جایگاه هنر در درس ریاضی ...

 اگر این را بپذیریم که ، تصور و خیال ، یکی از سرچشمه های اصلی آفرینش های هنری است ، آن وقت ناچاریم قبول کنیم که ، در ریاضیات هم ، دست کم عنصر های زیبایی و هنر وجود دارد چرا که مایه ی اصلی کشف های ریاضی ، همان تصور و خیال است .به قول ولادیمیر ایلیچ نویسنده ی « دفاتر فلسفی » ، تصور و خیال « حتی در ریاضیات هم لازم است ، حتی کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال هم ، بدون تصور و خیال ، ممکن نبود ».با هیچ نیرنگی ، نمی توان از کشش انسان ها به سمت زیبایی ها جلوگیری کرد و آن چه زشت و نازیبا است را جانشین زیبایی ها کرد . آدمی ، از همان روزهایی که می شنود ، می بیند و درک می کند ، از موسیقی و تقاشی و شعر لذت می برد و چه به صورت لالایی مادر باشد یا آهنگ گوش نواز چایکووسکی ، چه بیتی عامیانه و کوچه باغی باشد یا سرودی از لسان الغیب ، چه هنرمندانه قالی های دست باف باشد و چه ظرافت ها و رنگ های چشم نواز بهزاد و کمال الملک ، همه جا انسان را به سوی خود می کشاند و غرق در آرامش و لذت می کند . ولی همه ی این ها ، یک شرط اساسی دارد و آن ، این است که با آفریده ای از یک استاد هنرمند سروکار داشته باشید و گرنه ، حرکت ناشیانه ی آرشه بر ویلون ، روح شما را می آزارد و ردیف بی ربط واژه های شعر سخن ناشناس ، شما را بیزار و کسل کند . در واقع تمامی عرصه ی ریاضیات ، سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می توان ، در شیوه ی بیان موضوع ، در طرز نوشتن ارائه ی آن ، در استدلال های منطقی آن ، در رابطه ی آن با زندگی و واقعیت ، در سر گذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد . هندسه ، به مفهوم عام آن ، زمینه ای است سر شار از زیبایی ، می گویند . افلاطون ، تقارن را مظهر و معیار زیبایی می دانست و چون ، گمان می کرد تنها هندسه است که می تواند رازهای هندسه را بر ملا کند و از ویژگی های آن برای ما سخن بگوید ، به هندسه عشق می ورزید و بر سر در آکادمی خود نوشته بود : « هر کس هندسه نمی داند وارد نشود » . و هنوز هم ، با آن که هنر کوبیسم بسیاری از سنت ها را درهم شکست و زیبایی های خیره کننده ی نا متقارنی را آفرید ، باز هم از قدر و قیمت تقارن چیزی نکاست ، و چه مردم عادی و چه صاحب نظران ، همچنان اوج زیبایی را در تقارن و تکرار می بینند . شاید بتوان گفت که کوبیسم ، مفهوم زیبایی ناشی از تقارن را ، گسترش داده و تکامل بخشیده است .هندسه ، همچون دیگر شاخه های ریاضیات ، زاده ی نیازهای آدمی است ، ولی در این هم نمی توان تردید کرد که ، در کنار سایر عامل ها یکی از علت های جدا شدن هندسه از عمل و زندگی و شکل گیری آن به عنوان یک دانش انتزاعی ، کشش طبیعی آدمی به سمت زیبایی و نظم بوده است . و هرچه هندسه تکامل بیشتری پیدا کرده و عرصه های تازه ای را گشوده ، نظم و زیبایی خیره کننده ی آن ، افزون تر شده است . از همین جا است که ، یکی از راه های شناخت زیبایی ریاضیات و به خصوص