آمار و احتمال ...

مبحث آمار به جمع آوری، تحلیل، و استفاده داده ها جهت حل مسائل ارتباط می یابد. همه افراد هم در زمینه های تخصصی و هم در زندگی روزمره، از طریق تماس با مطبوعات، رادیو، تلویزیون و سایر وسایل ارتباط جمعی به اطلاعاتی برخورد می کنند که به شکل ارقام و اعداد یا داده هستند. بنابراین مقداری فهم آمار برای هر کس مفید خواهد بود. از آنجا که مهندسان، متخصصین علوم، و مدیران مرتباً با جمع آوری و تحلیل داده ها سرو کار دارند، اطلاع از آمار برای این رشته ها از اهمیت اساسی برخوردار است
اهمیت آمار در مهندسی و در مدیریت موقعی مشخص تر شد که نیاز به بهبود کیفیت در صنایع کشورهای پیشرفته شکل جدی تری گرفت. بسیاری از کارخانجات دریافتند که کیفیت ضعیف محصولاتشان چه به صورت ضایعات ناشی از تولید و چه به صورت عملکرد نامطلوب آن ها در دست مصرف کننده، بر بهره وری کلی آن ها ، سهم آن ها در بازار، و نهایتاً سودآوری آن ها تأثیر می گذارد. یک برنامه موفق بهبود کیفیت می تواند تلفات را حذف کند، ضایعات و دوباره کاری را کاهش دهد، از لزوم بازرسی و آزمایش بکاهد، رضایت مشتری را افزایش دهد، و شرکت را قادر سازد تا بصورت یک تولید کننده با کیفیت و کم هزینه در بازار درآید. آمار یک ابزار مهم برای بهبود کیفیت است، چون که شیوه های آماری می تواند جهت تشریح و شناخت تغییر پذیری استفاده شود.
اساساً همه فرایند های دنیای واقعی از خود تغییرپذیری نشان می دهند. مثلاً فرض کنید می خواهیم چند قطعه را ازیک فرایند تولید انتخاب کرده و یک بعد حساس ( مثلاً قطر داخلی ) آن ها را اندازه بگیریم. اگر ابزار اندازه گیری به حد کافی دقیق باشد، مطمئناً مشاهده خواهد شد که قطر سوراخ ها متفاوت است. ( یعنی در این بعد تغییر پذیری وجود دارد ). این تغییرپذیری به کل جهان تعمیم می یابد. در ضخامت پوشش های اکسیدی روی قرص های سیلیکون، در بازده زمانی یک فرآیند شیمیایی، در تعداد اشتباهات سفارش های خرید، و در زمان لازم برای مونتاژ یک موتور هواپیما تغییر پذیری وجود دارد.
اگرچه مثالهای فوق، موارد صنعتی و تولیدی را نشان می دهد ولی کاربرد احتمال و آمار در تمامی زمینه های علوم کاربردی دارای تغییرپذیری یا در موارد نتیجه گیری درباره یک سیستم مبتنی بر داده های مشاهده شده گسترده است. اساساً، هر کار تجربی دارای چنین ماهیتی است و تغییر پذیری، یک مشخصه کلیدی این مسائل است. و اما چرا تغییرپذیری انجام می شود؟
معمولاً تغییرپذیری حاصل تغییر در شرایطی است که مشاهدات در آن انجام می شود.در یک محیط تولیدی، این تغییرات می تواند شامل تفاوت جنبی مواد، تفاوت در روش انجام کار، تفاوت در متغیر های فرآیند (مثل دما، فشار و ... ) و تفاوت در عوامل محیطی ( مثل رطوبت نسبی ) باشد
