرام مربوطه رسم میگردد در این نمودار گروههای مختلف داده ها بر روی محور xها قرار میگیرند و ارتفاع ستونها نشان دهنده سطح ارزش هر دسته میباشند

موارد استفاده هیستوگرام چیست؟هیستوگرام ها در واقع روش جدیدی برای محاسبه توزیع داده ها در دسته های مختلف عددی ایجاد نموده اند.

برای مثال:

 نرخ خرابی یک ماشین را در خلال یک دوره چند هفته ای در نظر بگیرید تعداد خرابی ماشینها در هر هفته تفکیک خواهد شد حل اگر هیستوگرام داده ها را رسم نمایم پهنای هر ستون معرف یک هفته و ارتفاع هر ستون معرف تعداد خرابی ها در طول هر هفته خواهد بود.

کار ایی این نمودار چیست؟

تعیین معلول ها و مشکلاتی که مد نظر شماست            * دسته بندی دلایل        *  تعیین زیر گروهها*

نمودار پارتوچیست؟

نمودار پارتو : پارتو یک هیستوگرام است به اضافه یک همنشینی تجمعی

نمودار پارتو چگونه کار میکند؟این نمودار دقیقاً شبیه هیستوگرام عمل میکندبدین معنی که ابتدا سرفصل ها را تعریف میکند داده ها را محاسبه و به سرفصل مربوطه تخصیص میدهد سپس این دسته ها را به ترتیب در کنار یکدیگر چیده و رخداد ها را برای هر دسته میشمرد. در این مرحله همه سرفصلها به صورت نزولی مرتب میشوند و نهایتاً نقاط تجمعی دسته ها را توسط یک خط به یکدیگر وصل میکند

موارد به کار گیری نمودار پارتو چیست؟نمودار پارتو براساس قانون 20-80 به شکلی به کار میرود که %80 از مشکلات را به %20 از علل تخصیص داده و کاربر را مستقیماًبه اهداف کیفی مورد نظرش رهنمون میسازد (یادتون نره که نمودار مذکور قابلیت اجرای عکس را نیز داراست.)

برای مثال:

 یک ماشین مشخص مجموعه متفاوتی از خرابیها را بروز میدهد مرکز تعمیرات و نگهداری شرکت ،این نوع خرابی ها را تعیین نموده و تعداد آنها را طی یک پریود 3 ماهه تعیین مینماید. سپس این داده ها را با هم جمع میکند و پس از آن،دسته های خرابی را بر اساس بیشترین ارزش به کمترین ارزش در یک ردیف افقی قرار میدهد اکنون هیستوگرامی به وجود آمده است که ستونهای آن معرف انواع خرابی ها بوده و از سویدیگر ارزشهای تجمعی آن جهت نشان دادن اولویت بهبود به کار میرونددر این مرحله نقاطی را که نشان دهنده خط تجمعی %80 است تعیین میکند اکنون دیگر تمرکز بر انواع خرابیهایی که در قسمت سمت چپ این خط قرار دارند اهمیت ویژه ای خواهند یافت.                                                                                       .    

اریخچه پارتو:

در سال 1897 ویلفرد پارتو ''اقتصاددان ایتالیای1848-1923 فرمولی ارائه کرد که نشان می داد توزیع درآمد ناهموار است . او درآمد فردی را روی محور افقی و جمعیت رابر روی محور عمودی نشان داد و دریافت که تعداد اندکی از مردم دارای درآمد زیاد و اکثرافراد جامعه دارای درآمد اندکی هستند،

براساس اصلی که وی در اقتصاد اجتماعی بیان کرد، حدود 80 درصد نتایج از20درصد علل ناشی می شود. به عبارت دیگر اگرچه برای مسائل موجود، علل بسیار زیادی وجود دارد ولی تعداد کمی حائز اهمیت است . آن چه پارتو روی این نکته توجه کرد، که اگر شما یک ، دو یا سه عامل اصلی را درنظر بگیرید درباره اکثریت عاملها فکر کرده اید،بدین طریق نمودار پارتو در سا1897 به وجود آمد، یک تئوری مشابه به صورت نموداری توسط لورنز ''اقتصاددان آمریکایی  '' در سال 1907 ارائه شد. هردو محقق اشاره داشتند که بیشترین سهم درآمد یا ثروت توسط افراد بسیار کمی از مردم نگهداری می شود، بعدها در زمینه کیفیت دکتر ژوزف جوران در        سال1954 روش نموداری لورنز رابه عنوان فرمولی برای تقسیم بندی مسائل کیفی به مشکلات اساسی معدود و مشکلات جزیی بسیار به کار گرفت و این روش را تجزیه و تحلیل پارتو نامید.                             

نمودار علت و معلول چیست ؟                                                           (Fish bone)

فیشبون (استخوان ماهی) چیست:یک نمودار نمایشی است که ارتباط بین علتها را نشان میدهد و این علل را به معلولهایشان مرتبط میسازد از آنجا که این نمودار شبیه استخوان ماهی است به نمودار استخوان ماهی معروف شده است.

مقدمه

آیا تا به حال علتهای مختلف به وجود آمدن یک مشکل را بررسی کرده اید؟ آیا عوامل مختلفی را می شناسید که در به وجود آمدن این مشکل دخیل بوده اند؟ آیا تا به حال این علتها را دسته بندی کرده اید؟ یا تاکنون نموداری برای آنها رسم کرده اید؟ زمانی که یک عیب، اشکال و یا اشتباه شناسایی می شود، باید علل بالقوه و بالفعل آنها تعیین گردد، در مواقعی که علل بروز مشکل واضح نیست نمودار علت و معلول (CAUSE AND EFFECT DIAGRAM) می تواند ابزارمفیدی برای شناسایی این علل باشد. در این مقاله به طور مختصر به معرفی یکی از ابزارهای هفتگانه عالی (1) (کنترل کیفیت آماری) به نام نمودار علت و معلول می پردازیم و درباره تاریخچه، چگونگی رسم، کاربرد، ارتباط آن با نمودار پارتو و آنالیز تاثیر راه حل که درواقع معکوس شــــــده نمودار علت و معلول است، بحث می کنیم.

در تعریف کنترل فرایند آماری (STATISTICAL PROCESS

 این نمودار را نمی توان یک روش آماری درنظر گرفت. این نمودار کمک می کند که تعیین کنیم برای دست یافتن به هدف چه باید کرد و عوامل مربوطه کدام هستند. بخصوص اگر این مطلب را درنظر داشته باشیم که برای عموم مردم فکر کردن با نمودار ساده تر از آن است که به ذهن خود متکی باشیم، از این نمودار همچنین می توان به عنوان ابزاری در بحث و گفتگو استفاده کرد، این نمودار برای استفاده جهت حل مشکلات عینی و واقعی به کار می رود و از آن می توان برای نشان دادن نحوه کنترل، تشریح دقیق حقایق، کنترل فرایندو یافتن علتها و معلولها سود جست.

تاریخچه نمودار علت ومعلول :

اولین نمودار علت و معلول به وسیله پرفسور «کاآروایشی کاوا» از دانشگاه توکیو هنگام تدریس چگونگی تجزیه عوامل مختلف و ارتباط آنها با یکدیگر به مهندسان کارخانه کاوازاکی در تابستان 1943 با طرح و شکلی که شبیه یک ماهی بود ساخته شد. نمودار علت و معلول از زمره روشهایی است که از ژاپن سرچشمه گرفته و برای بهبود کیفیت به کار رفته است.

 این نمودار بعداً به کشورهای دیگر نیز برده شــده است و گاهی آن را نمودار «ایشی کــــاوا» یا نمودار استخوان ماهی (FISH BONE) نیز می گویند. چرا که این نمودار اولین بار توسط پرفسور <«ایشی کاوا>» مطرح گردید و ازطرفی دیگر شکل آن شبیه استخوان اسکلت ماهی است که مشکل، عیب یا معلول در سر آن قرار گرفته است. سپس این نمودار به وسیله دکتر «ادوارد دمینگ» به عنوان ابزاری سودمند برای بهبود کیفیت به کار برده شد. او مدیریت کیفیت فراگیر را پس از جنگ جهانی دوم در ژاپن آموزش داد و «ایشی کاوا» و «دمینگ» از این نمودار به عنوان اولین ابزارها در فرایند مدیریت کیفیت استفاده کردند.

رسم نمودار علت و معلول

نمودار علت و معلول ارتباط بین ویژگی کیفی و عوامل و فاکتورهای مرتبط به آن را نشان می دهد. رسم آن کار چندان ساده ای نیست و حتی با اطمینان می توان گفت که موفقیت درحل یک مسئله کنترل کیفیت، موفقیت در ساختن یک نمودار علت و معلول است. ساختار کلی این نمودار به شرح زیر است.

نمودار جریان چیست؟

این نمودار روشی برای تحلیل روشها است و از علائم و اصطلاحات ساده استفاده میکند این نمودارها فعالیتها،عملیات و تصمیمات را در یک فرآیند به همراه ارتباطشان به نمایش میگذارد.

موارد به کار گیری این نمودار چیست؟فرآیندی را که شما میخواهید به نمایش میگذارد این نمودار از یک نقطه شروع آغاز نموده و سپس مرحله به مرحله و با استفااده از علائمی همچون دایره،مستطیل، لوزی و یا سایر علائم نمایش خود را نشان میدهد در این بین پیکانها نیز جهت و جریان حرکت فرآیند را به نمایش میگذارنداین نمودار ها که از نقطه خاصی شروع میشوند به وسیله مجموعه ای از علائم اجرا میشوند و نهایتاًبا نقطه خاصی پاایان میپذیرند.

موارد استفاده این نمودار ها چیست؟

یک نمودار جریان امکان درک یک فرآیند یا برنامه را به همراه ارتباط بین عناصر آن در ساده ترین شکل ممکن میسازد.

رویه شما برای تعمیر یک ماشین از طریق نمودار فوق چنین خواهد بود

به عنوان مثال: ابتدا یک پیش نویس در مورد رویه تعمیر تهیه میکنید سپس ماشین را بر اساس آن مرحله به مرحله تعمیر مینمائید اگر تعمیرات مناسب نبودمجدداًتعمیر انجام میشود حال اگر ماشین به نحو صحیح کار کرد به مرحله پایانی رسیده ایم. 

نمودار پراکندگی چیست؟

 ابزاری است که رابطه بین یک علت و یک معلول رابه وضوح مشخص میکند.

  ۱-تعیین دسته های عددی                     ۲-رسم نمودار با نقاط مقداری

این نمودار چه می کند؟

۳-رسم خط روندm*x+a

                    << محاسبه مقدار m

                       <<محاسبه مقدارa

                        <<محاسبه نقاط بر روی خط روند

موارد استفاده از نمودار پراکندگی کدامند:

نمایش ارتباط بین مقادیر و نشان دادن کاهش یا افزایش میزان این ارتباط به وسیله یک نمودار دیداری میباشد.

نمودارهای آغازین چه هستند؟

نمودارهای آغازین نشان دهنده تغییرات در خلال یک فرآیندیا زمان مشخص هستند.

این نمودارها چگونه کار میکنند:

۱-جمع آوری داده ها                            ۲-سازمان دهی داده ها

                       <<اندازه گیری Yها حتماًباید هم جهت با زمان یا توالی اتفاقات باشد

۳-نمودار داده ها                                   ۴-تفسیر داده ها

موارد استفاده این دسته از نمودارها کجاست؟

 تعیین اتفاقات چرخه ای و متوسط شاخص های آنها.

نمودارهای کنترل چه هستند؟

ابزاری احتمالی جهت تعیین احتمال بروز اتفاقات است و نیز برای تعیین اینکه یک فرآیند تحت کنترل است یا خیر به کار میرود.

این نمودار چه کاری انجام میدهد؟

حد بالا وحد پایین و مقدار متوسط داده ها را تعیین میکند.

موارد استفاده این نمودارها کدام اند؟ نمونه گیری از یک فرآیند و تشخیص احتمال خارج از کنترل بودن آن فرآیند.

مثال آماری در تعیین چگونگی رشد جمعیت:

در این مقاله هدف ما،بررسی ساده ترین مدل جمعیت است.یعنی مدل جمعیت یک بعدی تعینی.     

  (یعنی فرض می کنیم فقط یک نوع جمعیت باشد و در آن عوامل تصادفی موثر نیستند).

ما قبل از بیان فرمول مدل جمعیت، مثال زیر را مطرح می کنیم:

مثال:متخصصان بر این باورند که زمین های قابل کشت وزرع، حداکثر می تواند غذای 40 میلیارد انسان را تامین کند،در آغاز سال 1990میلادی جمعیت جهان2/5میلیارد نفر تخمین زده شد . اگر جمعیت با میزان رشد ثابت 2% در سال افزایش یابد،در چه زمانی جمعیت به حداکثر میزان ذکر شده خواهد رسید؟

حل: 

2/5    = جمعیت اولیه به میلیارد
02/0   = نرخ رشد= r
جمعیت در سال میلیارد
جمعیت در سال میلیارد
جمعیت بعد ازn سال میلیارد

حال قرار می دهیم:وn را با لگاریتم گرفتن از طرفین به دست می آوریم : 

یعنی در سال 2093=103+1990 جمعیت به 40 میلیارد نفر می رسد.ما در این مثال، نرخ رشد جمعیت را سال به سال محاسبه کردیم.حال رشد جمعیت را در  پایان هر ماه حساب می کنیم،در مثال بالا نرخ رشد در ماه برابر با :

  می شود.

جمعیت بعد از یک ماهمیلیارد
جمعیت بعد از دو ماهمیلیارد
جمعیت در سال 1991=میلیارد
جمعیت بعد از n سال = میلیارد

جمعیت در سال میلیارد

حال اگر جمعیت را روز به روز محاسبه کنیم،نرخ رشد دریک روز برابر با:

   می شود.

جمعیت بعد از یک سالمیلیارد
جمعیت بعد ازn سال= میلیارد

جمعیت در سال 2093 برابر با :

میلیارد  می شود.

حال اگر جمعیت را در هر ساعت محاسبه کنیم،نرخ رشد جمعیت در یک ساعت برابراست با:   .

جمعیت در سال 2093 برابر است با:

 اگر جمعیت را در هر ثانیه حساب کنیم،جمعیت در سال 2093 بیش تر می شود و به  799/40میلیارد نفر نزدیک می شود.
برای دیدن علت این امر بهتر است به مطلب زیر توجه کنیم:

دنباله ی را در نظرمی گیریم.این دنباله را برای مقدار های مختلف n محاسبه می کنیم:

قضیه: وجود است و آن را عدد e می نامیم .

 ...71828182/2=e حال فرض می کنیم نرخ رشد جمعیتr  باشدو جمعیت اولیه را با و جمعیت بعد از t سال را با شان می دهیم.اگر جمعیت را سال به سال محاسبه کنیم:

و اگر جمعیت را درسال محاسبه کنیم:

یعنی بعد ازt  سال درصورتی که در هر سال، جمعیت را محاسبه کنیم،جمعیت به دو متغیر t (زمان) و n (تعداد تقسیمات زمان)بستگی دارد.بنابر این بانشان می دهیم:

حال اگر n را بزرگ و بزرگ تر کنیم،یعنی محاسبه ی جمعیت را در مدت زمان های کوتاه تری انجام دهیم ،مدل ما به مدل واقعی جمعیت نزدیک و نزدیک تر می شود.یعنی اگر n را به سمت بی نهایت میل دهیم ،جمعیت در هر لحظه محاسبه می شود.این مدل را مدل پیوسته می نامیم و آن را با نشان می دهیم.یعنی:

با فرض  ،اگرآن گاه.بنابراین .

اما : .

و می توان نشان داد که (توجه : x لزوما" طبیعی نیست) :

بنابراین.

یعنی مدل جمعیت پیوسته به صورت زیر است:

در این جا r می تواند منفی نیز باشد.یعنی جمعیت یک کشور،سرمایه و... می تواند نزول کند.زمانی که r مثبت باشد، مدل را مدل رشد و زمانی که r منفی باشد ، مدل زوال گوییم.

مجددا" به محاسبه ی جمعیت در مثال ذکر شده در سال 2093 می پردازیم:

میلیارد نفر 

بنابراین :

 میلیارد نفر .

بنابراین اولین محاسبه که سال 2093 به عنوان سالی است که کره ی زمین جایی برای زیستن ندارد، صحیح نیست. این سال را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

و از آن جا :                   .

یعنی سال موعود با توجه به رابطه ی : 2092=102 +1990، سال 2092است.

*محدثه سادات میرهاشمی*                         میلیارد نفر                 و             CONTROL=SPC) آورده اند که مجموعه ای قدرتمند از ابزار حل مشکل است که در ایجاد ثبات در فرایند تولید و بهبود کارایی آن ازطریق کاهش تغییرپذیری واقع می گردد، کنترل فرایند آماری را می توان برای هرگونه فرایندی مورداستفاده قرار داد. ازجمله ابزارهای کنترل فرایند آماری نمودار علت و معلول است. مورد آزمون ، البته باید به بررسی مورد بزرگ تر و استنتاج بهتر ، درباره جامعه ای که آن می توان ساخت ، پرداخت ،اما از طرف دیگر ، اندازه مزبور ، به دلایل زمانی و تلاش به کار رفته ، معمولاَ کوچک در نظر گرفته می شود، بنابر این باید انحرافی تصادفی از نتایج را نیز به حساب بیاوریم. هنگامی که ، با روش های آماری ، استنتاجاتی درباره جامعه ای به دست می آوریم باید اندازه نمونه مورد آزمون را نیز در نظر بگیریم. ، و انتخاب نماینده ای نمونه را می توان زمانی انجام داد که ماده تحت بررسی را بتوان به گونه ای یکتا به اجزایی تقسیم کرد . به عنوان مثال ، امکان پذیر است که یک محموله پیچ را به چنان طریقی تقسیم کنیم که هر جزء مزبور ، به تصادف انتخاب کرد ، ودر این صورت کل آنها نمونه مورد نظر را تشکیل می دهند. به این طریق تصویری از محموله ، بر مبنای مقیاسی کاهش یافته به دست می آید. گرفته شود. در این مورد، یا برای مشخصه تحت بررسی مقادیر استانداردی موجودند ،که می توانند با نتایج آزمون مقایسه شوند ، یا آزمونهای نظارتی باید انجام گیرند .

با تشکر از دوست عزیز *ریحانه گشانی* که مطلبی در مورد *سرگذشت عدد پی* تهیه کرده بودند ، به دلیل بالا بودن حجم تصاویر، گذاشتن مطلب که به صورت تمام تصویر بود مقدور نبود .(تایپ نشده بود)