هندسه ، آگاهی بر نحوه ی پیشرفت و تکامل آن است . مفهوم نقطه و خط راست ، از کجا آغاز شد و چگونه از فراز و نشیب ها گذشت ، تا به ظرافت و شکنندگی امروز رسید . ما در طبیعت دور و بر خود ، نه تنها نقطه و خط راست هندسی ، بلکه دایره مستطیل و کره و متوازی السطوح هم به معنای انتزاعی خود نمی بینیم . این ذهن زیبا جو و در عین حال ، آفریننده ی انسان بوده است که چنین شکل ها و جسم های به غایت ظریف و زیبا را ابداع کرده است و سپس کاربرد های عملی زیبا تری هم برای آن ها یافته است .و در همین جا است که می توان جنبه ی دیگری از زیبایی ریاضیات را جست و جو کرد . ریاضیات با همه ی انتزاعی بودن خود ، بر همه ی دانش ها حکومت می کند و جزء قانون های آن ، همچون ابزاری نیرومند دانش های طبیعی و اجتماعی را صیقل می دهد و به پیش می برد ، تفسیر می کند و در خدمت انسان قرار می دهد .با چند ضلعی های محدب منتظم ، که نمونه های جالبی از شکل های متقارن اند ، می توان تصویر های جالب و زیبایی به دست آورد . ولی جالب تر از آن ها ، چند ضلعی منتظم مقعر ، یا چند ضلعی منتظم ستاره ای اند . ساده ترین آن ها ، یعنی پنج ضلعی منتظم ستاره ای را به سادگی می توان رسم کرد . بررسی ویژگی های چند ضلعی های منتظم ( محدب و مقعر ) و بدست آوردن شکل های ترکیبی از آن ها ، زمینه ی گسترده ای برای جلب دانش آموزان ، به زیبایی های درس های ریاضی است . از آن جالب تر ، کار با چند وجهی های منتظم است . نشان دادن فیلم ها و اسلاید ها از چند وجهی های افلاتونی و چند وجهی های نیمه منتظم ، یه ویژه اگر همراه با توضیح ساختمان بلور ها و دانه های برف باشد ، می توانند وسیله ی بسیار خوبی ، برای بیدار کردن احساس زیبایی دوستی دانش آموزان باشد . ولی نباید گمان کرد که در اشکال نا منتظم نمی توان زیبایی ها را جست جو کرد .نسبت ها و اندازه گیری ها ، زمینه ی بسیار مساعدی است که می تواند موجب رشد احساس زیبایی شناسی دانش آموزان بشود و آن ها را به طرف ریاضیات جلب کند . مسأله های مربوط به ماکزیمم و می نیمم یکی از جالب ترین و دلکش ترین زمینه ها در هندسه است که ، نه تنها نیروی تفکر و استدلال دانش آموز را بالا می برد ، بلکه در ضمن ، احساس هنری و زیبا شناسی او را هم بیدار می نماید . در هندسه وقتی پاره خطی را طوری به دو بخش تقسیم کنیم که مجذور بخش بزرگتربرابر با حاصل ضرب تمام پاره خط در بخش کوچکتر باشد ، می گویند که : « پاره خط را به نسبت زرین تقسیم کردیم . » تقسیم پاره خط به نسبت زرین» از دوران یونان باستان شناخته شده بوده است و ریاضی دانان یونان باستان مستطیلی را که روی این دو بخش پاره خط ساخته شود زیباترین مستطیل می دانسته اند و آزمایش فوق توانست درستی نظر ریاضی دانان باستانی را تایید کند . درباره ی نسبت زرین باید یاد آوری کرد که از همان دوران باستان ، از این نسبت در مجسمه سازی و معماری به فراوانی استفاده می کرده اند . از همان دوران باستان ریاضی دانان در جست و جوی زیباترین راه حل