موضوع آمار و احتمال شامل روش هایی برای تشریح تغییرپذیری و ایجاد مدل آن، و برای تصمیم گیری در موقعی که تغییر پذیری وجود دارد می شود. درآمار استنباطی معمولاً در مورد یک جامعه تصمیم گیری می شود. اصطلاح جامعه به مقادیر تمام عناصر مجموعه ای که می خواهیم در مورد آن نتیجه گیری کنیم برمی گردد. بعنوان مثال، یک جامعه می تواند شامل تمام منابع تغذیه یک نوع کامپیوتر شخصی که توسط یک شرکت الکترونیکی در طی هفته گذشته تولید شده است،شود. فرض کنید این سازنده به ولتاژ خروجی هر منبع تغذیه توجه خاصی دارد. بنابراین می توانیم مقادیر ولتاژ خروجیمنابع تغذیه را بعنوان یک جامعه آماری در نظر بگیریم. در اینصورت هر مقدار جامعه یک اندازه عددی مثل 10/5 یا 24/5 خواهد داشت. این داده ها با نام اندازه یا داده های عددی مشخص می شوند. اما سازنده ممکن است تنها علاقه داشته باشد بداند هر منبع تغذیه دارای ولتاژ خروجی مناسب است یا خیر. در اینصورت جامعه شامل داده های وصفی می شود که به هر منبع تغذیه مقدار یک- اگر دارای ولتاژ مناسب نباشد- و مقدار صفر- اگر دارای ولتاژ مناسب باشد- اختصاص داده می شود.
در بیشتر کاربردهای آمار، داده های موجود شامل نمونه ای از جامعه مورد نظر می شود. این نمونه تنها زیر مجموعه ای از مشاهدات انتخابی از جامعه است
آمار توصیفی، شاخه ای از آمار است که با آرایش، تلخیص، و نمایش داده ها سروکار دارد. بسیاری از شیوه های آمار توصیفی از 200 سال پیش و اب شروع در نقشه برداری و سرشماری ها مورد استفاده قرار می گیرد. تکنولوژی جدید کامپیوتر ، مخصوصاً گرافیک کامپیوتری ، زمینه آمار توصیفی را در سال های اخیر گسترش داده است بطوریکه هم اکنون هم راحتی و با سرعت می توان از شیوه های پیچیده نمایش داده ها استفاده کرد. شیوه های آمار توصیفی می تواند هم برای تمام جامعه آماری و هم برای نمونه ها مورد عمل قرار گیرد. معمولاً داده های موجود حاصل نمونه هایی از جامعه آماری است و اغلب اوقات ،هدف تصمیم گیرنده، استفاده از اطلاعات نمونه برای نتیجه گیری ( یا استنباط ) روی جامعه ای است که از آن نمونه گیری شده است. مبحث شیوه های آماری مورد استفاده در این نوع مسائل را آمار استنباطیمی نامند. بیشتر شیوه های آمار استنباطی در 80 سال اخیر توسعه یافته است و بنابراین آمار استنباطی در مقایسه با آمار توصیفی بسیار جدیدتر است. با این حال بیشتر کاربرد های آمار در مهندسی، علوم، و مدیریت مدرن به استنباط و تصمیم گیری بر می گردد. مثلاًمهندسی تولید که داده های نمونه ای برای ولتاژ خروجی یک منبع تغذیه جمع آوری کرده است می خواهد از این اطلاعات نمونه برای استنباط در مورد قابلیت فرآیند تولید استفاده کند. بنابراین آمار استنباطی از اهمیت ویژه ای برخوردار است.
با آشنایی با احتمال ، می توان به راحتی از مبحث آمار توصیفی وارد مقوله آمار استنباطی شد. مخصوصاً اینکه براساس شناخت احتمال می توان نسبت به چگونگی بدست آوردن شیوه های استنباط و تصمیم گیری، نحوه کار این تکنیک ها ، و چگونگی تفسیر و ارائه نتایج آن ها آگاه شد. مطالعه احتمال کمک می کند تا عدم اطمینان ناشی از نمونه گیری را درک کنیم. علاوه براینکه نظریه احتمال، مبانی ریاضی و زبان آمار استنباطی را تأمین می کند، شامل متدولوژیهای مهم مورد استفاده در تشریح تغییرات تصادفی سیستم ها نیز می شود. 

تاریخچه احتمال هیلبرت در سخنرانی خود نقل قولی از"وایر اشتراوس"آورد که گفته بود:"هدف نهایی که همیشه باید به یاد داشت،رسیدن به یک فهم درست مبانی علم است."هیلبرت اضافه کرد که فهم کامل نظریه های خاص یک علم برای بحث موفقیت آمیز مبانی آن ضروری ست. کار کولموگروف که در حال حاضر مورد قبول همگان است،سه ویژگی بدیهی و بی چون و چرای احتمال را به عنوان اصل موضوع اختیار کرده و همهء نظریهء احتمال را بر مبنای آنها به دقت بیان کرده است.به خصوص اینکه یکتایی مقدار احتمال را برای یک پیشامد در تعداد دفعات معین آزمایش تضمین میکند. احتمالهای ذهنی مبتنی بر شناختها،ادراکها و باورهای شخصی را نیز میتوان مدل بندی و به وسیلهء این رهیافت اصل موضوعی،مطالعه کرد. دو کار بزرگ لاپلاس که نه تنها تحقیقات خود او بلکه در موضوعات مربوط همهء کارهای پیشین را وحدت میبخشد،عبارتند از:"نظریهء تحلیلی احتمال"و"مکانیک سماوی".این دو اثر ماندنی به مقدمه های توصیفی مفصل به زبان غیرفنی:جستار فلسفی در احتمالات و شرح نظام عالم آغاز شدند. جستار فلسفی در احتمالات مقدمه ای خواندنی برای نظریهء احتمالات است؛این مقاله تعریف"منفی"لاپلاس از احتمالات را که بر "پیشامدهای متساوی الاحتمال" مبتنی ست شامل میشود. "نظریهء تصادف"عبارت است از تحویل همهء رویدادهایی که از یک نوع اند به تعداد معینی از موارد متساوی الاحتمال،یعنی مواردی که از نظر پیشامدی که در پی احتمالش هستیم مطلوبند. به نظر لاپلاس مسائل مربوط به احتمال از آن رو مطرح میشود که چیزهایی را میدانیم و چیزهایی را نمیدانیم. لاپلاس همچنین نظریه ای را که "تامس بیز"،کشیش گمنام انگلیسی طرح کرد و پس از مرگش در فاصلهء سالهای۱۷۶۳-۱۷۶۴ منتشر شده بود از فراموشی نجات داد و مجدداً تدوین کرد.این نظریه به نظریهء احتمالات وارون معروف شده است. گفتیم که یکی از افراد مهمی که سهمی در نظریهء احتمالات داشت آبراهام دوموآور بود.دوموآور یک "هوگنو"ی فرانسوی بود.هوگنو نامی ست که به پروتستان های فرانسوی قرون ۱۷و۱۸ داده شده بود.پس از نسخ فرمان نانت(فرمانی که در سال ۱۵۹۸ توسط هانری چهارم صادر شد و به موجب آن به هوگنویها مساوی دیگران داده شد)در سال ۱۶۸۵ به فضای سیاسی مساعدتر لندن مهاجرت کرد. وی در زندگی خود را در انگلیس از طریق تدریس خصوصی گذاراند و از دوستان نزدیک آیزاک نیوتن شد. دوموآور بخصوص به خاطر اثرش "قسط السنین عمر" که نقش مهمی در تاریخ ریاضیات آمارگری دارد،اثر "کمترین شانس" که حاوی مطالب جدیدتری دربارهء نظریهء احتمالات است و اثر "جنگ تحلیلی" که دربارهء سریهای متناوب،احتمال و مثلثات تحلیلی است،شهرت دارد. خبر ظاهرا‌ً موثقی در دست است که فرما در بومون دولمانی نزدیک تولوز در۱۷ اوت ۱۶۰۱ بدنیا آمد.