برای مسأله ها بوده اند . در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می کنند معلم ابتدا مسأله را به طریق عادی حل می کند و سپس راه حل هوشمندانه و سادهای را برای حل مسأله وجود دارد ، به دانش آموزان نشان می دهند . از ساده ترین مسأله هایی که در دبستان مطرح می شود ، تا دشوارترین مسأله های سال آخر دبیرستان ، می توان از این شیوه استفاده کرد . زیبایی شناسی در درس ریاضی : علاقه به هنر و توجه به زیبایی های طبیعت و زندگی یکی از جنبه های شخصیت انسانی را تشکیل می دهد و این علاقه را می توان ، و باید از همان سال های نخست تحصیل ، شکل دادو تقویت کرد . مبارزه با زیبایی و کشاندن کودکان و نوجوانان به سمت پدیده های اندوه بار و تلاش برای دور نگه داشتن آنها از زیبایی های درون و بیرون خود ، به معنای ستیز با طبیعت انسانی آن هاست ودر بهترین صورت خود موجب یأس و سرخوردگی و یا عصیان و بی بند و باری می شود . لگاریتم درهنر نیزکاربرد پیدا می کند. میدانیم درموسیقی برای بیان فشارصوت از دسیبل(Decibel ) استفاده می شود. اصطلاح دسیبل که در بسیاری از مباحث فیزیک موسیقی و نیز به هنگام استفاده از اعمال ضبط و افکت در استودیوهای موسیقی کاربرد دارد در واقع از یک محاسبه ی لگاریتمی فوق العاده آسان قابل محاسبه است.اصطلاح دسیبل برای مقایسه ی نسبت بین دو مقدار در علوم فیزیک، الکترونیک و بسیاری از رشته های مهندسی استفاده می شود. گفتیم دسیبل در فیزیک صوت کاربرد زیادی دارد، یکی از دلایل استفاده از لگاریتم در این شاخه این است که از آن جایی که هر دو مقداری که قرار است با هم مقایسه شوند دارای ابعاد فیزیکی یا دیمانسیون(Dimention) یکسان هسنتد خارج قسمت آن ها عدد خالص و بدون واحد است، لذا می توان از خارج قسمت آن ها لگاریتم گرفت تا بتوان ساده تر مقادیر بسیار کوچک یا بسیار بزرگ را با هم مقایسه کرد، بدون این که از رقم ها و عددهای بزرگ و کوچک استفاده شود. بعبارتی دیگر می توان گفت دسیبل واحدی است برای تغییر حجم صدا. البته قبلا برای این کار از واحد بل(مخترع تلفن) استفاده می شد.کاربردهای لگاریتم در موسیقی در این جا پایان نمی یابد. مثلا لگاریتم در بیان سطح فشار صوت (Sound pressure level) کاربرد می یابد که در آن از معیاری به نام SPL یا سطح فشار صوت استفاده می شود. همچنین، ساوار موسیقیدان و فیزیکدان فرانسوی که واحد سنجش فواصل موسیقی به نام اوست با استفاده از یکی از خاصیت های لگاریتم(لگاریتم حاصلضرب برابرست با حاصل جمع لگاریتم ها) توانست فواصل موسیقی را با هم جمع یا تفریق کند. بعدها برای اینکه جمع و تفریق آن ها از حالت اعشاری خارج شود واحد «سناوار» را مرسوم کردند. از مهمترین کاربردهای لگاریتم میتوان به کاربرد آن در علم زلزله شناسی اشاره نمود. مشکلات زیادی در اندازه گیری بیشینه ی دامنه وجود داشت که به توصیه ی گوتنبرگ دانشمند برجسته ی زمین لرزه شناسی اندازه گیری آن بصورت لگاریتم اعشاری انجام شد، امروزه در رابطه ی مقیاس بندی ریشتر و محاسبه ی بزرگی زلزله به لگاریتم بر می خوریم. سال ها بعد چارلز ریشتر زلزله شناس آمریکایی یک مقیاس لگاریتمی را برای سنجش زلزله تعیین کرد که هنوز هم مورد استفاده است و به نام خودش(ریشتر) معروف است. زلزله شناسان نیز انرژی آزاد شده بوسیله ی زلزله، دامنه و فاصله ی زلزله (کانون زلزله) را با محاسبات لگاریتمی اندازه گیری می کنند. البته بزرگی زلزله یک درجه ی قرار داری است اما می توان از طریق آن و بطور نسبی زمین لرزه ها را با یکدیگر مقایسه نمود. اما باید گفت پرکاربرد ترین علمی که از لگاریتم در آن استفاده می شود شیمی تجزیه است. در شیمی تجزیه بارها و بارها با لگاریتم و عمل لگاریتم گیری مواجه می شویم از آن جمله می توان به استفاده از لگاریتم در اندازه گیری PH ، توابعP ،معادله ی دبای-هوکل که با استفاده از آن می توان ضرایب فعالیت یون ها را از طریق بار و میانگین اندازه ی آن ها محاسبه کرد اشاره نمود. کاربردهای لگاریتم تنها به موارد اشاره شده در این مقاله ختم نمی شود چنانچه لگاریتم در علوم زیستی، نجوم و در اخترشناسی جهت اندازه گیری فاصله بین ستارگان و سیاره ها، آمار، علوم کامپیوتر، زمین شناسی و… نیز کاربرد می یابد ، چه بسا کاربردهای دیگری را که در آینده از لگاریتم شاهد خواهیم بود. درس های ریاضی می تواند نقش عمده ای در شکوفایی زیبایی شناسی داشته باشد و معلم با تجربه می تواند از هر فرصتی برای تقویت درک هنری دانش آموزان استفاده کند و ظرافت بیشتری به روحیه ی زیبا شناسی آن ها بدهد . کودکان و نوجوانان هر چیز جالب را دوست دارندو در ریاضیات ، موضوع های جالب و زیبا ،فراوان است .ریاضیات دانشی است منطقی ، دقیق و قانع کننده و همه ی بخش های آن ، مثل حلقه های زنجیر به هم پیوسته اند. سرچشمه ی تأثیر احساسی و هنری ریاضیات را ، باید در قطعی بودن نتیجه گیری ها و عام بودن کاربردهای آن و هم چنین ، در کامل بودن زبان ریاضیات ، شاعرانه بودن تاریخ آن و در مسأله های معمایی و سرگرم کننده ، جستجو کرد کاربردهای ریاضیات،بی اندازه زیاد و بسیار گوناگون است.در واقع به کار بردن روشهای ریاضی مرزی نمیشناسد: همه شکلهای مختلف ، حرکت ماده را میتوان با روش ریاضی بررسی کرد.البته،نقش و اهمیت روش ریاضی در حالتهای مختلف متفاوت است.هیچ طرح معین ریاضی نمیتوانداز عهده بیان همه ویژگیهای پدیده های حقیقی برآید.وقتی میخواهیم پدیدهای را بررسی کنیم،شکل خاصی از آن را در معرض تحلیل منطقی قرار میدهیم،در ضمن تلاش میکنیم نکته هایی را بیابیم که،در این شکل جدا شده از پدیده واقعی وجود نداردو شکلهای تازهای پیدا کنیم که بیشتر و کاملتر، در برگیرنده پدیده ما باشد. ولی اگر در هر گام تازه، نیاز به بررسی کیفی جهتهای تازهای از پدیده باشد.روش ریاضی،خود را عقب میکشد.در این جا تحلیل منطقی همه ویژگیهای پدیده، تنها میتواند طرح ریزی ریاضی را مبهم کند.ولی اگر شکلهای ساده و پایدار یک پدیده یا یک روند بتواند تمامی پدیده یا روند را با دقت و به طور کامل بپوشاند،اما در مرزهای این شکل مشخص ،به جنبه های پیچیده و دشواری برخورد کنیم، نیاز به بررسی ریاضی و بویؤه استفاده از نمادها و جستو جوی الگوریتم خاص برای حل آنها پیدا شود. این جاست که در قلمرو فرمانروایی روشهای ریاضی قرار میگیریم. همان طور که از بررسی تاریخ بر می آید. آغاز حساب و هندسه مقدماتی، به طور کامل زیر تاثیر خواستهای مستقیم زندگی و عمل بود. اندیشه ها وروشهای تازه بعدی ریاضی هم، با توجه به خواستهای عملی دانشهای طبیعی (اختر شناسی، مکانیک، فیزیک و غیره)، که پیوسته در حال پیشرفت بود، شکل می گرفت. بستگی مستقیم ریاضیات یا صنعت، اغلب به صورت به کار گرفتن نظریه های موجود ریاضی در مساله های صنعتی، جلوه می کند. نمونه ها :حال، از نمونه هایی یاد می کنیم. که بر اثر خواست مستقیم صنعت نظریه های کلی ریاضی به وجود آمده است. روش کمترین مربعات به دلیل نیازهای نقشه برداری پدید آمد بسیاری از حالتهای تازه معادله های دیفرانسیلی، برای نخستین بار برای حل مساله های مربوط به صنعت، طرح و بررسی شد. روشهای اپراتوری حل معادله های دیفرانسیلی، در رابطه با الکترونیک تکامل یافت و غیره. به خاطر نیازهای ارتباطی، شاخه تازه ای به نام انفورماسیون در نظریه احتمال به وجود آمد. مساله های مربوط به ترکیب دستگاههای مدیریت، منجر به پیشرفت دیفرانسیل به جز نیازهای اخترشناسی، مساله های مربوط به صنعت هم نقش اساسی داشته است: بسیاری از این روشها، به طور کامل با تکیه بر زمینه های صنعتی و مهندسی پدید آمدند. با پیچیده تر شدن صنعت و دشواریهای ناشی از آن مساله به دست آوردن سریع جوابهای عددی، اهمیت زیادی پیدا می کند. با امکانهایی که در نتیجه کشف ماشینهای محاسبه برای حل عملی مساله ها به وجود آمد، روشهای محاسبه ای باز هم اهمیت بیشتری پیدا کرد. ریاضیات محاسبه ای، برای حل بسیاری از مساله های عملی و از جمله مساله های مربوط به انرژی اتمی و بررسیهای فضایی، نقشی جدی به عهده دارد. این مقاله میکوشد تا چالشهای دنیای ریاضیات را در مواجهه با دنیای شگفتانگیز نانو بررسی کند. ، ریاضیات در معماری پازل نانو چه نقشی خواهد داشت؟ ، ریاضیات در معماری پازل نانو چه نقشی خواهد داشت؟ علوم نانو و فناوری نانو بیانگر رهگذری به سوی دنیایی جدید هستند. سفر به اعماق سرزمین اتمها و مولکولها نوید دهندهٔ اثراث اجتماعی شگفتانگیزی است: در علوم بنیادین، در فناوریهای نو، در طراحی مهندسی و تولیدات، در پزشکی و سلامت و در آموزش. پیشبینیهای گسترده در حوزه کشفیات جدید، چالشها، درک مفاهیم، حتی هنوز فرم و محتوای موضوع، مهآلود و اسرارآمیز است. این مقاله میکوشد تا چالشهای دنیای ریاضیات را در مواجهه با دنیای شگفتانگیز نانو بررسی کند. به عبارت دیگر، ریاضیات در معماری پازل نانو چه نقشی خواهد داشت: همگان بر این نکته توافق دارند که پیشرفتهای بزرگ، مستلزم تعامل میان مهندسان، ژنتیستها، شیمیدانان، فیزیکدانان، داروسازان، ریاضیدانان و علوم رایانه ای ها است. شکاف میان علوم و فناوری، میان آموزش و پژوهش، میان دانشگاه و صنعت، میان صنعت و بازار بر مجموعه تأثیرگذار خواهد بود. دلایل کافی مبتنی بر فصل مشترک میان نظامهای کلاسیک و فرهنگ ها موجود است.این انقلاب علمی و فناورانه، منحصر به فرد است. این بدین معنی است که میبایستی نه تنها در بعد علمی، که در سایر ابعاد، نیز زیرساختهای بنیادین با حداکثر انعطاف پذیری در برابر تغییرات را پیشگویی و پیشبینی کنیم. دانش ریاضیات به عنوان خط مقدم جبههٔ علم مطرح است. ویژگی بدیهی ریاضیات در علوم نانو «محاسبات علمی» است.محاسبات علمی در فناوریی که به عنوان فناوری انقلابی مطرح شده است. محاسبات علمی در طول، تفسیر آزمایشات، تهیهٔ پیشبینی در مقیاس اتمی و مولکولی بر پایهٔ تئوری کوانتومی و تئوریهای اتمی است. همانگونه که ریاضیات زبان علم است، محاسبات، ابزاری عمومی علم و کاتالیزوری برای تعاملات عمیقتر میان ریاضیات و علوم است. یک تیم محاسبات، دربارهٔ مدلشان و اثر محاسباتشان و تطبیقپذیری آن با واقعیت، به بحث میپردازند. «محاسبات» رابطی میان آزمایش و تئوری است. یک تئوری و یک مدل ریاضی، پیش نیاز محاسبات است و یک آزمایش تنها اعتبار بخش هر نوع تئوری، مدل و محاسبات است. مدلهای ریاضی، ستونهای راهگشا به سوی بنیاد علم و تئوریهای پیش بین هستند. مدلها، رابطهایی بنیادین در پروسههای علمی هستند و اغلب اوقات در سیستمهای آموزشی به فاز مدلسازی و محاسبات، تأکید کافی نمیشود. یک مدل ریاضی بر پایهٔ فرمولاسیون معادلات و نامعادلات اصول بنیادین استوار است و مدل درگیر با درک کامل پیچیدگیهای مسأله نظیر، جرم، اندازهٔ حرکت و توازن انرژی است. در هر سیستم فیزیکی واقعی تقریب اجازه داده میشود، تا مدل را در یک قالب قابل حل عرضه کنند. اکنون میتوان مدل را یا به صورت «تحلیلی» و یا بصورت «عددی» حل کرد. در این حالت مدلسازی ریاضی یک پروسه پیچیده است،زیرا میبایستی دقت و کارآیی را همزمان نشان دهد. در علوم نانو و فناوری نانو، مدلسازی نقش محوری را بر عهده دارد، بویژه وقتی که بخواهیم عملکرد ماکروسکوپی مواد را از طریق طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی کنترل کنیم، آن هم در شرایطی که درجات آزادی زیاد باشد. مدلسازی ریاضی یک ضرورت در این فضای مه آلود است. تفسیر دادههای آزمایشگاهی یک ضروت حتمی است. همچنین برای هدایت، تفسیر، بهینه سازی، توجیه رفتارهای آزمایشگاهی، مدلسازی ریاضی ضرورت مییابد. یک مدل مؤثر، راه رسیدن به تولیدات جدید، درک جدید رفتارشناسی، را کوتاه میکند و تصحیح گر هوشمندی است که از نتایج گذشته درس میگیرد. مدلسازی نه تنها ویژگی منحصر به فرد ریاضیات است بلکه پلی بسوی فرهنگهای مختلف علمی است.تئوری در هر مرحله از توسعهٔ علم، نقش محوری دارد، ارزیابی حساسیت مدل به شرایط پروسههای فیزیکی ، و حصول اطمینان از اینکه معادلات و الگوریتمهای محاسباتی با شرایط کنترل آزمایشگاهی سازگارند، از چالشهای مهم است. تئوری نهایتاً بسوی تعریف نتایج و درک فیزیکی سیستم، میل خواهد کرد و اغلب اوقات ریاضیات جدیدی لازم نیست تا به منظور رسیدن به درک رفتار، ساخته شود.عبور از تئوریهای موجود ارزشمند است و اغلب نیز اتفاق میافتد. زمانی مدلها، مشابه سیستمهای شناخته شده هستند که دقت ریاضی بالایی را داشته باشند اما در جهان شگفت انگیز نانو، مدلهای مختلف و جدید، چالشهای جدی را در دانش ریاضیات پدید میآورند. تئوریهای جدید در مقیاسهای زمانی غیر قابل پیشگوئی اتفاق میافتند و تئوریهای قدرتمند در قالبهای عمیق شکل میگیرند. میانبرهای اساسی لازم است تا شبیهسازی صورت گیرد: طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی، کنترل و بهینه سازی عملکرد مواد و ابزار آلات، و کارآیی شبیهسازی رفتار طبیعی، از مهمترین چالشها است. این چالشها نوید دهندهٔ برهم کنشهای کامل میان حوزههای مختلف ریاضی خواهد بود. آثار اجتماعی این چالشها زیاد و متنوع خواهد بود. منافع حاصل از مشغولیت ریاضیدانان فعال، توازن با چالشهای اصلی در زمینه رشد زیرساختهای ریاضیات، تغییرات در ساختار آموزش ریاضیات، از جمله آثار ورود ریاضیات به دنیای شگفت انگیز نانو خواهد بود. جامعه ریاضی میبایستی اصلاح شود: تئوریهای بنیادین، ریاضیات میان رشتهای و ریاضیات محاسباتی و آموزش ریاضیات. ریاضیات چه حوزههایی را در بر خواهد گرفت؟ الگوریتمهای اصلی در حوزههای ریاضیات کاربردی و محاسباتی، علوم کامپیوتر، فیزیک آماری، نقش مرکزی و میان بر ساز را در حوزهٔ نانو بر عهده خواهند داشت. برای روشن شدن موضوع برخی از اثرات ریاضیات را در فرهنگ نانو بررسی میکنیم: روشهای انتگرال گیری سریع و چند قطبی سریع: اساسی و الزامی به منظور طراحی کدهای مدار (White, Aluru, Senturia) و انتگرال گیری به روش Ewala در کد نویسی در حوزههای شیمی کوانتوم و شیمی مولکولی (Darden ۱۹۹۹) روشهای« تجزیه حوزه»، مورد استفاده در شبیهسازی گسترش فیلم تا رسیدن به وضوح نانوئی لایههای پیشرو مولکولی با مکانیک سیالات پیوسته در مقیاسهای ماکروسکوپیک (Hadjiconstantinou) تسریع روشهای شبیه سازی دینامیک مولکولی (Voter ۱۹۹۷)روشهای بهبود مشبندی تطبیق پذیر: کلید روشهای شبیه پیوسته که ترکیب کنندهٔ مقیاسهای ماکروئی، مزوئی، اتمی ومدلهای مکانیک کوانتوم از طریق یک ابزار محاسباتی است (Tadmor, Philips, Ortiz) روشهای پیگردی فصل مشترک: نظیر روش نشاندن مرحلهای Sethian, Osher که در کدهای قلم زنی و رسوبگیری جهت طراحی شبه رساناها مؤثرند (Adalsteinsson, Sethian) و نیز در کدگذاری به منظور رشد هم بافت ها (Caflisch) روشهای حداقل کردن انرژی هم بسته با روشهای بهینه سازی غیر خطی (المانی کلیدی برای کد کردن پروتیئنها) (Pierce& Giles) روشهای کنترل (مؤثر در مدلسازی رشد لایه نازکها (Caflisch)) روشهای چند شبکهبندی که امروزه در محاسبات ساختار الکترونی و سیالات ماکرومولکولی چند مقیاسی بکار گرفته شده است. روشهای ساختار الکترونی پیشرفته ، به منظور هدایت پژوهشها به سمت ابر مولکولها (Lee & Head – Gordon)  

*هنگامه احسان*