میدانیم که اودر کاستر یا در تولوز در ۱۲ ژانویهء۱۶۶۵ درگذشت.سنگ قبر او که بدواً در کلیسای آگوستین در تولوز بود و بعداً به موزهءملی منتقل شد،تاریخ مرگ فوق و سن فرما را در بدو مرگ ۵۷ سال میدهد.به دلیل اینکه اطلاعات متناقض تاریخ تاریخ تولد و مرگ فرما معمولاً به صورت ۱۶۶۵-۱۶۰۱ ثبت میشود.در واقع به دلایل متعدد تاریخ ولادت فرما به صورتی که نویسندگان مختلف داده اند از ۱۵۹۰ تا ۱۶۰۸ تغییر میکند. فرما پسر یک تاجر چرم بود و تحصیلات مقدماتی را در زادگاه خود انجام داد.در ۳۰ سالگی به عضویت پارلمان محلی در تولوز در آمد و وظایف خود را در آنجا با دقت زیاد انجام داد. وی که حقوقدانی متواضع و گوشه گیر بود قسمت اعظم ساعات فراغت خود را وقف مطالعهء ریاضیات کرد. گرچه در دوران حیات خود مطالب کمی را منتشر کرد ولی با ریاضیدانان برجستهء زیادی که با او همزمان بودند مکاتبهء علمی داشت و از راه همین مکاتبات تا حد زیادی معاصران خود را تحت تاثیر قرار داد. شاخه های ریاضی که وی موجب غنای آنها به قدری متعددند و سهم وی در آنها به قدری اهمیت دارد که بزرگ ترین ریاضیدان قرن هفدهم فرانسه نامیده شده است. قبلاً خاطر نشان کردیم که مکاتبات بین پاسکال و فرما اساس علم احتمال را پیریزی کرد.متذکر میشویم که به اصطلاح ‌"مسئلهء امتیازها" بود که آغازگر این مطلب گردید:"نحوهء تقسیم جایزه در بازی نیمه تمام مانده ای بین دو بازیکن به فرض داشتن مهارت یکسان با معلوم بودن امتیاز های دو بازیکن در موقع قطع بازی و تعداد امتیازات لازم برای برنده شدن را تعیین کنید." فرما به بحث در حالتی پرداخت کهA،یکی از بازیکن ها برای برنده شدن ۲ امتیاز و Bبازیکن دیگر ۳ امتیاز میخواست.در اینجا جواب فرما برای حالتی اینچنین می آوریم. چون آشکار است که چهار بازی دیگر نتیجه را معین خواهد کرد اگر aمعرف بازی ای باشد که در آن Aبرنده میشود و bمعرف بازی ای که در آن Bبرنده میشود و ۱۶ تبدبل دو حرف aوbرا ۴ به ۴ در نظر بگیریم: aaaa,aaab,abba,bbab baaa,bbaa,abab,babb abaa,baba,aabb,abbb aaba,baab,bbba,bbbb حالت هایی که در آن aدو بار یا بیشتر ظاهر میشود،مساعد برای Aست.۱۱ تا از این حالتها وجود دارند.حالتهایی که در آن bسه بار یا بیشتر ظاهر میشود مساعد برای Bست.تعداد آنها ۵ است.بنابر این باید به نسبت ۱۱:۵تقسیم شود.در حالت کلی که برای برنده شدن Aبهmامتیاز و Bبه n امتیاز نیاز دارند،۲^m+n-۱ جایگشت ممکن دو حرف aوbرا m+n-۱ بهm+n-۱ مینویسیم:در این صورت عدد aتعداد حالتهایی را کهa،mبار یا بیشتر و عددbتعداد حالتهایی که در آن b،nبار یا بیشتر ظاهر میشود به دست می آوریم بنابراین باید جایزه به نسبت a:bتقسیم کرد.پاسکال مسئلهء امتیازها را با استفاده از مثلث معروف خود حل کرد.  

...بقیه مطلب را در ادامه مطلب ببینید 

*شایسته رحیمی*

 انواع احتمال

احتمال کلاسیک

اگر آزمایشی تصادفی دارای n برآمد ممکن دو به دو ناساگار و هم‌شانس باشد و اگر n_A برآمد از این برآمدها حاوی صفت A باشند، آنگاه احتمال A برابر کسر می‌باشد. احتمالهایی که با تعریف کلاسیک احتمال تعیین می‌شوند احتمالهای پیشین نامیده می‌شوند. وقتی بیان می‌کنیم که احتمال بدست آوردن شیر در پرتاب یک سکه 2/1 است، صرفا با استدلال مقیاسی به این نتیجه رسیده‌ایم. برای رسیدن به این نتیجه لازم نیست که هر سکه‌ای پرتاب شود یا حتی موجود باشد.

احتمال پسین یا فراوانی

مثلا در پرتاب یک سکه فراوانی نسبی تعداد شیرها به 2/1 نزدیک است. این مساله دور از انتظار نیست چون سکه متقارن بوده و پیش بینی می‌شد که در تکرار زیاد ، رویه شیر در حدود نیمی از دفعات ظاهر شود. توجه کنید گر چه فراوانیهای نسبی برآمدهای گوناگون قابل پیش بینی هستند ولی برآمد واقعی یک بار پرتاب غیر قابل پیش بینی است. این احتمالهای تجدید نظر شده را احتمالهای پسین یا پس از آزمایش گویند که هر گونه استنباطی در مورد وضعیتهای طبیعی نامعلوم ، باید مبتنی بر آنها باشد.

قواعد کلی احتمال

خواص احتمال مربوط به فضاهای گسسته که در آنها برآمدهای مقدماتی یا متناهی‌اند یا آنها را می‌توان به صورت یک دنباله مرتب نمود. در بسیاری از آزمایشها ، با کمیت پیوسته از قبیل قد ، وزن و درجه حرارت سروکار داریم. در این گونه آزمایشها ، فضای نمونه بدست آمده مرکب از تمام اعداد حقیقی موجود در یک فاصله است و فضای نمونه پیوسته نامیده می‌شود.

بیشتر مطالب مربوط به تعبیر احتمال یک پیشامد به عنوان فراوانی نسبی در تکرار زیاد آزمایشها و بیشتر خواص احتمال ، برای این فضاها نیز معتبرند. مع‌هذا ، در فضای نمونه پیوسته این استثنای قابل ملاحظه وجود دارد که رابطه (P(A)=∑ P(e (به ازای تمام eهای متعلق به A)
فاقد معنی است زیرا برآمدهای مقدماتی e در A نه تنها نامتناهی‌اند بلکه به صورت یک دنباله نیز نمی‌توان آنها را مرتب کرد. در ریاضی ، اگر جمله‌هایی را که باید جمع شوند نتوان به صورت یک دنباله نوشت، عمل جمع تفریق نمی‌شود.

شرایط احتمال

برای تعریف کلی احتمال ، شرایطی را بیان می‌کنیم که هر عددی که به عنوان احتمال به یک پیشامد منسوب می‌شود باید آن شرایط را داشته باشد. این شرایط با توجه به رفتار فراوانیهای نسبی تعیین شده است و منطبق بر خواص احتمال در فضاهای گسسته است.

·         احتمال P ، تابعی است با مقادیر عددی که روی پیشامدهای موجود در یک فضای نمونه S تعریف می‌شود و در شرایط زیر صدق می‌کند.

الف) برای تمام پیشامدهای 0≤P(A)≤1,A
ب) P(S)=1 (احتمال پیشامد فضای نمونه برابر 1 است)
ج) برای پیشامدهای جدا از هم A₁ ، A₂ و ...

... + (P(A₁ U A₂ U …) = P(A₁) + P(A₂

برای یافتن قاعده متمم گیری ، توجه کنید که A و Á دو پیشامد جدا از هم هستند و A U Á = S

سه قانون مهم احتمال برای یک فضای نمونه در حالت کلی

(P(A) = 1 - P(Á

(P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(AB

(P(A∩B) = P(AB) = P(B) P(A|B

P(A U Á)= P(A) + P(Á) = P(S) = 1

(P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC