اعداد فوق کامل

در ریاضیات یک عدد فوق کامل عددی صحیح مانند n است که در رابطه ی زیر صدق کند

که در آن σ تابع تقسیم کننده می باشد.

اولین اعداد فوق کامل عبارتند از :2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144

اگر n یک عدد فوق کامل زوج باشد باید به شکل توانی از 2 مانند 2^k باشد به طوری که2^k+1-1 یک عدد اول مرسن باشد.

مشخص نیست که عدد فوق کامل فردی وجود دارد یا نه. یک عدد فوق کامل فرد مانند n باید مربع کامل باشد به طوری هم n و هم (σ(n حداقل بر 3 عدد اول متمایز بخشپذیر باشند. هیچ عدد فوق کامل فردی کوچکتر از 7x10²⁴ وجود ندارد.

اعداد کامل و فوق کامل زیر مجموعه ای از دسته ای بزرگتر از اعداد((m.k کامل هستند که در رابطه ی زیر صدق می کنند

با این نماد گذاری اعداد کامل (1,2)-کامل هستند و اعداد فوق کامل (2,2)-کامل. دسته های دیگری از اعداد (m,k)-کامل عبارتند از :

m	k	(m,k)-کامل	دنباله OEIS
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	A019289
3	any	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	A019292
4	any	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	A019293

*فائزه سامانی*

اعداد دوست

عدد دوست در نظریه اعداد یک عدد طبیعی مثبت است که نسبت بین مقسوم علیه‌های آن عدد و خود عدد با یک یا چند عدد دیگر همانند است. دو عدد که در این خاصیت سهیم باشند یک زوج دوست نامیده می‌شوند. دسته‌های بزرگ‌تر اعداد دوست نیز وجود دارد. عددی که چنین دوستانی نداشته باشد عدد تنها نامیده می‌شود.

خاصیت مورد نظر عبارت است از عدد غیر موهومی σ(n) / n است که در آن σ نشان دهنده تابع تقسیم کننده (مجموع تمام مقسوم علیه‌ها) است. n یک عدد دوست است اگر n ≠ m باشد به طوری کهσ(m) / m = σ(n) / n .

اعداد ۱ تا ۵ همگی تنها هستند. کوچکترین عدد دوست ۶ است که زوج دوست (۲۸٬۶) که در ان ۶/(۶)σ مساویست با ۶ / (۶ + ۳ + ۲ + ۱) مساویست با ۲ همانطور که۲۸ / (۲۸)σ مساویست با ۲۸ / (۲۸ + ۱۴ + ۷ + ۴ + ۲ + ۱) مساویست با ۲. مقدار مشترک ۲ در این مورد یک عدد صحیح است اما در بسیاری از موارد چنین نیست.

مسائل حل نشده بسیاری در رابطه با اعداد دوست وجود دارد. به‌رغم مشابهت نام، هیچ رابطه خاصی بین اعداد دوستانه یا اعداد اجتماعی وجود ندارد. هر چند تعریف این دو نیز شامل تابع تقسیم است.

تابع تقسیم

اگر n یک عدد مثبت طبیعی باشد (σ(n جمع مقسوم علیه‌های ان است . مثلا ۱۰ به ۵، ۲ ،۱ و ۱۰ بخش پذیر است و لذا σ(۱۰) = ۱ + ۲ + ۵ + ۱۰ = ۱۸.

قرابت و دوستی

قرابت یا (K(n برای یک عدد مثبت طبیعی n به صورت عدد غیر موهومی σ(n)/n تعریف می‌شود مثلا κ(۱۰) = ۱۸/۱۰ = ^۹/_۵. کلمه قرابت و نشانه (K(n کاربرد‌های استاندارد نیستند و در اینجا فقط برای تسهیل بیان به کار رفته‌است. اعدادی که قرابت آن‌ها مثل هم باشد دوست هستند مثلا K(۴۹۶) = K(۲۸) = K(۶)=۲ اعداد ۶، ۲۸ و ۴۹۶ همه کامل هستند و بنابراین دوست هستند به عنوان مثالی دیگر : (۳۰ و ۱۴۰) یک زوج دوستی هستند از آنجا که(K(۳۰) =K(۱۴۰ :

دوست بودن یک رابطه هم ارزی است و لذا شامل تقسیم اعداد صحیح به دسته‌هایی از اعداد دوست هست .

اعداد تنها

اعدادی که به یک دسته واحد تعلق دارند چون عدد دوست دیگری نیستند اعداد تنها هستند.

همه اعداد اول و توانهایشان کامل هستند، به طور عام تر هر جا اعداد n و(σ(n اول هستند به این معنا که بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن‌ها ۱ است به طوری که σ(n)/n یک تابع کاهش نا پذیر است عدد n تنهاست . برای یک عدد اول p داریم σ(p) = p + ۱ که مانند p عدد اول است .روشی عمومی برای این که بفهمیم یک عدد کامل است یا تنها وجود ندارد.

کوچکترین عددی که طبقه بندی آن معلوم نیست (تا سال ۲۰۰۷) ۱۰ است و حدس زده می‌شود که تنها باشد اگر نباشد کوچکترین دوست آن یک عدد نسبتا بزرگ خواهد بود.

دسته‌های بزرگ

این مسئله باقی است که ایا دسته‌های بی نهایت بزرگ اعداد دوست وجود دارد؟ اعداد کامل یک دسته را تشکیل می‌دهند و حدس زده می‌شود که بی نهایت عدد کامل وجود دارد .(دست کم به اندازه تعداد اعداد اول مرسن) اما دلیلی برای ان نداریم . تا سال ۲۰۰۸ ،۴۴ عدد کامل شناخته شده‌است که بزرگترین انها ۱۹ میلیون رقم در سیستم ده دهی دارد . دسته‌های دیگری با اعداد شناخته شده بیشتر به خصوص آن‌هایی که از اعداد کامل چند گانه تشکیل می‌شوند که اعدادی هستند که قرابت آن‌ها عدد صحیح است. تا اوایل سال ۲۰۰۸ دسته ی اعداد دوست با قرابت مساوی ۹ ، ۲۰۷۹ عدد شناخته شده بوده‌است گرچه می‌دانیم برخی از انها بسیار بزرگ هستند دسته‌های اعداد کامل چند جانبه (به استثنای خود اعداد کامل) حدس زده می‌شود که متناهی باشد.

*فائزه سامانی*

مسئله پل‌های کونیگسبرگ

مسئله پل‌های کونیگسبرگ یکی از مشهورترین مسائل در نظریه گراف است که در مکان و شرایط واقعی طرح شده‌است. در اوایل ساکنین کونیگسبرگ در پروسیا (در حال حاضر کالینینگراد در روسیه) در روزهای یکشنبه پیاده‌روی‌هایی طولانی در شهر داشتند. رود پرگل شهر را به چهار قسمت تقسیم می‌کرد که با هفت پل به هم مربوط بودند. ساکنین سعی می‌کردند مسیری بیابند که از نقطه‌ای در شهر شروع کنند و از تمامی پل‌ها فقط یکبار بگذرند و به نقطه شروع بازگردند. نقشه کونیگسبرگ در زمان اویلر تاریخچه حل مسئله در سال ۱۷۳۶ لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی ثابت کرد که چنین مسیری وجود ندارد. او که در آن زمان استاد دانشگاه سن پترزبورگ بود، در مقاله‌ای با عنوان Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (راه حل مسئله‌ای در رابطه با هندسه موقعیت) اثباتش را شرح داد. بعدها در سال ۱۸۷۳ کارل هیرهولتزر کار او را تکمیل کرد و در سال ۱۹۳۵ جیمز نیومن مقاله تکمیلی را نوشت. مقاله اویلر شامل این شکل بود که نام مناطق مختلف کونیگسبرگ را نشان می‌دهد. این تصویر نام هفت پل به آلمانی و معنی آن‌ها به فارسی را نشان می‌دهد. پل‌ها از هفت پل زمان اویلر، دوتا از پل‌ها در جریان جنگ جهانی دوم به کلی نابود شدند. یکی دیگر از آن‌ها در سال ۱۹۳۵ توسط آلمانی‌ها بازسازی شد. دوتای دیگر نیز اکنون تبدیل به اتوبان شده‌است و فقط دوتا از پل‌ها متعلق به زمان اویلر است. پنج پل باقیمانده در کالینینگراد امروزی دارای مسیری است که از یک نقطه شروع می‌شود و از تمامی پل‌ها یکبار می‌گذرد و به نقطه‌ای دیگر ختم می‌شود. اهمیت مسئله در تاریخ ریاضیات راه‌حل اویلر باعث شکل‌گیری بهتر شاخه جدیدی از ریاضیات به نام توپولوژی شد که پیشتر توسط لایبنیتز مطرح شده بود اما مهمتر از آن، راه‌حل اویلر در تاریخ ریاضیات به عنوان اولین قضیه در نظریه گراف شناخته شده‌است که امروزه شاخه‌ای بسیار کاربردی در ریاضیات محسوب می‌شود. راه‌حل اویلر اویلر ابتدا نقشه شهر را با نقشه‌ای که فقط خشکی‌ها، رود و پل‌ها را نشان می‌داد، جایگزین کرد. سپس هر خشکی را با یک نقطه نشان داد که رأس نامیده می‌شود و هر پل را نیز با یک خط نشان داد که یال نامیده می‌شود. این ساختار ریاضی را گراف می‌نامند. ‎ → → اویلر ثابت کرد برای آنکه مسیری وجود داشته باشد که از یک رأس شروع شود و از تمامی یال‌ها یکبار بگذرد و به همان رأس بازگردد، باید گراف هم‌بند بوده و هر یک از رأس‌های آن نیز از درجه زوج باشد. چنین مسیری، دور اویلری و چنین گرافی، گراف اویلری نامیده می‌شود. برای آنکه از یک رأس بگذریم، باید از یک یال به آن رأس وارد شویم و چون باید از هر یال یکبار عبور کنیم، باید از یال دیگری که از آن عبور نشده‌است از آن رأس خارج شویم. پس همواره رئوسی که از آنها عبور می‌کنیم از درجه زوج هستند زیرا در هر گذر درجه آن رأس به اضافه دو می‌شود. حال اگر نقطه شروع و پایان یکی باشد، تمام رئوس از درجه زوج خواهند بود و دور اویلری طی کرده‌ایم. اگر نقطه شروع و پایان یکی نباشد، فقط این دو رأس از درجه فرد و بقیه رئوس از درجه زوج خواهند بود. چنین مسیری را مسیر اویلری می‌نامند. چون در مسئله هفت پل کونیگسبرگ چهار رأس از درجه فرد داریم پس نه دور اویلری و نه مسیر اویلری وجود دارد. اویلر ثابت نکرد که هم‌بند بودن و زوج بودن رئوس شرط کافی برای اویلری بودن گراف است. در سال ۱۸۷۳ تکمیل این اثبات منتشر شد. این تکمیل توسط کارل هیرهولتزر انجام شد که قبل از انتشار اثبات مرده بود و تنها دلیلی که اثبات منتشر شد این بود که او به همکارانش اثبات را گفته بود. نتیجه آن دو قضیه زیر بود: • یک گراف دارای دور اویلری است اگر و تنها اگرهم‌بند بوده و رئوس آن از درجه زوج باشند. • یک گراف دارای مسیر اویلری است (و نه دور اویلری) اگر و تنها اگرهم‌بند بوده و دقیقاٌ دو رأس از آن از درجه فرد باشند. الگوریتم فلری برای تولید یک دور اویلری در گراف حاوی این دور می‌توان از این الگوریتم که در سال ۱۸۸۳ معرفی شد، استفاده کرد.  

*فائزه سامانی*

تاریخچه هندسه

 واژه انگلیسی Geometry ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می‌گرفت. این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت‌گذاری زمین‌ها با کمک پایه‌ها و طناب‌ها اختراع کردند. آنها پایه‌‌ای را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌‌شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی‌ می‌گشت. با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
تالس‌ دلایل ثبوت برخی از فرضیه‌ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی‌ می‌کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند. براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسة تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم. خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند. در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است. بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آریاب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

کاربرد هندسه در روانشناسی:


آزمونی ساده: ساده ترین اشکال هندسی را به یاد بیاورید: مربع، مستطیل، مثلث، دایره، منحنی پس خیلی سریع و بدون اینکه زیاد به مغزتان فشار بیاورید، شکلی را انتخاب کنید که بیشتر از همه می پسندید. آزمونی روانشناسی پیش روی شماست، که با توجه انتخابتان به سرعت نشان می دهد که شما در زندگی چه جور آدمی هستید و احتمال موفقیتتان در چه مشاغلی بیشتر است.
مربع: کسانی اند که در محیط پایدار بیشترین احساس آرامش را دارند و مسیر کارهایشان به طور کامل آشکار است. چنین اشخاصی محافظه کارند و دوست دارند که همه چیز مرتب و منظم باشد. وظیفه شناس اند و اگر کاری را به آنها محول کنید، آنقدر روی آن وقت می گذارند تا تمام شود حتی اگر کاری تکراری و طاقت فرسا باشد و مجبور شوند که بتنهایی آن را انجام دهند.
مستطیل: پایبند بودن از اصول مشخصه آنهاست، نظم و ترتیب را دوست دارند ولی آن را با سازماندهی دقیق اجرا می کنند این امر سبب می شود تا راههای مناسبی را انتخاب و همه قواعد و مقررات را بررسی کنند. اگر وظیفه ای را به این اشخاص محول کنید ابتدا آن را به خوبی سازماندهی می کنند تا اطمینان یابند که به طور اصولی اجرا خواهد شد.
آنهایی که مثلث را انتخاب می کنند: اشخاصی هدف گرایند و از برنامه ریزی قبل از انجام دادن کارها لذت می برند و به طرح موضوع و برنامه های بزرگ و بلند مدت تمایل دارند اما ممکن است که مسائل جزئی را فراموش کنند اگر کاری را بر عهده آنان بگذارید، ابتدا هدفی را برای آن تعیین و سپس با برنامه ریزی کار را آغاز می کنند.
آنهایی که دایره را انتخاب می کنند: اجتماعی و خوش صحبت اند و هیچ لحن خشنی ندارند و امور را با صحبت کردن درباره آن تنظیم می کنند و نخستین اولویتشان در زندگی ارتباطات است. مطمئن باشید که اگر وظیفه ای را به آنها محول کنید آنقدر درباره آن صحبت می کنند تا هماهنگی لازم برای به انجام رسیدن آن کار ایجاد شود.
منحنی: خلاقیت در آنها موج می زند و اغلب کارهای جدید و متفاوتی انجام می دهند. نظم و ترتیب برایشان کسالت آور است. اگر تکلیفی را برای آنها در نظر بگیرید طرهحای خوب و مطمئنی برای آنها ابداع می کنند.
نتیجه گیری: به طور کلی افرادی که سه شکل اول یعنی مربع، مستطیل، مثلث را انتخاب می کنند در مسیر ویژه ای حرکت می کنند و کارها را به طور منطقی و اصولی انجام می دهند ولی ممکن است خلاقیت کمی داشته باشند گزینش دایره و منحنی نشان دهنده خلاقیت و برونگرایی است چنین افرادی به موقعیتهای جدید دسترسی پیدا می کنند ولی چندان اصولگرا و اعتماد کردنی نیستند.
کاربرد: این آزمون برای ارزیابی افراد نسبت به موقعیت شغلیشان کاربرد دارد اگر شما به شدت علاقه مندید که کاری خاص و اصولی انجام دهید، فردی مربع دوست می تواند همکار خوبی برایتان باشد همچنین اینگونه افراد برای کارهای حسابرسی هم مناسب اند. اگر کارها به سازماندهی گروهی نیاز داشته باشد مثلث دوستان، در پیشبرد آنها موفق خواهند بود. این افراد می توانند مجری خوبی هم باشند چون اهداف را مشخص می کنند و اطمینان می یابند که دستیابی به آنها ممکن است. برای هر نوع ارتباطات حضوری، افرادی که دایره را انتخاب می کنند بهترین اند. آنان می توانند کارمند خوب یا مسئول پذیرش و یا فردی باشند که به مشتریان خود خدمات مناسبی عرضه می کنند. در آخر افرادی که به منحنی علاقه دارند همیشه طرحهای تازه دارند و برای کار در شرکتهای تبلیغاتی مناسبند

اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی
هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت:
اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.
اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.
یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود .
و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی.
ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گائوس فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.
بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال 1829 کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت گردید.
3-5 هندسه های نا اقلیدسی
اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.
نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد.
یک - هندسه های هذلولوی
هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید.
اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن دست کم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.
دو - هندسه های بیضوی
در سال 1854 فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارائه گردید.
اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.
یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژئودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.
در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از 180 درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.
4-5 انحنای سطح یا انحنای گائوسی
اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=1/r.
تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.
برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.
برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خط
k1=1/R1 and k2=1/R2
باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :
k=1/R1R2
انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:
k=o
برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :
k<>
برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :

k>o
در جدول زیر هر سه هندسه ها با یکدیگر مقایسه شده اند:

نوع هندسه	تعداد خطوط موازی	مجموع زوایای مثللث	نسبت محیط به قطر دایره	اندازه انحنا
اقلیدسی	یک	180	عدد پی	صفر
هذلولوی	بینهایت	< 180	> عدد پی	منفی
بیضوی	صفر	> 180	< عدد پی	مثبت

4-6 مفهوم و درک شهودی انحنای فضا
سئوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نا اقلیدسی درست است؟
پاسخ صریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شود کدام یک درست است. بهترین دانشی کا می تواند در شناخت نوع هندسه ی یک سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است. یک صفحه ی کاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین کرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است .
در کارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تلریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند. در این محاسبات ما می توانیم از خطکش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود، استفاده کنیم. حال سئوال این است که اگر خطکش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای که برای ساختن خطکش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر می گذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خطکش ما تلاش می کنیم از بهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خطکشی (متری) می توانیم استفاده کنیم؟ طبیعی است که در اینجا هیچ خطکشی وجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم که در عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟ بهترین ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرت می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است. برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .
اما تجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که از یک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است.

در جهان باستان، اعتقادات دینی و اسطوره‌ای سر منشأ بسیاری حرکت‌های انسانی بود. درون و ذات هر پدیده‌ای که رخ می‌داد به نوعی به اسطوره و دین پیوند می‌خورد و هنر بهترین وسیله برای نمایش این تفکر دینی و اسطوره‌ای بود.
در هنر باستانی، برخی نقش‌ها و نمادها صرفا تصویر نبودند بلکه نماد یک عقیده و سمبل دینی بودند. از میان این نشانه‌های دینی می‌توان به دایره اشاره کرد. دایره در جهان باستان از جمله بین‌النهرین، ایران، مصر، هند و تمدن‌های بودایی مذهب نقش مهمی را به عنوان سمبل دینی به عهده گرفته است.
حضور دایره در ابتدا در ادیان خدا - خورشید، از بین‌النهرین شروع شد و به ایران رفت. دایره نماد خدای خورشید بود ولی بعدها به عنوان نماد دینی و عقیدتی به مصر و چین و هند و... رفت و نقش‌های متعددی به خود گرفت.

«دایره و مرکز از جمله رمزهای اساسی محسوب می‌شوند. درخت زندگی و مار، در زمانی اساطیری و در بهشت روی زمین که مستدیر توصیف شده، نشانه‌ها و نگاهبانان مرکز بودند. در غالب تمدن‌ها، ابدیت به شکل دایره و چرخ و اروبوروس، ماری که دمش را گاز گرفته تصویر می‌شود. شکل مدور نمودار یکی از مهم‌ترین جهات زندگی یعنی وحدت و کلیت و شکفتگی و کمال است. انسان غالبا در درون دایره‌ای که نشانگر تناسبات پیکر است تصویر شده است. در بسیاری سنن، به این شکل بسته که انسان را در برگرفته؛ محافظت می‌کند، کار ویژه‌ای جادویی منسوب شده است.(مونیک دوبوکور،1376،ص77)
در تمامی ادیان و اساطیری که خورشید نقش مهمی در آن‌ها ایفا می‌کند شکل خورشید به تدریج تبدیل به دایره شده و به عنوان نماد خورشید در هنرهای دینی آنان مطرح شده است.

«خورشید غالبا در مرکز کیهان تصویر شده است و نشانه‌ی عقل عالم به شمار رفته است آن چنان که قلب آدمی مقر بعضی قوای وی محسوب می‌شود. خورشید به عنوان قلب جهان و چشم عالم، گاه در مرکز چرخ فلک البروج می‌درخشد و نیز یکی از صور درخت جهان است که در این نقش پرتوهایش درخت زندگی به شمار می‌روند(مونیک دوبوکور،1376، ص86)
در این تحقیق به بررسی تطبیقی دایره در اعتقادات مذهبی بین‌النهرین، ایران، هند و نیز جهان بودایی مانند چین پرداخته می‌شود، به اهمیت دایره در هنر مذهبی جهان باستان توجه شود.
دایره در هنر بین‌النهرین و ایران
در تمدن بین‌النهرین، آشور( آسور) خدای بزرگ و محافظ کشور آشور است. قرص بالدار او را احاطه کرده است و کمانی بر ضد دشمنان دارد. وی حامی جنگ و سپاه کشور خود است.(جیمز هال، ص327)
در کهن‌ترین تصاویر خورشید- خدایان، هاله‌ی تقدس ظاهر می‌شود که به شکل قرص است. هاله یا به صورت قرص ساده یا پرتوهای نوری در می‌آید که از سر آن‌ها ساطع است.(جیمز هال، ص221)
دایره و چرخ همواره بر یکدیگر دلالت کرده‌اند و همراه هم بوده و گاه به یکدیگر تبدیل شده‌اند. اولین چرخ‌هایی که در تاریخ نشانی از آن‌ها یافت شده چرخ‌های ارابه ای‌ است مخصوص حمل اموات که کاتبی سومری در 3500 ق.م آن را تصویر کرده است.(مونیک دوبوکور،1376ص87)
صلیب با چهار بازوی مساوی – که ابتدا دایره بود و- درون یک دایره محاط شده است، چهار جهت اصلی آن در بین‌النهرین نماد چهار جهت اصلی طبیعت و بادهای باران زاست که نماد خدایان آسمان، آب و هوا است و نیز نماد شمش Shamash و آنو Anu خدای آسمان است(جیمز هال، ص205)

برجهای دو قلو ی پتروناس را همه ما می شناسیم. آیا می دانستید که طراحی معماری این برجها بر اساس ۲ مربع ساده هندسه اسلامی که ستاره ای ۸ پر را می سازد انجام شده است و بازتاب کننده وحدت در عین کثرت، هماهنگی، پایداری و خرد است؟

متاسفانه این دوست عزیز اسم خود را ننوشته بودند

اعداد اول

                                        مقدمه

ریاضیات اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را بر حسب غریزه انسان همانطور که مثلا مرغ خانگی تعداد جوجه­هایش را می­داند انجام می داد. اما انسان امروزی در دنیای اعداد زندگی می­کند. برای مبادله­های تجارتی، محاسبه فرد، مالیات، بیمه، اندازه­گیری جدول ساعات، درجه حرارت و یا بزرگی امواج وخلاصه در هر لحظه نیازمند اعدادیم. امروز دیگر یک ریاضیدان، علم حساب و اعداد را به چند عمل ابتدائی خلاصه نمی­کند بلکه علم حساب و اعداد دارای مقصدی وسیع و دامنه­دار است. بقول دالامبر (dalembert) حساب و اعداد عبارتست از:

« کوششی که با در نظر گرفتن معلومات یک مسئله برای رسیدن به نتیجه انجام می­گیرد.»

به این ترتیب می­توان اعداد را ستون فقرات ریاضیات دانست. تکامل حساب و اعداد یک کوشش دسته جمعی است. همیشه افکار بزرگ نتیجه­ای است از کار متراکم و ممتد عدۀ زیادی متفکر و جوینده، اگرچه نام آنها در فهرست اصلی فراموش شده باشد. و باید گفت نتایج علمی که نصیب دانشمندان می­شود و خرسندی بی­پایانی که آزمایشهای خود دارند محقق می­دارد که چه رنج و کوشش دامنه­داری برای پیروزی بر مشکلات متحمل شده­اند.

                                تعریف اعداد اول

اعداد اول بسیار زیبا و جذابند و در عین حال معمایحیرت انگیز و سرگردان‌کننده ای را در برابر ریاضیدانان مطرح ساخته اند. هرچه در این سلسله پیش تر برویماعداد اول نایاب تر می‌شوند. رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن کاملابی‌نظم و فاقد قاعده به نظر می‌آید و هرچه شمار بیشتری از آنها شکارمی‌شوند، کارشکار بعدی‌ها دشوارتر می‌شود.

پی­یر فرما دانشمند قرن هفدهم اولین کسی بود که در خصوص اعداد اول این چنین نوشت: مقصود از اعداد اول(مثبت) عددی است بزرگتر از واحد که بر هیچ عددی غیر از یک و خودش قابل تقسیم نباشد(مقصود تقسیم بدون باقیمانده است) مثلا اعداد 1،2،3،5،13،17 عدد اول هستند و همچنین اعداد 257،65537. لیکن عدد 9742949672 عدد اول نیست زیرا عدد بر 641 قابل تقسیم است. نکته زیر در زندگی پی­یر فرما در تاریخ ریاضیات دارای اهمیت بزرگی است. اگر اعداد 3،5،17،257،65537 را در نظر گیریم، همه این اعداد دارای وجه مشترک خاصی هستند زیرا همگی متعلق هستند به سلسلۀ خاصی از اعداد که طبق قانون ساده­ای بوسیلۀ 1،2 ساخته می­شوند از این قرار است:

1+2⁴=17          ،          1+2²=5          ،          1+2¹=3

1+2¹⁶=65537         ،          1+2⁸=257

باین طریق هفت عدد از اعداد این سلسله را بعنوان مثال ذکر کردیم و چنانکه دیدیم از این هفت عدد پنج تای اولی از آنها اعداد اول هستند و حال آنکه دو عدد آخری عدد اول نیستند.

همه اعداد اول مشخصه خاصی دارند و آن اینست که همه آنها بوسیله اعداد 1و2 میتوانند ساخته شوند.شاید جالب باشد بدانید بزرگترین عدد اولی که تا به حال شناخته شده برابر است با 2به توان 30میلیون و402هزار و یک.

تعریف دیگری از اعداد اول:

عدد طبیعی p و p>1 را اول نامند به شرطی که تنها مقسوم علیه­های مثبت آن 1 و p باشند. اگر عددی طبیعی و بزرگتر از 1 اول نباشد، مرکب است و عدد 1 جزء اعداد استثناء است که نه اول است و نه مرکب. عدد یکان اعداد اول بزرگتر از 10 فقط ممکن است اعداد 1،3،7،9 باشد.بدون شک علاقه­مندی ریمان به اعدا اول باعث انتشار کتابی در این زمینه شد که در آن فرضی دارد به نام "دربارۀ تعداد اعداد اولی که کوچکتر از مقدار معلومی هستند" که این فرضیۀ ریمان در مجلۀ آکادمی برلین شمارۀ ماه نوامبر 1859 به چاپ رسیده است که ریمان این دانشمندی که در قرن هجدهم می­زیست در آن زمان سی­وسه ساله بود.

هدف : هدف آشنایی کامل با این اعداد، تاریخچۀ آن، جویندگان آنها در دوره­های مختلف تاریخ می­باشد، البته باید گفت که پیشرفت دائمی اعداد و توسعه شگفت­آور آن شایسته هرگونه تحسین و امیدواری است. این جملۀ نیوتن(neuton) منظور من را روشن می­کند: (ما به کودکی می­مانیم که در کنار دریا در حال گردش است، ابتدا از پیدا کردن یک سنگریزه شفاف و صاف و سپس با دیدن یک صدف زیبا غرق خوشحالی می­شود. در حالیکه اقیانوس پهناور حقیقت هنوز ناشناخته در جلو او گسترده است.)

                             تاریخچه اعداد اول

سومری­ها که تمدنشان به 1000 سال قبل از میلاد مسیح می­رسد دستگاهی به نام شمارش­گر اختراع کردند که بسیار پیچیده است و آثار آن دستگاه در کهن­ترین مدارک می­باشد. در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون(platon) علم اعداد را از منطق جدا کرد و بیان کرد علوم منظمی مثل علم اعداد در افراد یک تاثیر تربیتی دارند.

در قرن پنجم ق.م دانشمندان هندی همچون آپاستامبا (Apastamba) ، آریاب­هاتا (Aryabhate) سهم زیادی در پیشرفت علوم ریاضی داشتند. آنها سیستم اعداد فعلی را بوجود آوردند و نظریه اعداد را تکمیل کردند. ملل اسلامی هم نقش بسیار موثری در علوم ریاضی و علم حساب و اعداد داشتند. محمدبن­موسی خوارزمی، کتابدار خلیفه عباسی، رساله­ای را دربارۀ اعداد نوشته است.

در قرن 15 دانشمندان ایتالیایی باعث ترقی علم اعداد شدند، در قرنهای 16 و 17 (میلادی) انگلیسی­ها در این راه گامهایی برداشتند ولی در قرن هجدهم میلادی ظهور گاوس آلمانی باعث پیشرفت اعداد شد. او در نمایش هندسی اعداد و همین­طور اعداد اول تلاشهای قابل ملاحظه­ای صورت داد البته باید گفت تلاشهای پی­یر فرما(pierre fermat) شهزاده ریاضیدانان غیر حرفه­ای بود که در قرن هفدهم منجر به کشف گونه­ای از اعداد به نام اعداد اول شد.

در 150 سال اخیر یا بیشتر نظریه اعداد پیشرفتهای زیادی در جهات مختلف داشت. باید گفت شرح انواع مسائل، قضایایی که در نظریه اعداد بررسی شده­اند در اینجا ممکن نیست. چون نظریه اعداد مبحث بسیار وسیعی است و در بعضی قسمتها نیاز به داشتن مطالب عمیقی از ریاضیات پیشرفته مثل نظریه گالوا و یا آنالیز در سطح بالا دارد. با این حال مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارد که به آسانی قابل بیانند.

طی قرن های متمادی ریاضیدانان در شرق و غرب عالم به جستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته اند و با این همه بهترین روشهایی که تا به حال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت ترین کامپیوتر های کنونی نیز نمیتوانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند.

یکی از اولین و در عین حال درخشان ترین کارهای بشر در نظریه اعداد اثبات اقلیدس از نا متناهی بودن اعداد اول است که امروزه میتوان آن را در کتابهای درسی دبیرستانی هم خواند.

یونانی ها اعداد اول را می شناختند و از نقش آنها به عنوان بلوکهای سازنده دیگر اعداد آگاه بودند.

بعد از این دستاورد های بزرگ طبیعی ترین سوالی که به ذهن بشر رسید این بود که چه نظمی به دنبال اعداد اول حاکم است&چگونه میتوان اعداد اول را یافت و چطور میتوان اعدادی را که اول نیستند به عوامل اولشان تجزیه کرد.تا امروز تلاش های زیادی برای پیدا کردن یک فرمول تولید کننده اعداد اول و یا الگویی برای ظهور اعداد اول در میان دیگر اعداد انجام شده است که هر چند کمک های زیادی به گسترش نظریه اعداد کرده اند اما ساختار پیچیده اعداد اول همچنان در مقابل این تلاشها مقاومت میکند.

ریاضیدانان در آرزوی پیدا کردن راهی هستند که با سرعت زیاد بتواند تشخیص دهد که عددی هر قدر پر رقم اول هست یا نه.اما این فقط به فسفر مغز نیاز دارد نه به سرعت کامپیوتر.

سابقه قرار گرفتن ریاضیدانان تحت جاذبه اعداد اول به قرن ها پیش باز میگردد.در سال 1801کارل گاوس از بزرگترین ریاضیدانان  اعلام کرد که مسئله تشخیص اعداد اول از اعداد غیر اول یکی از مهمترین مسائل حساب به شمار می آید.اعداد اول به یک معنا همان نقشی را در سلسله اعداد بازی میکنند که اتمها در ساختار بنای کیهان دارند.این اعداد سنگ بنای ناپیدای دیگر اعداد محسوب میشوند.

مهمترین سوال درمورد همه این روشها آنست که با چه سرعتی میتوانند یک عدد اول را مشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر میشود.اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابد درآن صورت این روش،روش قابل قبولی به شمار آورده میشود.به این نوع روشها که زمان به صورت توانی در آنها افزوده میشود"روشهای توانی"میگویند.روشهای دیگر که زمان در آنها با سرعت بیشتری افزایش میابد"روشهای غیر توانی"نام دارند.برای مثال روشهای تقسیم معمولی یک روش غیر توانی برای یافتن اعداد اول است.همه این روشها احتمالاتی هستند و بنابر این در مواردی پاسخ غلط به دست میدهند هر چند که این موارد نادرند.

در سال 1983روشی کشف شد که بسیار نزدیک به روش های توانی بود.این روش که بوسیله سه ریاضیدان به نام های "لئوناردوآدلمن" از دانشگاه کالیفرنیای جنوبی،"کارل پومرانس"از آزمایشگاههای بل و"رابرت روملی"از دانشگاه جورجیا کشف شد،به نام خود آنان به روش RAPشهرت یافت.در این روش زمان محاسبه یک عدد دارایdرقم برابر است با dضرب در لگاریتم لگاریتم d.به لحاظ فنی این روش غیر توانی است؛زیرا توان آن ثابت نیست و زیاد میشود،اما سرعت این ازدیاد بسیار بسیار کند است.

شاید اولین راهی که برای تشخیص اعداد اول به ذهن بشر رسید غربال اراتستن بود.در این روش کافی بود عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آن تقسیم کنیم،اگر به هیچ کدام بخش پذیر نبوداول است و اگر بخش پذیر بود به این ترتیب عوامل اول آن معلوم میشود.همچنین در صورتی که اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند،تقسیم کردن به این اعداد کافی است.

غربال اراتوستن: فرض کنید که بخواهیم اعداد اول کوچکتر از 1000 را معین کنیم. ابتدا اعداد را کنار هم می­گذاریم یعنی از 1 تا 1000 را می­نویسیم سپس بعد از این کار مضارب3،2 را از مجموعۀ اعداد حذف می­کنیم البته بدون حذف خود دو عدد یعنی 3،2 به این ترتیب اعداد باقیمانده از مجموعۀ اعداد نوشته شده اعداد اول کمتر از 10000 است.

مثال:اعداد اول کمتر از 20 را بدست می­آوریم.(به روش غربال اراتوستن)

10  9   8   7   6   5   4  3   2  1

20  19  18  17  16  15  14  13  12  11

این روش ها برای اعداد نسبتا کوچک کار می کنند،اما وقتی با عددی مثلا 100رقمی طرف باشیم،اوضاع فرق میکند.حتی با سریع ترین کامپیوتر ها هم تقسیم کردن یک عدد100 رقمی به همه اعداد کوچکتر از آن خیلی بیشتر از عمر آدم طول می کشد.

فرض کنید بخواهیم یک عدد100رقمی را به همه اعداد کوچک تر از خودش تقسیم کنیم.برای این کار بایدحدود10⁹⁹ تقسیم انجام بدهیم .اگر کامپیوتر ما بتواند در هر ثانیه 10¹² تقسیم انجام دهد،برای انجام کل کار 10⁸⁷ ثانیه وقت لازم است.یک سال حدود 10⁸ ثانیه است و این یعنی کار ما 10⁷⁹ سال طول خواهد کشید.عمر عالم د ست بالا 15 میلیارد سال تخمین زده میشود،یعنی حتی یک دهم یا یک هزارم و یا یک ده هزارم این محاسبه هم غیرقابل انجام است. در جستجو برای یافتن قانون حاکم بر توزیع عددهای اول، گام مهم و اساسی زمانی برداشته شد که ریاضیدانان از تلاش بی‌ثمر برای یافتن فرمول ریاضی ساده‌ای که همه اعداد اول یا تعداد دقیق عددهای اول در میان عدد صحیح نخست را به دست دهد دست برداشتند، و به جای آن در جستجوی اطلاعات درباره متوسط توزیع عددهای اول در میان عددهای صحیح برآمدند.  برخی از این قضایا در نظریه اعداد مربوط به اعداد اول می­شوند.

در قرن بیستم یعنی 1914 میلادی ریاضیدان امریکایی دی.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد اول کوچکتر از 10 میلیون متوجه شد که فقط 664579 تا عدد اول وجود دارد یعنی حدود 5/6 درصد، همچنین دی.اچ.لمر(پسر دی.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 میلیارد را محاسبه کرد و به این نتیجه رسید که تعداد 455052512 عدد اول یعنی حدودا 5/4 درصد.کل اعداد اول موجود است. بررسی دقیق اعداد اول نشان می­دهد که اعداد اول توزیع بسیار منظمی دارند. به آسانی ثابت می­شود که شکافهای به اندازۀ دلخواه بین آنها وجود دارد. بررسی این اعداد نشان می­دهد که اعداد اول متوالی نظیر 3و5 یا 101و 103 همین­طور تکرار می­شوند، جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 است، اعداد اول دوقلو نامیده می­شوند. بیش از 1000 جفت از این جفتها زیر 100000. بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارند. ولی باید گفت این مساله (که آیا بی­نهایت  از این اعداد وجود دارد یا نه؟) هنوز حل نشده است.

پیدا کردن ضابطه­ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده بود تا اینکه درست در اردیبهشت ماه 1386 باخبر شدیم سید محمدرضا هاشمی موسوی فرمولی از اعداد اول کشف کرده که دانشمندان برای حل این مساله و دریافت جایزه نوبل و جایزه یک میلیون دلاری آن تا سال 3001 فرصت داشتند که پرفسور هاشمی موسوی فرمول این اعداد را برای اولین بار کشف و به نام خود ثبت کرد. پرفسور هاشمی موسوی، دکترای ریاضی از دانشگاه بوستون کتابی نیز در این زمینه چاپ کرده است که پیش­بینی می­شود به زودی جایزه نوبل ریاضی را از آن خود خواهد کرد، این جایزه برای اولین بار در طول تاریخ به یک ایرانی و یک مسلمان اهدا خواهد شد. البته باید گفت فرمول ارائه شده از سوی این محقق ایرانی تاکنون مورد تایید مجامع ریاضیات در دنیا قرار نگرفته است.

با شناسائی جدول فیثاغورث می­توانیم اعداد اول کوچکتر از 100 را بلافاصله بنویسیم. باید گفت تنها عدد صحیح غیر اولی که عوامل اول آن در نظر اول شناخته نمی­شود: 13×7=91 می­باشد.

تعداد اعداد اول کوچکتر از 100 مساوی 25 است که 15 عدد از این اعداد اول بین 1،50 وتنها 10 عدد آنها بین 51 تا 100 قرار گرفته است. این یک مثال ساده از نزولی بودن تعداد اول در مقیاس اعداد صحیح است.

                      قضایای مربوط به اعداد اول

قضیه1: بی­نهایت عدد اول وجود دارد.( این قضیه مشهور است به حدس اعداد اول مرسن)

برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است ( برهان خلف) اثبات می­کنیم. فرض کنید تعداد متناهی اعداد اول وجود دارد که تعداد آنها nتا می­باشد، حال عدد m را که برابر حاصلضرب این اعداد بعلاوۀ 1 را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیه­ای غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.

P₁P₂…P_n                           P₁P₂…P_n +1>p_i

P₁P₂...P_n>P_i                               P₁P₂…P_n +1=P_i1...P_ik

P₁P₂…P_n +1=P_i .x

P_i1...P_ik= P_i .x

P₁P₂…P_n +1= y+1

P_i1.y+1= P_i1.x

P_i1.x-P_i1.y=1

P_i1.(x-y)=1

P_i1=1

که به تناقض رسیدیم پس حکم ثابت است .

اثبات قضیۀ 1 به گونه­ای دیگر توسط کومر در سال 1878 میلادی صورت گرفت، این اثبات، اثباتی بسیار زیباست که در عین سادگی نکات جالبی را دربردارد.

اثبات: فرض کنید که همه اعداد اول موجود متناهی و به ترتیب زیر باشند:    P₁<P₂<…<P_r  قرار می­دهیم،  P=P₁P₂…P_r>2 اگر اعداد صحیح P-1 دارای عاما مشترک P_i با P باشد آنگاه P_i عامل P-(P-1)=1 است که ناممکن می­باشد لذا P-1 عامل اولی به غیر از آنچه ذکر شد دارد که تناقضی آشکار با اثبات است.

قضیۀ2: قضیۀ اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.

این قضیه از قضایای مهم نظریه اعداد است که نشان می­دهد اعداد اول چگونه همانند بلوک­های ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقض دارند. این قضیه به طور ساده بیان می­کند، هر عدد صحیح بجز 1 و 1- به صورت حاصلضرب­هایی از عوامل اول قابل نمایش هستند. همچنین این نمایش اعداد به صورت حاصل­ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتاست. به عنوان مثال عدد 60 را می­توان به صورت 60=2×2×3×5 به حاصل­ضرب عوامل اول نوشت.

اگر عدد n را به صورت n=P₁P₂…P_r به حاصل­ضرب عوامل اول بنویسیم، این کار را اصطلاحا تجزیه عدد n به عوامل اول می­گوییم. پس قضیۀ اساسی حساب بیان می­کند هر عدد صحیح 1 و 1- قابل تجزیه به عوامل اولند و این تجزیه صرف نظر از ترتیب عوامل اول یکتاست. اصطلاح تجزیه به عوامل اول می­تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم­علیه­های آن عدد و به طور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد. باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساسا توسط اقلیدس به اثبات رسیده است اما اولین اثبات کامل این قضیه توسط گاوس در کتاب تحقیقات حساب منتشر شده است.

همچنین با گسترش جبر مجرد و نظریۀ حلقه مفهومی مشابه در نظریۀ حلقه به عنوان حوزه تجزیه یکتا  (VFD) بوجود آمد که در آنها خاصیتی مشابه برقرار است که توسط کومر و زمانی که به روی قضیۀ آخر فرما کار می­کرد معرفی شد. این نشان می­دهد که اگرچه قضیۀ اساسی حساب در حلقۀ اعداد صحیح بدیهی جلوه می­کند اما چنین چیزی در مورد هر حلقه دلخواه بدیهی نیست و ممکن است نادرست باشد.

قضیه3:

قضیۀچیشف: اگر n عددی طبیعی  بزرگتر از 2 باشد حتما بی n و 2n عدداولی وجود دارد.

قضیه 4:

حدس گلدباخ: هر عدد زوج را می­توان بصورت جمع دو عدد اول نوشت.

قضیه 5:

هر عدد فرد(شامل اعداد اول) را می­توان بصورت جمع 3 عدد اول نوشت.

قضیه6:

هر عدد فرد را می­توان بصورت دو برابریک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.

خواص اعداد اول: مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1

از طرفی دیگر با کمی تامل مشخص میشود که اعداد زوج اول نیستند(البته غیر از 2)چون همه آنها به2 بخش پذیرند.اعداد که جذر کامل دارند نیز همین طورند.

اعداد اول دوقلو :بسیاری از عددهای اول به صورت جفتهایی به شکل p و p+2 هستند، مانند  3و5 ، 11و13 ، 29و31 . گمان می‌رود تعداد این گونه جفت ها نامتناهی باشد ولی تا کنون هیچ گام قطعی در راه اثبات این موضوع برداشته نشده است.
برون در 1919 اثبات کرد که بینهایت عدد p موجود است به طوری که هم p و هم p+2 حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اولند. این اثبات توسط سایر ریاضی‌دانان پیشرفت کرد به طوری که در 1924 ، رادماخر عدد برون را از 9 به 7 کاهش داد.

در 1930 بوخشتاب این تعداد را به 6 و در 1938 به 5 رساند. ونگ با مفروض دانستن صورت تعمیم یافته‌ی فرضیه ریمان در 1962 نشان داد که بی‌نهایت عدد اول p موجود است به قسمی که p+2 حاصل‌ضرب حداکثر 3 عدد اول است. با این حال بوخشتاب در 1965 و بدون در نظر گرفتن صحت فرضیه ریمان توانست اثبات کند که به ازای عدد c ثابتی ، بی‌نهایت عدد اول p موجود است به قسمی که p+2 حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است.چن در مقاله‌ای که در 1973 منتشر گردید اثبات کرد که عدد c=2 برای اثبات بوخشتاب کفایت می‌کند.         

سی و پنج جفت ابتدایی اعداد اول دوقلو:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

 قضیه اعداد دوقلو : m و m+2 اعداد اول دوقلو هستند اگر و تنها اگر :

مهمترین سوال در مورد همه این روشها آن است که با چه سرعتی می‌توانند یک عدد اول رامشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر میشود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابددر آن صورت این روش روش قابل قبولی به شمار آورده می‌شود.

طی قرنهای متمادی ریاضی دانان در شرق و غرب عالم بهجستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته‌اند و با این همه بهترین روشهاییکه تا بحال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت‌ترین کامپیوتر هایکنونی نیز نمی‌توانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند. بطوریکه اگر چندین میلیون بار به سرعت کامپیوتر هایکنونی افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترین عدد اولی که تا به حالشناخته شده افزوده می‌گردد.

درحال حاضر بزرگترین "عدد اول" شناسایی شده در جهان‪  ۹میلیون و ‪ ۱۵۲هزار و ‪ ۵۲رقم وجود دارد که توسط دانشمندان دانشگاه ایالتی "میسوری" آمریکا با استفاده از توان محاسباتی هزاران رایانه، شناسایی شده است.

ریاضی دانان در آرزوی دست یافتن به روشی هستند که بااستفاده از آن بتوانند با سرعت به یافتن اعداد اول توفیق یابند و یا اگر با عددی هراندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند که آیا عدد اول است؟  اما یافتن چنین روشی به فسفر مغز نیاز دارد و نه سرعت کامپیوتر.

یکی از اولین و در عین حال درخشانترین کارهای بشر در نظریهاعداد،اثبات اقلیدس از نامتناهی بودن اعداد اولاست که امروزه می توان آن را در کتاب های درسیدبیرستانی خواند. یونانی ها اعداد اول رامی شناختند و از نقش آن ها به عنوان بلوک های سازنده دیگر اعداد آگاه بودند.

                 جستجو برای الگوهایی از نظم در اعداد اول

یک نمونه ساده: ۳۱- ۳۳۱ --۳۳۳۱ -۳۳۳۳۱ -۳۳۳۳۳۱ -۳۳۳۳۳۳۱ -۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدداول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴ است.

اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادی به شکل2^P-1 را عدد مرسن میگوییم. اگر این اعداد اول باشند به آن ها عدد اولمرسن می گوییم. به ازای p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگیریم مرکب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند که آخرینشان به ازای P=13466917   به دست می‌آید و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. یعنی بین همه اعداد اول کوچکتر از۱۳۴۶۶۹۱۷تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن تولید می کنند .

بنابراین هیچ کدام از روش های فوق یک نتیجه کلی به ما برای تولید و شناسایی اعداد اول نمی دهد.

در نظر گذشتگان آزمایش اول بودن یک عدد و یافتن عوامل اول آنیک سوال بودند. کافی بود عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آنتقسیم کنیم. اگر به هیچ کدام بخشپذیر نبود اول است و اگر بخشپذیر بود به این ترتیبعوامل اول آن معلوم می شوند. کم کم این فرایند ساده تر شد و مشخص گردید کهتقسیم کردن به همه اعداد کوچکتر از جذر عدد مورد نظر کافیست، همچنین درصورتیکه اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند، تقسیم کردن به ایناعداد کافیست.

حوالی قرن هفدهم توجه ریاضیدانان به این نکته جلب شد که شاید راههای ساده تری برای آزمایش اول بودن یا نبودن یک عدد وجود داشته باشد چرا که روشتقسیم مقدار زیادی اطلاعات اضافی ( لیست عوامل اول، وقتی که جواب سوال منفی است)تولید می کند که برای پاسخ گفتن به این سوال نیازی به آن ها نیست. فرما مدتی بعدنشان داد که این حدس صحیح بوده است. فرما قضیه ای را ثابت کرد که تاامروز اساس همه روش های آزمایش اول بودن اعداد است و ما آن را با نام قضیه کوچکفرما می شناسیم.

به این ترتیب می‌توان از این قضیه کوچک فرما به عنوانمبنایی برای تدوین آزمونی جهت تعیین اعداد اول استفاده کرد. این آزمون کاملا بی‌نقصنیست زیرا شماری از اعداد غیر اول نیز از غربال آن رد می‌شوند. اما می‌توان روایت های پیچیده تر و دقیق تری از اینآزمون را تولید کرد که بسادگی به اعداد غیر اول اجازه ورود ندهند.

گروه آگراوال از همین قضیه کوچک فرما استفاده کرد اماآن را به نحو دیگری بسط داد. این گروه به عوض آنکه با اعداد کار کنند از چندجمله‌ای‌ها استفاده کردند.مانیندرا اگراوال Manindra Agrawal و دانشجویانش نیراج کایال ‪Neeraj Kayal و نیتین سکسنا Nitin Saxenaدر موسسه تکنولوژیکانپور مدعی شده‌اند که در آستانه تکمیل آزمونی هستند که اول بودن یا نبودن هر عددطبیعی را با سرعت مشخص می‌کند. این آزمون در صورتی که تکمیل شود می‌تواند تبعات ونتایج بسیار گسترده‌ای برای جهان کنونی به بار آورد.

دانشمندان دانشگاه ایالتی "میسوری" آمریکا موفق شدند با استفاده از توان محاسباتی هزاران رایانه، بزرگترین "عدد اول" شناسایی شده در جهان را با ‪ ۹میلیون و ‪ ۱۵۲هزار و ‪ ۵۲رقم شناسایی کنند.

به آن دسته از اعداد اولی که برابر یکی از توان‌های عدد ‪ ۲منهای ‪ ۱هستند، اعداد "اول مرسن" گفته می‌شود. به طور مثال عدد ‪ ۷یک "عدد اول مرسن" است زیرا برابر است با عدد ‪۲ به توان ‪۳ یعنی‪ ۸منهای یک.

در طرح شناسایی "اعداد اول مرسن"، از توان محاسباتی بلااستفاده رایانه‌های بیش از ‪ ۲۰۰هزار داوطلب در سرتاسر جهان استفاده می‌شود. بزرگترین "اعداد اول" شناسایی شده در چند سال قبل همگی "عدد اول" از نوع "مرسن" بوده‌اند و عدد اول تازه شناسایی شده نیز یک "عدد اول مرسن" بوده و برابر است با دو به توان ‪ ۳۰میلیون و ‪ ۴۰۲هزار و ‪ ۴۵۷منهای یک.تاکنون ‪" ۴۳عدد اول مرسن" در جهان شناسایی شده است.

در بین اعداد طبیعی بزرگتر از یک یعنی ...و 4و3و2 اعدادی وجود دارند که تنها بر یک و خود بخش پذیرند، این اعداد را اعداد اول می نامند. اعداد اول مبنایی برای همه ی عددهای طبیعی است ، به این معنی که هر عدد طبیعی به صورت حاصل ضرب توانی از اعداد اولی است که مقسوم علیه های این عددند. به عنوان مثال  . نخستین هفت عدد اول متمایز عبارتند از: 2و3و7و11و13و17. اینک این سؤال پیش می آید که آیا این رشته از اعداد مختوم است یا اینکه تا بی شمار ادامه دارد. به عبارت دیگر آیا بزرگترین عدد اول وجود دارد یا نه. جواب این است که بزرگترین عدد اول وجود ندارد.

این موضوع از عصر طلائی یونانیان مکشوف بوده و توسط اقلیدس در سه قرن قبل از میلاد به اثبات رسیده است. استدلال وی بی اندازه ساده و مبرهن است و هنوز هم تازگی خود را حفظ کرده. پس از اثبات نامتناهی بودن مجموعه ی اعداد اول سؤالاتی دیگر در مورد این اعداد مطرح می شود، که به بعضی از آنها پاسخ داده شده ، ولی برخی هم همچنان بی جواب باقی مانده اند. در این جا چند نمونه از این سؤالات مورد بررسی قرار می گیرند، و ضمناً برهان اقلیدس نیز ارائه خواهد گردید.

معلوم نیست که مفهوم اول برای اولین بار در چه زمانی طرح شده است و چه مدتی سپری گشته تا از مطالعه در خواص اولیه چنین اعدادی به نامتناهی بودن آن پی برده شود. شاید پس از نخستین ملاحظات تجربی و نیز مطالعه ی عملی در خواص اعدادی چون 2و3و11و17 این سؤال طبعاً پیش آمده است.

برهان ذیل، برای اثبات نامتناهی بودن رشته ی اعداد اول هنوز هم از ساده ترین برهان ها در این زمینه است. فرض کنیم که چنین نباشد در این صورت ، عدد اولی مانند p وجود دارد که از هر عدد اول دیگر بزرگتر است. اینک  را در نظر می گیریم این عدد بر هیچ یک از اعداد ()بخشپذیر نیست . چون m یک عامل اول دارد و این عامل در بین اعداد ()نیست پس عامل اولی به غیر از اعداد یاد شده دارد و این با فرض ما در تناقض است.

این نتیجه ی ظریف و زیبای اقلیدسی ، که ضمناً برهانش هم بسیار ساده است ، یکی از اولین نمونه ی برهانهای مشهود ریاضی است که به طریقه ی برهان خلف صورت گرفته است. پس ازبررسی این حکم سؤالات تازه ای مطرح می شود، و پاسخ به این سؤالات منجر به نتایج و ملاحظات دیگری می گردد.

به عنوان مثال ، با بکار بردن مفهوم « فاکتوریل» می توان متقاعد شد که همواره یک رشته ی بقدر کافی طولانی از اعداد طبیعی متوالی که اول نباشد وجود دارد. در واقع به ازای هر n مفروض می توان n عدد متوالی ، با در نظر گرفتن اعداد طبیعی : n!+2,n!+3,n!+4,…,n!+n به دست آورد؛ این اعداد جملگی مرکب اند (غیر اول). زیرا اولی بر 2 ودومی 3 و سومی 4 و n امی برn بخش پذیر است.

هر گاه موضوع را بیشتر تعقیب کنیم، به شگفتی این اعداد و خصیصه ی مسائل مربوط به آن پی خواهیم برد، به تدریج مسائل جدید مطرح می شوند و این مسائل ، مسائل جدید دیگری را پیش می آورند که عموماً پاسخ به بعضی از آنها چندان هم ساده نیست.

از بین مسائل معروف اعداد اول ، مقدماتی ترین آنها مسئله ذیل است:

در مورد اعداد طبیعی زوج به امتحان ملاحظه شده است که قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. « کریستیان گلدباخ» ریاضیدان آلمانی حالت کلی را حدس زد. یعنی به حدس اظهار داشت که هر عدد طبیعی زوج بزرگتر از 2 قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. ( این موضوع در گلچین ریاضی هم آمده) تا عصر حاضر این حدس به یقین مبدل نشده است و ریاضیدانان موفق به اقامه ی برهان برای آن نشده اند. صحت این حکم برای اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 10⁸ محقق شده است. ( تا سال 1968)

با بکار بردن ماشینهای الکتریکی محاسبه ، می توان آمارهایی فراهم آورد برای نشان دادن اینکه به چند طریق می توان یک عدد زوج مانند 2n به صورت حاصل جمع دو عدد اول نوشت ، عده ی طرق با بزرگ شدن n بزرگ می شوند. در حال حاضر ریاضیدانان روسی « ایوان ماتویویچ ویورگرادوف» ثابت کرده است که هر عدد طبیعی فرد بقدر کافی بزرگ ، قابل نمایش به صورت حاصل جمع سه عدد اول است. فرمولی که بوسیله آن بتوان هر عدد اول بقدر کافی بزرگ را به دست آورد، وجود ندارد. البته عبارت هایی در دست است که از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین کرد. به عنوان مثال فرمول اویلر در دست است که از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین کرد. به عنوان مثال فرمول اویلر  به ازای  اعداد اول متمایزی به دست می دهد .

همچنین معلوم نیست که تعدادی نامتناهی از اعداد اول دوقلو ، یعنی اعداد اولی که تفاضل آنها 2 باشد مانند 5و7 ، 11و13، 29و31 و غیره وجود دارد یا نه. اینها نمونه هایی هستند از مسائلی ساده در اعداد اول که بطور طبیعی مطرح می شوند و اگر چه صورت ظاهری آنها ساده به نظر می رسد، اثبات آنها غالباً دشوار است و این امکان وجود دارد که با معلومات ریاضی عصر ما ثابت نگردند.

اما در مورد حکمی که اخیراً ذکر شد، اطلاعاتی در دست است. به عنوان مثال، معلوم گشته که رشته ی اعداد اول به صورت 4k+1 و4k+3 نامتناهی است. به طور کلی ثابت شده که در تصاعد حسابی ak+b،که در این a وb  نسبت به هم اولند و k=1,2,3,…  یک تعداد نامتناهی عدد اول وجود دارد.

فرض کنید به ازای هر عدد صحیح تعداد عددهای اول در میان اعداد صحیح 1، 2، 3، ...،را با نمایش دهیم. اگر زیر اعداد اول در دنباله مرکب از چند عدد صحیح نخست خط بکشیم، می‌توانیم چند مقدار اولیه را محاسبه کنیم:

حال اگر دنباله دلخواهی از مقادیر را در نظر بگیریم که به طور نامحدود افزایش یابد، مثلاً

آنگاه مقادیر متناظر :
نیز به طور نامحدود (هر چند با سرعت کمتر) افزایش می‌یابند. از آنجا که می‌دانیم بینهایت عدد اول وجود دارد، مقادیر هم دیر یا زود از هر عدد متناهی تجاوز خواهند کرد. «چگالی» عددهای اول در میان عدد صحیح نخست با نسبت مشخص می‌شود و با استفاده از یک جدول اعداد اول، مقادیررا می‌توان به طور تجربی به ازای مقادیر نسبتاً بزرگ محاسبه کرد.

0/168
0/078498
0/050847478
..........	...

می‌توان گفت که درایه آخر جدول بیانگر احتمال آن است که عدد صحیحی که به تصادف از میان عدد صحیح نخست انتخاب شده، اول باشد زیرا انتخاب ممکن وجود دارد که از آنها اول‌اند. توزیع عددهای اول در میان اعداد صحیح فوق‌العاده بی‌نظم است. ولی این بی‌نظمی «در مقیاس کوچک»، از میان می‌رود به شرط اینکه توجه خود را به متوسط توزیع عددهای اول که با نسبت مشخص می‌شود معطوف کنیم. کشف قانون ساده‌ای که رفتار این نسبت از آن تبعیت می‌کند یکی از برجسته‌ترین اکتشافات در تمام ریاضیات است. گاوس از بررسی تجربی جدولهای اعداد اول دریافت که نسبت تقریباً برابر است و این تقریب با افزایش ظاهراً بهتر می‌شود. میزان خوبی تقریب با نسبت مشخص می‌شود که مقدارهایش به ازای =1000، =1000000 و =1000000000 در جدول زیر نشان داده شده‌اند.

1/59	0/145	0/168
1/084	0/072382	0/78498
1/053	0/048254942	0/050847478
...	...	...	...

گاوس براساس این گونه شواهد تجربی حدس زد که نسبت «به طور مجانبی» برابر با است. منظور از این گفته آن است که اگر دنباله‌ای از مقادیر را که مرتباً بزرگ و بزرگتر می‌شوند، مثلاً همان دنباله
را در نظر بگیریم، آنگاه نسبت ه  یعنی عدد که به ازای همین مقادیر متوالی محاسبه شود، به 1 نزدیک و نزدیکتر خواهد شد، و اختلاف این نسبت با 1 می‌توان با محدود کردن به مقادیر به اندازه کافی بزرگ، به قدر دلخواه کوچک کرد. این مطلب به صورت نمادین با علامت ~ بیان می‌شود: به این معنی است که وقتی افزایش می‌یابد، به 1 میل می‌کند. با توجه به اینکه همیشه عددی صحیح است ولی چنین نیست، روشن می‌شود که چرا نمی‌توان علامت معمولی تساوی، =، را به جای ~ قرار داد. این موضوع که چگونگی توزیع میانگین اعداد اول را می‌توان به وسیله تابع لگاریتمی توصیف کرد، کشف بسیار جالبی است زیرا شگفت‌آور است که دو مفهوم ریاضی که این قدر نامرتبط به نظر می‌رسند، در واقع چنین ارتباط نزدیکی با هم دارند. اگر چه فهم صورت حدس گاوس آسان است، اثبات ریاضی دقیق آن بسیار دور از حدود امکانات علوم ریاضی در زمان گاوس بود. برای اثبات این قضیه، که فقط با ابتدایی‌ترین مفاهیم سروکار دارد، استفاده از قویترین روشهای ریاضیات نوین لازم است. تقریباً صدسال طول کشید تا آنالیز به درجه‌ای تکامل یافت که آدامار (1896) در پاریس و دلاواله پوسن در لوون (1896) توانستند اثبات کاملی از قضیه اعداد اول به دست دهند. من گولت و لاندوا صورتهای ساده شده و اصلاح شده مهمی از استدلال را عرضه کردند. مدتها قبل از آدامار، تحقیق پیشگامانه خطوط استراتژیک اقدام برای حل مساله مشخص گشته بود.

نوربرت وینر ریاضیدان آمریکایی توانست این اثبات را اصلاح کند تا از به کار بردن عددهای مختلط  در مرحله مهمی از استدلال  اجتناب  شود. با این حال، اثبات قضیه  اعداد  اول  هنوز هم،  حتی برای دانشجوی  پیشرفته، آسان  نیست.

در سال 1949 پل اردوش ، استاد مسلم اپباع‌های  ابتدایی ، و سلبرگ توانستند این قضیه را با تکنیک‌های  ابتدایی نظریه اعداد و  بدون استفاده از تکنیک‌های تحلیلی اثبات نمایند.

                                     کاربرد

اعداد اول برای ریاضیات از اهمیت بنیادی برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم خواص آنها باعث می شود خللهای بزرگی در بنای ریاضیات ایجاد شود.

درحال حاضر بسیاری از معاملات تجاری و نقل و انتقالاتمالی و نیز مبادله اطلاعات محرمانه از طریق شبکه های مخابراتی مانند اینترنت و بابهره گیری از رمز کردن پیامها به انجام می‌رسد. اعداد اول در تنظیم این قبیل رمزها نقشی اساسی بر عهدهدارند و از همین رو دستیابی به اعداد اول جدید که دیگران از آن بی‌خبر باشند برایسازندگان این رمزها و نیز مشتریان آنان از اهمیت زیاد برخوردار است. اما یک گروه از ریاضیدانان هندی  مدعی  شدند که در آستانه دستیابی به آزمونی هستند کهریاضیدانان قرنها مشتاقانه در آرزویش بودند ،که اگر روش این محققان هندی تکمیل شود در آن صورت امنیت این قبیل نقل و انتقالات در معرض خطر جدی قرار خواهد گرفت.

در گذشته و در زمانی که نظریه اعداد تنها مورد توجه یک گروه کوچک از ریاضیدانان بود، این مساله چندان اهمیتی نداشت اما در 20 سال گذشته اعداد اول موقعیتی استثنائی در عرصه رمزنگاری و دانش طراحی و شکستن رمزها کسب کرده اند.

رمزها صرفاً از نظرنظامی و جاسوسی حائز اهمیت نیستند،بلکه از آنها در عرصه های تجاری و فعالیت های اینترنتی در مقیاس وسیع هم استفاده به عمل می آید. هیچ کس نمی خواهد که راهزنان اینترنتی  به اطلاعات شخصی مربوت به حسابهای بانکی یا شماره کارتهای اعتباری آنان دست یابد.

سازندگان کامپیوترها و ارائه دهندگان خدمات اینترنتی با توجه به اینکه درحال

حاضر افراد بسیاری از فعالیتهای خود را از طریق اینترنت انجام می دهند،نظیر اینکه پول قبضهای برق و آب و تلفن خود را می پردازند،یا در کلاسهای مورد نظر ثبت نام می کنند،یا بلیت هواپیما و قطار رزرو می کنند،در تلاشند تا از خطر دستیابی تبهکاران به اطلاعات شخصی افراد جلوگیری به عمل آورند.

یکی از سیستمهایی که در این زمینه مورد استفادۀ صنایع است،سیستم «آر اس آ» نام دارد که متکی به اعداد اول است.اعداد اول مورد استفاده در این سیستم در حدود 100 رقمی هستند.سیستم «آر اس آ» در بسیاری از سیستمهای کامپیوتری مورد استفاده قرار دارد و در پروتکل اصلی برای ارتباطات امن اینترنتی نیز گنجانده شده است و بسیاری از دولتها و شرکتهای بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده می کنند. جواز استفاده از این سیستم برای بیش از 700 شرکت صادر شده و بیش از نیم میلیون کپی از آن در سطح جهانی مورد استفاده قرار دارد.همه این جنبه ها بر اهمیت کشف هر روشی برای محاسبه اعداد اول می افزاید.

*مهشید احتشامی*

علم آمار و کاربردهای آن

آمار چیست؟

آمار رشته وسیعی از ریاضی است که راههای جمع آوری، خلاصه سازی و نتیجه گیری از داده‌ها را مطالعه می‌کند. این علم برای طیف وسیعی از علوم دانشگاهی از فیزیک و علوم اجتماعی گرفته تا انسان‌شناسی و همچنین تجارت، حکومت داری و صنعت کاربرد دارد.

آمار علم و عمل توسعه دانش انسانی از طریق استفاده از داده‌های تجربی است. آمار بر نظریه‌ی آمار مبتنی است که شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی است. در نظریه‌ی آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریه احتمال مدل می‌شوند.

علم آمار:

علم آمار، خود مبتنی است بر نظریه آمار که شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی به حساب می‌آید. در نظریهٔ آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریهٔ احتمالات مدل‌سازی می‌شوند. در این علم، مطالعه و قضاوت معقول در بارهٔ موضوع‌های گوناگون، بر مبنای یک جمع انجام می‌شود و قضاوت در مورد یک فرد خاص، اصلاً مطرح نیست.

به عبارت دیگر آمار را باید علم و عمل استخراج، بسط، و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری، تنظیم، پرورش، و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه گیری و آزمایش) دانست.

زمینه‌های محاسباتی و رایانه‌ای جدیدتری همچون یادگیری ماشینی ، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش گسترده و کهن آمار است به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی در همه‌جا.

هدف از علم آمار:

از جملهٔ مهم‌ترین اهداف آمار، می‌توان تولید «بهترین» اطّلاعات از داده‌های موجود و سپس استخراج دانش از آن اطّلاعات را ذکر کرد. به همین سبب است که برخی از منابع، آمار را شاخه‌ای از نظریه تصمیم‌ها به شمار می‌آورند.

*این علم به بخش‌های آمار توصیفی و آمار استنباطی تقسیم می‌شود:

 از طرف دیگر می‌توان آن را به دو بخش آمار کلاسیک و آمار بیز تقسیم بندی کرد. در آمار کلاسیک، که امروزه در دانشگاه‌ها و دبیرستان‌ها تدریس می‌گردد، ابتدا آزمایش و نتیجه را داریم و بعد بر اساس آن‌ها فرض‌ها را آزمون می‌کنیم. به عبارت دیگر ابتدا آزمایش انجام می‌شود و بعد فرض آزمون می‌گردد. در آمار بیزی ابتدا فرض در نظر گرفته می‌شود و داده‌ها با آن مطابقت داده می‌شوند به عبارت دیگر در آمار بیزی یک پیش توزیع داریم-توزیع پیشین- و بعد از مطالعه داده‌ها و برای رسیدن به آن تئزیع پیشین توزیع پسین را در نظر می‌گیریم.

آمار توصیفی:

هنگامی که داده‌ها جمع آوری شدند چه از طریق یک روش نمونه برداری خاص یا به وسیله ثبت پاسخ‌ها در قبال رفتارها در یک مجموعه آزمایشی (طرح آزمایش) یا به وسیله مشاهده مکرر یک فرایند در طی زمان (سری‌های زمانی) خلاصه‌های گرافیکی یا عددی را می‌توان با استفاده از آمار توصیفی به دست آورد.

آمار استنباطی:

الگوهای موجه در داده‌ها سازمان بندی می‌شوند تا نتیجه گیری در مورد جمعیت‌های بزرگ‌تر به دست آید که این کار با استفاده از آمار استنباطی صورت می‌گیرد و تصادفی بودن و عدم قاطعیت در مشاهدات را شناسایی می‌کند. این استنباط‌ها ممکن است به شکل جوابهای بله یا خیر به سؤالات باشد (آزمون فرض)، خصوصیات عددی را برآورد کند(تخمین)، پیش گویی مشاهدات آتی باشد، توصیف ارتباط ‌ها باشد (همبستگی) و یا مدل سازی روابط باشد (رگرسیون).

شبکه توصیف شده در بالا گاهی اوقات به عنوان آمار کاربردی اطلاق می‌شود. در مقابل، آمار ریاضی (یا ساده تر نظریه آماری) زیر رشته‌ای از ریاضی کاربردی است که از نظریه احتمال و آنالیز برای به کارگیری آمار برروی یک پایه نظریه محکم استفاده می‌کند.

مراحل پایه برای انجام یک تجربه عبارت‌اند از :

برنامه ریزی تحقیق شامل تعیین منابع اطلاعاتی، انتخاب موضوع تحقیق و ملاحظات اخلاقی برای تحقیق و روش پیشنهادی. طراحی آزمون شامل تمرکز روی مدل سیستم و تقابل متغیرهای مستقل و وابسته. خلاصه سازی از نتایج مشاهدات برای جامعیت بخشیدن به آنها با حذف نتایج (آمار توصیفی). رسیدن به اجماع در مورد آنچه مشاهدات درباره دنیایی که مشاهده می‌کنیم به ما می‌گویند (استنباط آماری). ثبت و ارائه نتایج مطالعه.

تاریخچه:

سرآغاز اولیه آمار را باید در شمارش های آماری حوالی آغاز قرن اول میلادی یافت. اما ،تنها در قرن هجدهم بود که این علم ، با به کار رفتن در توصیف جنبه هایی که شرایط یک وضعیت را مشخص میکردند ، به عنوان رشته ای علمی و مستقل شروع به مطرح شدن کرد.

مفهوم از کلمه لاتینی ،به معنی شرط ، استخراج شده است. مدت های مدید ، این علم ، محدود به کار در این حوزه بود ، و تنها در دهه های اخیر از این انحصاری جدا شدو ، و به کمک نظریه احتمال ،شروع به بررسی روش های تحلیل داده های آماری و اثبات فرض های آماری کرد.

روش های این آمار ریاضی با آشکار کردن قوانین جدید ، به ابزاری موثر در علوم طبیعی و تکنولوژی تبدیل شد.

عمل آماری:

شامل برنامه‌ریزی و جمع‌بندی و تفسیر مشاهدات غیر قطعی است به‌شکلی که :

• اعداد نمایندهٔ واقعی مشاهدات بوده، غیر واقعی یا غلط نباشند.
• به‌نحو مفیدی تهیه و تنظیم شوند.
• به‌نحو صحیح تحلیل شوند.
• قابل نتیجه‌گیری صحیح باشند.

در صورتی که شاخه‌ای علمی مد نظر نباشد، معنای آن، داده‌هایی به‌شکل ارقام و اعداد واقعی یا تقریبی است که با استفاده از علم آمار می‌توان با آن‌ها رفتار کرد و عملیات ذکر شده در بالا را بر آن‌ها انجام داد. بیشتر مردم با کلمة آمار به مفهومی که برای ثبت و نمایش اطلاعات عددی به کار می‌رود اشنا هستند . ولی این مفهوم منطبق با موضوع اصلی مورد بحث آمار نیست. آمار عمدتاً با وضعیتهابیی سر و کار دارد که در آنها وقوع یک پیشامد به طور حتمی قابل پیش بینی نیست. اسنتاجهای آماری غالباً غیر حتمی اند،زیرا مبتنی بر اطلاعات ناکاملی هستند. در طول چندین دهه آمار فقط با بیان اطلاعات و مقادیر عددی در باره اقتصاد،جمعیت شناسی و اوضاع سیاسی حاکم در یک کشور سر و کار داشت .حتی امروز بسیاری از نشریات و گزارشهای دولتی که توده‌ای از آمارو ارقم را در بردارند معنی اولیه کلمه آمار را در ذهن زنده می‌کنند .

اکثر افراد معمولی هنوز این تصویر غلط را در باره آمار دارند که آن را منحصر به ستونهای عددی سرگیجه آور و گاهی یک سری شکلهای مبهوت کننده می‌دانند .بنابر این یادآوری این نکته ضروری است که نظریه و روشهای جدید آماری از حد ساختن جدولهای اعداد و نمودارها بسیار فراتر رفته‌اند. آمار به عنوان یک موضوع علمی،امروزه شامل مفاهیم و روشهایی است که در تمام پژوهشهایی که مستلزم جمع آوری داده‌ها به وسیله یک فرایند آزمایش و مشاهده و انجام استنباط و نتیجه گیری به وسیله تجزیه و تحلیل این داده‌ها هستند اهمیت بسیار دارند.

روش‌های آماری

مطالعات تجربی و مشاهداتی هدف کلی برای یک پروژه تحقیقی آماری، بررسی حوادث اتفاقی بوده و به ویژه نتیجه گیری روی تأثیر تغییرات در ارزش شاخص‌ها یا متغیرهای غیر وابسته روی یک پاسخ یا متغیر وابسته‌است. دو شیوه اصلی از مطالعات آماری تصادفی وجود دارد: مطالعات تجربی و مطالعات مشاهداتی. در هر دو نوع از این مطالعات، اثر تغییرات در یک متغیر (یا متغیرهای) غیر وابسته روی رفتار متغیرهای وابسته مشاهده می‌شود. اختلاف بین این دو شیوه درچگونگی مطالعه‌ای است که عملاً هدایت می‌شود. یک مطالعه تجربی در بردارنده روش‌های اندازه گیری سیستم تحت مطالعه‌است که سیستم را تغییر می‌دهد و سپس با استفاده از روش مشابه اندازه گیری‌های اضافی انجام می‌دهد تا مشخص سازد که آیا تغییرات انجام شده، مقادیر شاخص‌ها را تغییر می‌دهد یا خیر. در مقابل یک مطالعه نظری، مداخلات تجربی را در بر نمی‌گیرد. در عوض داده‌ها جمع آوری می‌شوند و روابط بین پیش بینی‌ها و جواب بررسی می‌شوند.

یک نمونه از مطالعه تجربی، مطالعات Hawthorne مشهور است که تلاش کرد تا تغییرات در محیط کار را در کمپانی الکتریک غربی Howthorne بیازماید. محققان علاقه مند بودند که آیا افزایش نور می‌تواند کارایی را در کارگران خط تولید افزایش دهد. محققان ابتدا کارایی را در کارخانه اندازه گیری کردند و سپس میزان نور را در یک قسمت از کارخانه تغییر دادند تا مشاهده کنند که آیا تغییر در نور می‌تواند کارایی را تغییر دهد. به واسطه خطا در اقدامات تجربی، به ویژه فقدان یک گروه کنترل محققاتی در حالی که قادر نبودند آنچه را که طراحی کرده بودند، انجام دهند قادر شدند تا محیط را با شیوه Hawthorne آماده سازند. یک نمونه از مطالعه مشاهداتی، مطالعه ایست که رابطه بین سیگار کشیدن و سرطان ریه را بررسی می‌کند. این نوع از مطالعه به طور اختصاصی از شیوه‌ای استفاده می‌کند تا مشاهدات مورد علاقه را جمع آوری کند و سپس تجزیه و تحلیل آماری انجام دهد. در این مورد، محققان مشاهدات افراد سیگاری و غیر سیگاری را جمع آوری می‌کنند و سپس به تعداد موارد سرطان ریه در هر دو گروه توجه می‌کنند.

احتمالات:

مقالهٔ اصلی: احتمالات در زبان محاوره، احتمال یکی از چندین واژه‌ای است که برای دانسته یا پیشامدهای غیر مطمئن به کار می‌رود و کم و بیش با واژه‌هایی مانند ریسک، خطرناک، نامطمئن، مشکوک و بسته به متن قابل معاوضه‌است. شانس، بخت، امتیاز و شرط بندی از لغات دیگری است که نشان دهنده برداشت‌های مشابهی است. همانگونه که نظریه مکانیک به تعاریف دقیق ریاضی از عبارات متداولی مثل کار و نیرو می‌پردازد، نظریه احتمالات نیز تلاش دارد تا مفاهیم و برداشت‌های مربوط به احتمالات را کمّی سازی کند.

نرم‌افزارها:

آمار مدرن برای انجام بعضی از محاسبات خیلی پیچیده و بزرگ به وسیله رایانه‌ها استفاده می‌شود. کل شاخه‌های آمار با استفاده از محاسبات کامپیوتری انجام‌پذیر شده‌اند، برای مثال شبکه‌های عصبی. انقلاب کامپیوتری با یک توجه نو به آمار «آزمایشی» و «شناختیک» رویکردهایی برای آینده آمار داشته‌است.

یکی از مهم‌ترین کاربردهای آمار و احتمال با استفاده از رایانه شبیه سازی است .

جامعه و نمونه

جامعه یک بررسی آماری دارای مشاهده ها یا آزمایش هایی تحت شرایطی یکسان ، به عنوان عنصرهای خود است. هر یک از این عنصرها را میتوان نسبت به مشخصه های متفاوتی بررسی کرد ، که می توانند به عنوان متغیرهای تصادفی XوY .... در نظر گرفته شوند. اگر مشخصه تحت بررسی X ، دارای تابع توزیع F در جامعه مربوط باشد ، آنگاه گفته می شود که جامعه مورد بحث دارای توزیع F نسبت به مشخصه X است. در بررسی های آماری همواره زیر مجموعه ای متناهی از عناصر جامعه مورد تحقیق قرار می گیرد.این زیر مجموعه به نمونه موسوم است ، و n، تعداد عناصر موجود در آن ، اندازه نمونه نامیده می شود.

  نمونه گیری یکی از فنونی است که آمار گران از آن بهره می گیرند. نمونه گیری یعنی جمع آوری اطلاعات درباره گروهی از مردم یا مجموعه ای از چیزها  توسط بررسی قسمت کوچکی ازکل مجموعه.

 به عنوان مثال: سرویسهای رتبه بندی برنامه های تلویزیونی،  به منظور تخمین تعداد بینندگان برنامه ای خاص،  به جای مطالعه تمامی بینندگان تنها به بررسی چند هزار خانواده می پردازند. آمار گران تصمیم می گیرند که ازکجا و چگونه داده ها را جمع آوری کنند، نوع و تعداد گروه های نمونه را مشخص می کنند و به تهیه پرسشنامه های تحقیقی یا فرمهای گزارشی می پردازند. آنها همچنین دستورالعملهائی برای کارکنانی که به جمع  آوری و جدول بندی اطلاعات می پردازند، تهیه می کنند. در نهایت آمارگران با بکارگیری نرم افزارهای رایانه ای به تجزیه و تحلیل ، تفسیر و جمع بندی  اطلاعات می پردازند.

*مثال :اگر وزن پسر بچه های ده ساله متغیر تصادفی x باشد ، در این صورت تمام پسر بچه های به این سن یک جامعه تشکیل می دهند . اندازه های وزن پسربچه های در شماری از مکان ها یک نمونه می سازند ، و هر پسر بچه عنصری از جامعه مزبور است . وزن مورد بحث مشخصه ای از عنصر های مزبور به شمار می رود ، و سایر مشخصه ها ، به عنوان مثال ، بلندی قد و اندازه سینه اند.

طرح آزمایش :

در بررسی یک مسئله با روش های آماری ، باید نقشه آزمایش کشیده شود که شامل روش جمع آوری داده ها،اندازه نمونه مورد نظر و روش حل آن مسئله است. در این مورد هر چه نقشه آزمایش دقیق تر باشد ، نتایج به دست آمده از روش های آماری بهتر خواهند بود . بخصوص ، باید اطمینان حاصل شود که هیچ یک از اندازه گیری هایی که برای نتایج مورد نظر دارای اهمیت اند از قلم نیفتند یا ناقص نباشند...

اما در این مورد همچنین می توان ، تنها به همان اندازه که می شود با بخش ناچیزی از هزینه ها به دست آورد قناعت و از دستاوردی با یک رشته آزمون بسیار پرخرج اجتناب کرد.

در این رابطه ، نکات زیر از اهمیت برخوردارند:

• مواد یا اطلاعات بررسی شده باید همگن باشند ؛ یعنی ،روش آزمون ،در دوره بررسی ، باید یکسان باقی بماند. در وسایل یا شرایط تولید نباید تغییری داده شود ، و ابزارهای اندازه گیری با دقت های متفاوت نباید به کار روند.

• بایدتا آنجا که امکان دارد خطاهای منظم یا عوامل موثر کنار گذاشته شوند . به عنوان مثال ، اگر مایل باشیم دو ماده را با هم مقایسه کنیم ، باید هر دو را در یک دستگاه تهیه کرده باشیم ، چه در غیر این صورت تفاوت دستگاه ها در نتایج بررسی وارد می شود ، و در کشاورزی ، در آزمون کودهای متفاوت ، باید زمین را ،به خاطر یکسان کردن تاثیر نوع خاک و موقعیت آن ، به باریکه های موازی تقسیم کرد.

باید نظارتی در نظر

 به عنوان مثال : در آزمایش مربوط به کودها ، باید تاثیر یک کود از تفاوت بین گیاهانی که که با آن یا بدون آن ،تحت شرایط محیطی یکسان ،رشد کرده اند ، ارزیابی شود.

انتخاب نمونه باید تصادفی یا نماینده ای باشد . انتخاب تصادفی انتخابی است که در آن هر عنصر برای اینکه عضو آن نمونه باشد یا نباشد ، از احتمال یکسان برخوردار است. به عنوان مثال ، در یک محموله پیچ ، نمونه مورد آزمون نباید تماماَ از یک مکان انتخاب شود ،بلکه باید روی کل محموله توزیع شده باشد ، و در اندازه گیری ضخامت سیم ها نقاط اندازه گیری شده باید به طور تصادفی روی تمام طول سیم توزیع شده باشد.

انتخاب تصادفی عناصر را می توان به کمک جداول اعداد تصادفی انجام داد

با توجه به اندازه نمونه

از این گفته ها میتوان به اهمیت تحصیل در رشته آمار و نیاز جامعه به فارغ التحصیلان این رشته پی برد.

واژگانی که درک مفهوم آن‌ها در علم آمار مهم است عبارت‌اند از :

• جمعیت
• نمونه
• متغیّر
• مقیاس‌های اندازه‌گیری :
• مقیاس اسمی
• مقیاس ترتیبی
• مقیاس فاصله‌ای
• مقیاس نسبتی
• ...

سطوح اندازه گیری:

چهار نوع اندازه گیری یا مقیاس اندازه گیری در آمار استفاده می‌شود. چــهار نوع یا سطح اندازه گیری (ترتیبی، اسمی، بازه‌ای و نسبی) دارای درجات متفاوتی از سودمندی در بررسی‌های آماری دارند. اندازه گیری نسبی در حالی که هم یک مقدار صفر و فاصله بین اندازه‌های متفاوت تعریف می‌شود بیشترین انعطاف پذیری را در بین روش‌های آماری دارد که می‌تواند برای تحلیل داده‌ها استفاده شود.

 مقیاس تناوبی با داشتن فواصل معنی دار بین اندازه‌ها اما بدون داشتن میزان صفر معنی دار (مثل اندازه‌گیری بهره هوشی یا اندازه‌گیری دما در مقیاس سلسیوس) در تحقیقات آماری استفاده می‌شود. صفت آماری نیز به این

معناست که  هر ویژگی مربوط به هر واحد جامعه را یک صفت آماری یا به اختصار یک صفت برای آن واحد آماری است. اگر یک واحد آماری یک انسان باشد، گروه خون، وزن، میزان سواد، میزان درآمد، درجه حرارت بدن و تعدادخانوار هر کدام یک صفت آماری برای آن واحد است.

 صفتهای آماری دو دسته کلی هستند:

 ۱- صفت مشخصه.

 ۲- صفت متغیر.

کاربرد علم آمار:

علم آمار کاربرد علمی مبانی ریاضی برای جمع آوری، تجزیه وتحلیل و ارائه اطلاعات ارقامی‌‌ می باشد. آمار گران با بکار بردن  دانش ریاضیشان در طراحی مطالعات  وتحقیقات ؛ جمع آوری ، پردازش و تجزیه و تحلیل اطلاعات‌؛ و تفسیر نتایج ؛ در پژوهشهای علمی شرکت می کنند. متخصصین آمار اغلب دانششان در روشهای آماری را در علوم گوناگونی مانند زیست شناسی ، اقتصاد ، مهندسی ، پزشکی ، بهداشت عمومی ، روانشناسی ، بازار یابی، آموزش و ورزش بکار می‌‌گیرند. بسیاری از امور به عنوان مثال، طراحی روشهای آزمایشی برای  تایید دارویی جدید از طرف دولت،  بدون بهره گیری از روشهای آماری قابل اجرا نمی باشند.  

انواع کاربردهای آمار:

کاربرد آمار در هوا شناسی:

ارزیابی قابلیت کاربرد آمار ماهیانه بارش ایستگاههای هواشناسی حوزه کارون جهت استفاده در محاسبه شاخص بارش استاندارد (SPI

هدف از کاربرد آن:

هدف از تهیه و کابرد هر نمایه خشکسالی، ارائه یک ارزیابی ساده و کمی از سه خصوصیت خشکسالی یعنی شدت، تداوم و گستردگی مکانی می‌باشد. برای پایش وضعیت خشکسالی نمایه‌های متعددی در کشورهای مختلف مورد استفاده قرار می‌گیرد.

 این نمایه‌ها براساس تعاریف خشکسالی و با روش محاسبه‌ای، که در آن از یک یا چند متغیر هواشناسی و در بعضی موارد همراه با متغیرهای آبشناسی استفاده شده، بدست می‌آید.از جمله این نمایه‌ها می توان به نمایه درصد از نرمال بارندگی، نمایه دهکهای بارندگی، نمایه شدت خشکسالی پالمر(PDST) و نمایه استاندارد شده بارش(SPI) اشاره نمود. نمایه SPI برای تعیین کمبود بارندگی در مقیاس‌های زمانی مختلف طراحی شده است و مقیاس زمانی اثرات خشکسالی را بر روی میزان توانایی منابع آب نشان می‌دهد. این نمایه یک ابزار قوی در آنالیز داده‌های بارندگی است. نمایه SPI با اختصاص ارزش عددی به مقادیر مختلف بارندگی امکان مقایسه نواحی با آب و هوای کاملاً متفاوت را فراهم می نماید.

 محاسبه SPI برای هر منطقه معین بر پایه آمار درازمدت بارندگی (دست‌کم 30 سال) برای یک دوره دلخواه 3، 6 ماهه و غیره می‌باشد. این آمار دراز مدت با توزیع گاما برازش یافته و تابع حاصل از آن برای پیدا کردن احتمال تجمعی بارندگی برای یک ایستگاه و برای ماه معین و مقیاس زمانی گوناگون مورد استفاده قرار می گیرد. از آنجاییکه اساس شاخص SPI بر مبنای توزیع گاما استوار است در این مقاله ابتدا برای تطویل و بازسازی آمار ایستگاه های ناقص از روش همبستگی بین ایستگاهها استفاده شد و با کمک آمار ایستگاه های با همبستگی بالا در نرم افزار SPSS آمار ایستگاه های ناقص به صورت ماهیانه بازسازی و سپس با انواع توزیع های فراوانی در محیط نرم افزار SMADA برازش داده شد. در ادامه با استفاده از روش گرافیکی این نرم افزار و روش محاسبه مجموع مربعات باقی مانده، قابلیت استفاده از این شاخص برای آمار بارش ماهیانه حوزه و نیز بارش تجمعی در مقیاس های زمانی نمایه SPI بررسی گردید.

 نتایج نشان داد که آمار بارش ماهیانه اغلب ایستگاه های حوزه به جزء ایستگاههای مرغک، چمزمان و دار شاهی از توزیع گاما پیروی می نماید و در بین این ایستگاهها، آمار بارش تجمعی سه ماهه ایستگاه نجف آباد و بیست و چهار ماهه ایستگاه شمس آباد از توزیع گاما پیروی نکرده و قابلیت استفاده در محاسبه نمایه SPIرا ندارد.

کاربرد آمار در امور اداری چیست؟

در این امور اطلاعات آماری زیر اهمیت فراوانی دارد :

ـ تعریف علم و آمار و مشخصات آمار توصیفی و کاربردهای آن

ـ داده‌های آماری (تنظیم و جدول‌بندی داده‌ها، گرد کردن اعداد، نمودارها (انواع و کاربرد هر یک)، توزیع فراوانی، زیگما و کاربرد هر یک ـ انواع مقیاس‌ها و ویژگی‌های هر یک، شاخص‌های گرایش مرکزی (میانگین، نما، میانه)، شاخص‌های پراکندگی، واریانس، انحراف معیار و شیوه تفسیر هر یک ـ همبستگی، همبستگی گشتاوری.

ـ کاربرد آمار در برنامه‌ریزی نیروی انسانی، عرضه و تقاضای نیروی انسانی، آمار پرسنلی، روشهای برآورد نیروی انسانی و منابع اطلاعاتی آن، تهیه و تنظیم گزارشات آماری مورد نیاز در زمینه‌های مختلف اداری، انواع نرم‌افزارهای آماری مربوط به کارکنان، روشهای طبقه‌بندی و تجزیه و تحلیل آمار کارکنان، روش‌ها و وسایل جمع‌آوری آمار کارکنان.

یک مثال:

کاربرد آمار در اقتصاد: نمودار تولید طلا در نیوزلاند بین سالهای ۱۸۵۵ تا ۲۰۰۵ میلادی.

*بیشتر اطلاعات وخبر هایی که می شنویم بر اساس آمار و آمار گیری صورت می گیرد و به گوش ما میرسد.     به طور مثال :

عابران بیشترین قربانیان تصادفات در تهران را شامل می شوند

در تازه ترین آمار پزشکی قانونی کشور از 6729 مورد فوت ناشی از تصادف در بهار امسال ، بیشترین قربانیان مربوط به عابران در استان تهران است .  گزارش اداره کل روابط عمومی و اطلاع رسانی قوه قضائیه به نقل از روابط عمومی و بین الملل پزشکی قانونی حاکی است: آمار فوت شدگان ناشی از تصادف رانندگی در سه ماهه اول سال جاری نسبت به سال قبل 8/1 درصد افزیش را نشان می دهد.

میدان جنگ برزیل

براساس آمار وزارت بهداشت برزیل سال گذشته 36 هزار نفر در برزیل با سلاح‌های گرم کشته شدند که نسبت به سال 2003 هشت درصد کاهش داشت.سال گذشته هر روز 99 نفر در برزیل با سلاح گرم کشته شدند که 8 درصد کمتر از سال 2003 بود.قانون جدید برزیل درباره خرید و حمل سلاح محدودیت‌هایی وضع کرده است. مردم در طول سال گذشته حدود یک میلیون سلاح گرم خود را به پلیس فروختند.

افزایش تولید خودرو در چین

براساس ارقام اداره دولتی آمار چین در ماه اوت 2005 تعداد 251500 دستگاه خودرو در چین تولید شده که این تعداد نسبت به اوت سال 2004 میلادی 46.3 درصد افزایش یافته است. به گزارش رادیو بین‌المللی چین، براساس ارقام اداره دولتی آمار چین که روز جمعه 23 سپتامبر منتشر شدند در 8 ماهه نخست سال 2005 تعداد یک میلیون و 856 هزار دستگاه خودرو در چین تولید شده‌اند که این رقم نسبت به 8 ماهه نخست سال 2004 میلادی 14.7 درصد افزایش نشان می‌دهد.در ماه اوت سال جاری 251500 دستگاه خودرو در چین تولید شدند که این رقم نسبت به اوت سال گذشته 43.6 درصد افزایش پیدا کرده است.

مصرف یک میلیون لیتر چای در عربستان

آمار نشان داد عربستانی ها روزانه نزدیک به یک میلیون لیتر چای مصرف می کنند.
به نوشته پایگاه اینترنتی الرایه ، استفاده از چای های مختلف بخصوص به همراه قلیان به وسیله جوانان و زنان، در عربستان بسیار رواج دارد.شرکت های تولید کننده چای کنیا ، بازار چای عربستان را در دست دارند و در سطح گسترده به این کشور چای وارد می کنند.

افزایش نرخ بیکاری در آمریکا

در پی عبور توفان مهیب کاترینا بیش از 200 هزار امریکایی کار خود را از دست داده‌اندوزارت کار امریکا روز پنجشنبه 22 سپتامبر اعلام کرد در پی عبور توفان مهیب کاترینا 214 هزار امریکایی مشاغل خود را از دست داده‌اند. . نرخ بیکاری امریکا که در ماه اوت به 4.9 درصد جمعیت فعال کاهش یافته بود، به دلیل این فاجعه در ماه سپتامبر دوباره افزایش خواهد یافت.   

*این مثال ها همگی به وسیله ی آمارگیری های دقیق بررسی شده و به صورت خبر منتشر میشوند.

6 سیگما :

۶ سیگما در واقع یک بحث آماری است که در مهندسی صنایع کاربرد فراوانی دارد و به همین دلیل از ان به عنوان مبحثی در مهندسی صنایع یاد می شود که من از همین تریبون ازاد علام می کنم که نه تنها فارغ التحصیلان رشته مهندسی صنایع در بحث کیفیت اشنایی دارند که صد البته این دانش اموختگان رشته آمار هستند که توانایی اصلی و قاطع در این بحث دارند چرا که این مبحث در ابتدا ریشه از علم آمار دارد.

* ( البته اگر به این دید بنگریم قطعا بسیاری از علوم باید به آمار تغغیر نام دهند یا در کنار نام خود به این نام زینت شوند.)

کنترل و کیفیت:

عمده بحث کنترل کیفیت مربوط به انجام نمونه گیری از محصولات ، بازرسی آن نمونه ها و تعممیم نتایج به کل انباشت محصول است که بر اساس روش های آماری انجام می گیرد . از دیگر روش های مورد استفاده در کنترل کیفیت ، کنترل فرایند تولید محصول به جای کنترل محصول تهیه شده است که با استفاده از روش های آماری مانند SPC و ... انجام می گیرد. مبحث کنترل کیفیت ، جایگاه ویژه ای در مباحث نظام های جامع مدیریت کیفیت دارد.

بحث کنترل و کیفیت را می توان یکی از مباحث علم آمار نام برد که بدلیل شناخت ناکافی از مهارت فارغ التحصیلان این رشته در این  مورد بخصوص  در ایران کارایی آن ناشناخته مانده است.                             

اکثریت بدلیل کم اطلایی از علم آمار از کارشناسان آماری در این مورد کمتر استفاده می شود در حالییکه تنها با وجود یک کارشناس وارد به کار می توان محصول را در فرایند مورد نظر به سوی مقدار مطلوب سوق داد.       

 نمودارآن را که با چند روش گوناگون بدست می اید را می کشیم تا داده های خارج از کنترل شناسایی و مشکل به وجود آمده را شناسایی و حل کنیم

ابزار کنترل و کیفیت:

این ابزار شامل هفت ابزار پایه ای خواهند بود که در قالب دو نمودار زیر میگنجند:

1-ابزار کمی  

2- ابزارکیفی

انواع نمودار های آماری:

هیستوگرام چیست؟

هیستوگرام نموداری میله ای است که غالباً برای تحلیل فرکانس داده های موجود به کار میرود

هیستوگرام چگونه کار میکند؟دسته های مشخص برای داده های موجود تعیین میکندو داده ها را دسته بندی کرده و در قالب سرفصلهای مذکور قرار میدهد و آنها را برای هر سرفصل مشخص محاسبه میکند سپس دیاگرام مربوطه رسم میگردد در این نمودار گروههای مختلف داده ها بر روی محور xها قرار میگیرند و ارتفاع ستونها نشان دهنده سطح ارزش هر دسته میباشند

موارد استفاده هیستوگرام چیست؟هیستوگرام ها در واقع روش جدیدی برای محاسبه توزیع داده ها در دسته های مختلف عددی ایجاد نموده اند.

برای مثال:

 نرخ خرابی یک ماشین را در خلال یک دوره چند هفته ای در نظر بگیرید تعداد خرابی ماشینها در هر هفته تفکیک خواهد شد حل اگر هیستوگرام داده ها را رسم نمایم پهنای هر ستون معرف یک هفته و ارتفاع هر ستون معرف تعداد خرابی ها در طول هر هفته خواهد بود.

کار ایی این نمودار چیست؟

تعیین معلول ها و مشکلاتی که مد نظر شماست            * دسته بندی دلایل        *  تعیین زیر گروهها*

نمودار پارتوچیست؟

نمودار پارتو : پارتو یک هیستوگرام است به اضافه یک همنشینی تجمعی

نمودار پارتو چگونه کار میکند؟این نمودار دقیقاً شبیه هیستوگرام عمل میکندبدین معنی که ابتدا سرفصل ها را تعریف میکند داده ها را محاسبه و به سرفصل مربوطه تخصیص میدهد سپس این دسته ها را به ترتیب در کنار یکدیگر چیده و رخداد ها را برای هر دسته میشمرد. در این مرحله همه سرفصلها به صورت نزولی مرتب میشوند و نهایتاً نقاط تجمعی دسته ها را توسط یک خط به یکدیگر وصل میکند

موارد به کار گیری نمودار پارتو چیست؟نمودار پارتو براساس قانون 20-80 به شکلی به کار میرود که %80 از مشکلات را به %20 از علل تخصیص داده و کاربر را مستقیماًبه اهداف کیفی مورد نظرش رهنمون میسازد (یادتون نره که نمودار مذکور قابلیت اجرای عکس را نیز داراست.)

برای مثال:

 یک ماشین مشخص مجموعه متفاوتی از خرابیها را بروز میدهد مرکز تعمیرات و نگهداری شرکت ،این نوع خرابی ها را تعیین نموده و تعداد آنها را طی یک پریود 3 ماهه تعیین مینماید. سپس این داده ها را با هم جمع میکند و پس از آن،دسته های خرابی را بر اساس بیشترین ارزش به کمترین ارزش در یک ردیف افقی قرار میدهد اکنون هیستوگرامی به وجود آمده است که ستونهای آن معرف انواع خرابی ها بوده و از سویدیگر ارزشهای تجمعی آن جهت نشان دادن اولویت بهبود به کار میرونددر این مرحله نقاطی را که نشان دهنده خط تجمعی %80 است تعیین میکند اکنون دیگر تمرکز بر انواع خرابیهایی که در قسمت سمت چپ این خط قرار دارند اهمیت ویژه ای خواهند یافت.                                                                                       .    

اریخچه پارتو:

در سال 1897 ویلفرد پارتو ''اقتصاددان ایتالیای1848-1923 فرمولی ارائه کرد که نشان می داد توزیع درآمد ناهموار است . او درآمد فردی را روی محور افقی و جمعیت رابر روی محور عمودی نشان داد و دریافت که تعداد اندکی از مردم دارای درآمد زیاد و اکثرافراد جامعه دارای درآمد اندکی هستند،

براساس اصلی که وی در اقتصاد اجتماعی بیان کرد، حدود 80 درصد نتایج از20درصد علل ناشی می شود. به عبارت دیگر اگرچه برای مسائل موجود، علل بسیار زیادی وجود دارد ولی تعداد کمی حائز اهمیت است . آن چه پارتو روی این نکته توجه کرد، که اگر شما یک ، دو یا سه عامل اصلی را درنظر بگیرید درباره اکثریت عاملها فکر کرده اید،بدین طریق نمودار پارتو در سا1897 به وجود آمد، یک تئوری مشابه به صورت نموداری توسط لورنز ''اقتصاددان آمریکایی  '' در سال 1907 ارائه شد. هردو محقق اشاره داشتند که بیشترین سهم درآمد یا ثروت توسط افراد بسیار کمی از مردم نگهداری می شود، بعدها در زمینه کیفیت دکتر ژوزف جوران در        سال1954 روش نموداری لورنز رابه عنوان فرمولی برای تقسیم بندی مسائل کیفی به مشکلات اساسی معدود و مشکلات جزیی بسیار به کار گرفت و این روش را تجزیه و تحلیل پارتو نامید.                             

نمودار علت و معلول چیست ؟                                                           (Fish bone)

فیشبون (استخوان ماهی) چیست:یک نمودار نمایشی است که ارتباط بین علتها را نشان میدهد و این علل را به معلولهایشان مرتبط میسازد از آنجا که این نمودار شبیه استخوان ماهی است به نمودار استخوان ماهی معروف شده است.

مقدمه

آیا تا به حال علتهای مختلف به وجود آمدن یک مشکل را بررسی کرده اید؟ آیا عوامل مختلفی را می شناسید که در به وجود آمدن این مشکل دخیل بوده اند؟ آیا تا به حال این علتها را دسته بندی کرده اید؟ یا تاکنون نموداری برای آنها رسم کرده اید؟ زمانی که یک عیب، اشکال و یا اشتباه شناسایی می شود، باید علل بالقوه و بالفعل آنها تعیین گردد، در مواقعی که علل بروز مشکل واضح نیست نمودار علت و معلول (CAUSE AND EFFECT DIAGRAM) می تواند ابزارمفیدی برای شناسایی این علل باشد. در این مقاله به طور مختصر به معرفی یکی از ابزارهای هفتگانه عالی (1) (کنترل کیفیت آماری) به نام نمودار علت و معلول می پردازیم و درباره تاریخچه، چگونگی رسم، کاربرد، ارتباط آن با نمودار پارتو و آنالیز تاثیر راه حل که درواقع معکوس شــــــده نمودار علت و معلول است، بحث می کنیم.

در تعریف کنترل فرایند آماری (STATISTICAL PROCESS

 این نمودار را نمی توان یک روش آماری درنظر گرفت. این نمودار کمک می کند که تعیین کنیم برای دست یافتن به هدف چه باید کرد و عوامل مربوطه کدام هستند. بخصوص اگر این مطلب را درنظر داشته باشیم که برای عموم مردم فکر کردن با نمودار ساده تر از آن است که به ذهن خود متکی باشیم، از این نمودار همچنین می توان به عنوان ابزاری در بحث و گفتگو استفاده کرد، این نمودار برای استفاده جهت حل مشکلات عینی و واقعی به کار می رود و از آن می توان برای نشان دادن نحوه کنترل، تشریح دقیق حقایق، کنترل فرایندو یافتن علتها و معلولها سود جست.

تاریخچه نمودار علت ومعلول :

اولین نمودار علت و معلول به وسیله پرفسور «کاآروایشی کاوا» از دانشگاه توکیو هنگام تدریس چگونگی تجزیه عوامل مختلف و ارتباط آنها با یکدیگر به مهندسان کارخانه کاوازاکی در تابستان 1943 با طرح و شکلی که شبیه یک ماهی بود ساخته شد. نمودار علت و معلول از زمره روشهایی است که از ژاپن سرچشمه گرفته و برای بهبود کیفیت به کار رفته است.

 این نمودار بعداً به کشورهای دیگر نیز برده شــده است و گاهی آن را نمودار «ایشی کــــاوا» یا نمودار استخوان ماهی (FISH BONE) نیز می گویند. چرا که این نمودار اولین بار توسط پرفسور <«ایشی کاوا>» مطرح گردید و ازطرفی دیگر شکل آن شبیه استخوان اسکلت ماهی است که مشکل، عیب یا معلول در سر آن قرار گرفته است. سپس این نمودار به وسیله دکتر «ادوارد دمینگ» به عنوان ابزاری سودمند برای بهبود کیفیت به کار برده شد. او مدیریت کیفیت فراگیر را پس از جنگ جهانی دوم در ژاپن آموزش داد و «ایشی کاوا» و «دمینگ» از این نمودار به عنوان اولین ابزارها در فرایند مدیریت کیفیت استفاده کردند.

رسم نمودار علت و معلول

نمودار علت و معلول ارتباط بین ویژگی کیفی و عوامل و فاکتورهای مرتبط به آن را نشان می دهد. رسم آن کار چندان ساده ای نیست و حتی با اطمینان می توان گفت که موفقیت درحل یک مسئله کنترل کیفیت، موفقیت در ساختن یک نمودار علت و معلول است. ساختار کلی این نمودار به شرح زیر است.

نمودار جریان چیست؟

این نمودار روشی برای تحلیل روشها است و از علائم و اصطلاحات ساده استفاده میکند این نمودارها فعالیتها،عملیات و تصمیمات را در یک فرآیند به همراه ارتباطشان به نمایش میگذارد.

موارد به کار گیری این نمودار چیست؟فرآیندی را که شما میخواهید به نمایش میگذارد این نمودار از یک نقطه شروع آغاز نموده و سپس مرحله به مرحله و با استفااده از علائمی همچون دایره،مستطیل، لوزی و یا سایر علائم نمایش خود را نشان میدهد در این بین پیکانها نیز جهت و جریان حرکت فرآیند را به نمایش میگذارنداین نمودار ها که از نقطه خاصی شروع میشوند به وسیله مجموعه ای از علائم اجرا میشوند و نهایتاًبا نقطه خاصی پاایان میپذیرند.

موارد استفاده این نمودار ها چیست؟

یک نمودار جریان امکان درک یک فرآیند یا برنامه را به همراه ارتباط بین عناصر آن در ساده ترین شکل ممکن میسازد.

رویه شما برای تعمیر یک ماشین از طریق نمودار فوق چنین خواهد بود

به عنوان مثال: ابتدا یک پیش نویس در مورد رویه تعمیر تهیه میکنید سپس ماشین را بر اساس آن مرحله به مرحله تعمیر مینمائید اگر تعمیرات مناسب نبودمجدداًتعمیر انجام میشود حال اگر ماشین به نحو صحیح کار کرد به مرحله پایانی رسیده ایم. 

نمودار پراکندگی چیست؟

 ابزاری است که رابطه بین یک علت و یک معلول رابه وضوح مشخص میکند.

  ۱-تعیین دسته های عددی                     ۲-رسم نمودار با نقاط مقداری

این نمودار چه می کند؟

۳-رسم خط روندm*x+a

                    << محاسبه مقدار m

                       <<محاسبه مقدارa

                        <<محاسبه نقاط بر روی خط روند

موارد استفاده از نمودار پراکندگی کدامند:

نمایش ارتباط بین مقادیر و نشان دادن کاهش یا افزایش میزان این ارتباط به وسیله یک نمودار دیداری میباشد.

نمودارهای آغازین چه هستند؟

نمودارهای آغازین نشان دهنده تغییرات در خلال یک فرآیندیا زمان مشخص هستند.

این نمودارها چگونه کار میکنند:

۱-جمع آوری داده ها                            ۲-سازمان دهی داده ها

                       <<اندازه گیری Yها حتماًباید هم جهت با زمان یا توالی اتفاقات باشد

۳-نمودار داده ها                                   ۴-تفسیر داده ها

موارد استفاده این دسته از نمودارها کجاست؟

 تعیین اتفاقات چرخه ای و متوسط شاخص های آنها.

نمودارهای کنترل چه هستند؟

ابزاری احتمالی جهت تعیین احتمال بروز اتفاقات است و نیز برای تعیین اینکه یک فرآیند تحت کنترل است یا خیر به کار میرود.

این نمودار چه کاری انجام میدهد؟

حد بالا وحد پایین و مقدار متوسط داده ها را تعیین میکند.

موارد استفاده این نمودارها کدام اند؟ نمونه گیری از یک فرآیند و تشخیص احتمال خارج از کنترل بودن آن فرآیند.

مثال آماری در تعیین چگونگی رشد جمعیت:

در این مقاله هدف ما،بررسی ساده ترین مدل جمعیت است.یعنی مدل جمعیت یک بعدی تعینی.     

  (یعنی فرض می کنیم فقط یک نوع جمعیت باشد و در آن عوامل تصادفی موثر نیستند).

ما قبل از بیان فرمول مدل جمعیت، مثال زیر را مطرح می کنیم:

مثال:متخصصان بر این باورند که زمین های قابل کشت وزرع، حداکثر می تواند غذای 40 میلیارد انسان را تامین کند،در آغاز سال 1990میلادی جمعیت جهان2/5میلیارد نفر تخمین زده شد . اگر جمعیت با میزان رشد ثابت 2% در سال افزایش یابد،در چه زمانی جمعیت به حداکثر میزان ذکر شده خواهد رسید؟

حل: 

2/5    = جمعیت اولیه به میلیارد
02/0   = نرخ رشد= r
جمعیت در سال میلیارد
جمعیت در سال میلیارد
جمعیت بعد ازn سال میلیارد

حال قرار می دهیم:وn را با لگاریتم گرفتن از طرفین به دست می آوریم : 

یعنی در سال 2093=103+1990 جمعیت به 40 میلیارد نفر می رسد.ما در این مثال، نرخ رشد جمعیت را سال به سال محاسبه کردیم.حال رشد جمعیت را در  پایان هر ماه حساب می کنیم،در مثال بالا نرخ رشد در ماه برابر با :

  می شود.

جمعیت بعد از یک ماهمیلیارد
جمعیت بعد از دو ماهمیلیارد
جمعیت در سال 1991=میلیارد
جمعیت بعد از n سال = میلیارد

جمعیت در سال میلیارد

حال اگر جمعیت را روز به روز محاسبه کنیم،نرخ رشد دریک روز برابر با:

   می شود.

جمعیت بعد از یک سالمیلیارد
جمعیت بعد ازn سال= میلیارد

جمعیت در سال 2093 برابر با :

میلیارد  می شود.

حال اگر جمعیت را در هر ساعت محاسبه کنیم،نرخ رشد جمعیت در یک ساعت برابراست با:   .

جمعیت در سال 2093 برابر است با:

 اگر جمعیت را در هر ثانیه حساب کنیم،جمعیت در سال 2093 بیش تر می شود و به  799/40میلیارد نفر نزدیک می شود.
برای دیدن علت این امر بهتر است به مطلب زیر توجه کنیم:

دنباله ی را در نظرمی گیریم.این دنباله را برای مقدار های مختلف n محاسبه می کنیم:

قضیه: وجود است و آن را عدد e می نامیم .

 ...71828182/2=e حال فرض می کنیم نرخ رشد جمعیتr  باشدو جمعیت اولیه را با و جمعیت بعد از t سال را با شان می دهیم.اگر جمعیت را سال به سال محاسبه کنیم:

و اگر جمعیت را درسال محاسبه کنیم:

یعنی بعد ازt  سال درصورتی که در هر سال، جمعیت را محاسبه کنیم،جمعیت به دو متغیر t (زمان) و n (تعداد تقسیمات زمان)بستگی دارد.بنابر این بانشان می دهیم:

حال اگر n را بزرگ و بزرگ تر کنیم،یعنی محاسبه ی جمعیت را در مدت زمان های کوتاه تری انجام دهیم ،مدل ما به مدل واقعی جمعیت نزدیک و نزدیک تر می شود.یعنی اگر n را به سمت بی نهایت میل دهیم ،جمعیت در هر لحظه محاسبه می شود.این مدل را مدل پیوسته می نامیم و آن را با نشان می دهیم.یعنی:

با فرض  ،اگرآن گاه.بنابراین .

اما : .

و می توان نشان داد که (توجه : x لزوما" طبیعی نیست) :

بنابراین.

یعنی مدل جمعیت پیوسته به صورت زیر است:

در این جا r می تواند منفی نیز باشد.یعنی جمعیت یک کشور،سرمایه و... می تواند نزول کند.زمانی که r مثبت باشد، مدل را مدل رشد و زمانی که r منفی باشد ، مدل زوال گوییم.

مجددا" به محاسبه ی جمعیت در مثال ذکر شده در سال 2093 می پردازیم:

میلیارد نفر 

بنابراین :

 میلیارد نفر .

بنابراین اولین محاسبه که سال 2093 به عنوان سالی است که کره ی زمین جایی برای زیستن ندارد، صحیح نیست. این سال را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

و از آن جا :                   .

یعنی سال موعود با توجه به رابطه ی : 2092=102 +1990، سال 2092است.

*محدثه سادات میرهاشمی*                         میلیارد نفر                 و             CONTROL=SPC) آورده اند که مجموعه ای قدرتمند از ابزار حل مشکل است که در ایجاد ثبات در فرایند تولید و بهبود کارایی آن ازطریق کاهش تغییرپذیری واقع می گردد، کنترل فرایند آماری را می توان برای هرگونه فرایندی مورداستفاده قرار داد. ازجمله ابزارهای کنترل فرایند آماری نمودار علت و معلول است. مورد آزمون ، البته باید به بررسی مورد بزرگ تر و استنتاج بهتر ، درباره جامعه ای که آن می توان ساخت ، پرداخت ،اما از طرف دیگر ، اندازه مزبور ، به دلایل زمانی و تلاش به کار رفته ، معمولاَ کوچک در نظر گرفته می شود، بنابر این باید انحرافی تصادفی از نتایج را نیز به حساب بیاوریم. هنگامی که ، با روش های آماری ، استنتاجاتی درباره جامعه ای به دست می آوریم باید اندازه نمونه مورد آزمون را نیز در نظر بگیریم. ، و انتخاب نماینده ای نمونه را می توان زمانی انجام داد که ماده تحت بررسی را بتوان به گونه ای یکتا به اجزایی تقسیم کرد . به عنوان مثال ، امکان پذیر است که یک محموله پیچ را به چنان طریقی تقسیم کنیم که هر جزء مزبور ، به تصادف انتخاب کرد ، ودر این صورت کل آنها نمونه مورد نظر را تشکیل می دهند. به این طریق تصویری از محموله ، بر مبنای مقیاسی کاهش یافته به دست می آید. گرفته شود. در این مورد، یا برای مشخصه تحت بررسی مقادیر استانداردی موجودند ،که می توانند با نتایج آزمون مقایسه شوند ، یا آزمونهای نظارتی باید انجام گیرند .

با تشکر از دوست عزیز *ریحانه گشانی* که مطلبی در مورد *سرگذشت عدد پی* تهیه کرده بودند ، به دلیل بالا بودن حجم تصاویر، گذاشتن مطلب که به صورت تمام تصویر بود مقدور نبود .(تایپ نشده بود)

ریاضیات محض و کاربردی...

ماهیت کار

ریاضی یکی از قدیمی ترین و پایه ای ترین رشته های علوم است . ریاضی دانان از نظریه های ریاضی , روشهای محاسبه , الگوریتمها و آخرین دستاوردهای رایانه ای برای حل مسائل اقتصادی , علمی , مهندسی , فیزیک و تجاری استفاده می کنند.کار ریاضی دانان به دو بخش گسترده تقسیم می شود . ریاضی محض و ریاضی کار بردی . این دو گروه کاملا از یکدیگر قابل تمایز نبوده و اغلب بایکدیگرهمپوشانی دارند.

ریاضی دانان محض(نظری) با گسترش مبانی جدید و تشخیص روابط کشف نشده میان قوانین موجود ریاضی باعث گسترش دانش ریاضی می شوند . اگرچه آنان به دنبال گسترش دانش پایه بوده بی آنکه لزوما موارد کاربردی آنرا بررسی کنند ، چنین دانش مطلقی , نوعی راهبرد مفید در ایجاد و پیشبرد بسیاری از دستاوردهای مهندسی و علمی بوده است.

بسیاری از ریاضیدانان محض به عنوان استاد در دانشگاه ها استخدام شده و زمان کاری خود را بین تدریس و امور تحقیقی تقسیم می کنند.

از طرف دیگر ، ریاضی دانان کاربردی با بهره گیری از نظریات و روشهای ریاضی مانند روشهای محاسبه و مدل سازی ریاضی به فرمولبندی وحل مسائل عملی در امور تجاری , دولتی , مهندسی و درعلوم اجتماعی، فیزیک و امور مربوط به زندگی می پردازند . به عنوان مثال , برای برنامه ریزی درخطوط هوایی میان شهرها , بررسی اثر و میزان ایمنی داروهای جدید , خصوصیات آیرودینامیکی پیش مدل اتومبیل ها و مقرون به صرفه بودن روشهای دیگر تولید به تجزیه و تحلیل کار آمدترین راه می پردازند.

امکان دارد ریاضی دانان کاربردی که دست اندر کار تحقیق و گسترش صنعتی هستند با حل مسائل مشکل باعث ایجاد یا تقویت روشهای ریاضی شوند .گروهی از ریاضی دانان به نام رمزیاب به تجزیه و تحلیل و کشف سیستمهای رمزی می پردازند که به صورت کد بوده واز طریق آنها اطلاعات نظامی , سیاسی , مالی یا اجرایی و قانونی رد و بدل می شود.

ریاضی دانان کاربری با یک مساله کاربردی شروع کرده , اجزای تفکیک شده عملیات مورد نظر را در فکر مجسم می کنند و سپس اجزا را به متغیرهای ریاضی تبدیل می کنند.

ریاضی دانان غالبا با نمونه سازی توسط راه حلهای فرعی ، بوسیله رایانه به تجزیه و تحلیل روابط میان متغیرها و حل مسائل پیچیده می پردازند.

قسمت اعظم کار در ریاضی کاربردی به وسیله افراد با عنوانی غیر از ریاضی دان انجام می شود . در حقیقت ، از آنجائیکه ریاضی شالوده ایست که بر اساس آن بسیاری از رشته های علمی بنا می شود شمار افرادی که از فنون ریاضی بهره می گیرند بیشتر از کسانیست که رسما" به عنوان ریاضی دان شناخته میشوند .

به عنوان مثال , مهندسان , دانشمندان علوم رایانه , فیزک دانان و اقتصاد دانان از جمله کسانی هستند که به شکل وسیعی از علم ریاضی بهره می جویند. گروهی از افراد متخصص مانند آماردانان , آمارگیران , تحلیلگران محقق در عملیات , در حقیقت در شاخه خاصی از ریاضی متخصص می باشند . بسیار پیش میاید که ریاضی دانان کاربردی برای دستیابی به راه حلهایی در مسائل گوناگون با افراد دیگر شاغل در سازمان همکاری کنند .

محیط کار ریاضی دانان غالبا"در دفاتر راحت کار میکنند .آنها اغلب جزئی از یک تیم متشکل از متخصصین علوم مختلف که ممکن است شامل اقتصاددانان , مهندسان , دانشمندان علوم رایانه ای , فیزیک دانان , تکنسین ها و دیگر افراد باشد .تحویل به موقع پروژه ها , اضافه کاری , تقاضاهای خاص برای اطلاعات یا تجزیه و تحلیل و مسافرتهای طولانی به منظور شرکت در سمینارها یا کنفرانسها جزئی از شغل آنان محسوب می شود . ریاضی دانانی که در دانشگاهها مشغول به کارند معمولا"در زمینه تدریس و تحقیق مسئولیتهایی بر عهده دارند. این افراد اغلب یا به تنهایی امور تحقیقاتی را اداره می کنند و یا از همیاری دانشجویان فارغ التحصیل و علاقه مند به موضوعات تحقیقی بهره مند می شوند.

فرصتهای شغلی

بیشترین فرصتهای شغلی در سرویسهای تحقیقی و آزمایشی , آموزشی , امنیتی , سیستمهای تبادل کالا ، مدیریتی و روابط عمومی وجود دارد . در بین مراکز تولیدی ، صنایع هوافضا و دارویی اصلیترین استخدام کننده ها میباشند . گروهی از ریاضی دانان نیز در بانکها و یا شرکتهای بیمه مشغول به کارند.

آموزش و ادامه تحصیل بسیاری از فرصتهای شغلی که در کارهای پژوهشی برای ریاضیدانان در نظر گرفته میشود بصورت عضوی از یک تیم حرفه ای می باشد . دانشمندان محقق در چنین مشاغلی یا در زمینه تحقیقات پایه و مبانی نظری و یا در تحقیقات عملی برای ایجاد یا بهبود فرایند تولید مشغول به کار می شوند . اکثر افرادی که دارای مدرک لیسانس یا فوق لیسانس بوده و در صنایع خصوصی کار میکنند , نه به عنوان ریاضی دان بلکه بعنوان برنامه نویس رایانه , تحلیل گر سیستم یا مهندس سیستم رایانه ای مشغول به کارند.

دوره های ریاضی مورد نیاز این مدرک شامل حساب دیفرانسیل , معادلات تفاضلی و جبر خطی و انتزاعی می باشد . دوره های اضافی میتواند نظریه های احتمالات و آمار , آنالیز ریاضی , آنالیز عددی , توپولوژی , ریاضیات گسسته و منطق ریاضی را در برگیرد .

بسیاری از دانشگاه ها برای دانشجویانی که در رشته ریاضی تحقیق می کنند , در زمینه رشته های مربوط به ریاضی مانند علوم رایانه ای , مهندسی , فیزیک و اقتصاد دوره هایی بر گذار می کنند . برای بسیاری از کار فرمایان ,آگاهی همزمان در ریاضی و علوم رایانه ای , اقتصاد یا دیگر علوم نوعی مزیت محسوب می شود . یک محصل ریاضی آینده نگر باید تا جایی که امکان دارد بسیاری از دروس ریاضی را در دبیرستان بیاموزد .

در مورد ریاضیات کاربردی آموزش دیدن در زمینه هایی که قرار است ریاضی در آن به کار برده شود بسیار مهم است . ریاضی به شکل وسیعی در علوم فیزیک ,آمار , مهندسی مورد استفاده قرار می گیرد . علوم رایانه ای , تجاری , مدیریت صنعتی , اقتصاد , امور مالی , شیمی , زمین شناسی , علوم روزمره و اجتماعی وابسته به ریاضی کار بردی می باشند . ریاضی دانان باید در زمینه برنامه نویسی رایانه ای از اطلاعات جامعی برخوردار باشند چرا که اکثر محاسبات ریاضی پیچیده و مدل سازی ریاضی بوسیله رایانه انجام می شود.

ریاضی دانان نیاز به قدرت استدلال خوب و مداومت برای تشخیص ، آنالیز و به کار بردن مبانی ریاضی در مسائل فنی دارند . مهارتهای ارتباطی مهم می باشد چرا که ریاضی دانان بایستی در زمینه راه حلهای مطرح شده با افرادی وارد بحث شوند که احتمالا" اطلاع کافی از علم ریاضی ندارند.

چشم انداز کار

انتظار می رود که در آینده از میزان استخدام افراد به عنوان ریاضی دان کاسته شود چرا که مشاغل اندکی با نام علم ریاضی وجود خواهد داشت . هر چند دارندگان مدرک PHD و فوق لیسانس با اطلاعات جامعی در زمینه ریاضی و علوم مربوطه مانند مهندسی یا علوم رایانه ای احتمالا از فرصتهای شغلی مطلوب تری برخوردار خواهند بود . با این حال , بیشتر این افراد به جای عنوان ریاضی دان از عنوان کاری برخوردار می شوند که نمایانگر شغل آنان می باشد . پیشرفت تکنولوژی معمولا باعث گسترش کاربرد علم ریاضی می شود و در آینده به افرادی که در این رشته مهارت یابند نیاز پیدا خواهیم کرد . با این وجود افرادی که در امور صنعتی یا دولتی مشغول به کار می شوند علاوه بر علم ریاضی در علوم مربوطه نیز به دانش پیشرفته ای نیاز خواهند داشت ریاضی دانان برای یافتن شغل باید با افرادی رقابت کنند که در علوم مربوط به رشته ریاضی تخصص دارند . موفق ترین جویندگان کار کسانی هستند که می توانند مبانی ریاضی را در مسائل واقعی زندگی بکار برده و از مهارتهای ارتباطی ,گروهی و رایانه ای مطلوبی بهره مند هستند .

در صورت نیاز سازمان آموزش و پرورش , اکثر دارندگان مدرک لیسانس می توانند به عنوان دبیر در مدارس مشغول بکار شوند.

رقابت کاری در میان دارندگان مدرک فوق لیسانس و در امور تحقیقی و نظری بسیار بالاست . از آنجایی که اکثر مشاغل دانشگاهی در اختیار دارندگان مدرک PHD است , لذا بسیاری از فارغ التحصیلان رشته ریاضی , بدنبال استخدام در مشاغل دولتی یا صنعتی می باشند.

میزان در آمد

در ایالات متحده در سال 2000, میانگین درآمد سالانه ریاضی دانان 68640 دلار بوده است.

*سوگند مفرنگ*

رشته ریاضی...

ریاضیات

ریاضی کاربردی:

هدف از این شاخه تربیت کارشناسی است که با اندوخته کافی از دانش ریاضی، توانایی تحلیل کمی از مسائل صنعتی، اقتصادی و برنامه‌ریزی را کسب نموده، توان ادامه تحصیل در سطوح بالاتر را داشته باشد.

ریاضی محض:

هدف از این شاخه ریاضی، تربیت متخصصان جامع در علوم ریاضی است که آمادگی لازم برای ادامه تحصیل در جهت اشتغال به پژوهش و نیز انتقال علم ریاضی در سطوح دانشگاهی را داشته باشند. آشنایی با تجزیه و تحلیل مسائل در قالب ریاضی و مدل‌سازی ریاضی نیز از اهداف دیگر شاخه ریاضی محض است.

ریاضی دبیری:

هدف از شاخه دبیری تربیت دبیران وکارشناسان متخصص آموزش ریاضی است که پاسخگوی نیازهای آموزش و پرورش کشور در سطوح پیش‌دانشگاهی باشند.

ماهیت :

« ریاضیات

گرایش‌‌های مقطع لیسانس:

«

معرفی دروس تخصصی

ریاضیات گسسته:

هدف از این درس، آشنایی با زمینه‌های مختلف ریاضیات گسسته و کاربردهای آن با تاکید بر اثبات و ارائه الگوریتمهای مناسب است. سرفصلهای این درس عبارتنداز : معادله تفاضلی و رابطه بازگشتی ، تابع مولد، اصل شمول و طرد،گراف و ماتریس، تطابق و دیگر کاربردهای گراف، جبربولو کاربردهای آن و آشنایی باطرحهای بلوکی، مربع لاتین، صفحه‌های تصویری، کدگذاری و رمزنگاری.

برنامه‌سازی پیشرفته:

در این درس، دانشجویان به مباحثی همچون برنامه‌سازی صحیح ،‌ مستند سازی برنامه‌ها ، برنامه‌سازی ساخت یافته، آشنایی با زبان دوم برنامه‌سازی و مقایسه آن با زبان اول، اشکال‌زدایی و آزمایش برنامه، حصول اطمینان از صحت برنامه‌ها ، الگوریتمهای غیر عددی شامل : پردازش رشته‌ها، روشهای جستجو و مرتب کردن ، آشنایی مقدماتی با کامپایلرها و دیگر برنامه‌های مترجم، اجرای طرحهای بزرگ و ... می‌پردازند.

آنالیز عددی:

هدف از این درس، ارائه الگوریتمهای عددی و بررسی خطاهای ایجاد شده از حل عددی مسائل است. در خصوص روشهای تکراری، بررسی همگرایی و نرخ همگرایی نیز مورد تاکید می‌باشند. در این درس سرفصلهای موجود عبارتند از : نمایش اعداد حقیقی، انواع مختلف خطاها، آنالیز خطاها، حل معادلات خطی، مشتق و انتگرال‌گیری عددی و حل معادلات دیفرانسیل عددی و ... .

ساختمان داده‌ها:

در این درس، دانشجویان با آرایه‌ها ، بردارها، ماتریسها ، صفها و ردیفها، لیستهای پیوندی، خطی، حلقوی ، روش نمایش و کاربرد لیستهای پیوندی ، درختها و پیمایش‌ آنها، روش نمایش و کاربرد درختها، درختهای تصمیم‌گیری ، گرافها و نمایش آنها، تخصیص حافظه به صورت پویا و مسائل مربوط آشنا می‌شوند.

تحقیق در عملیات:

در این درس ، دانشجویان با زمینه تحقیق در عملیات، انواع مدلها و مدلهای ریاضی، برنامه‌ریزی خطی، شبکه‌ها و مدل حمل و نقل، سایر مدلهای مشابه، آشنایی با برنامه‌ریزی متغیرهای صحیح ،‌برنامه‌ریزی پویا، برنامه‌ریزی غیرخطی و مدلهای احتمالی آشنا می‌گردند.

آینده شغلی ، بازار کار ، درآمد:

توانایی‌های مورد نیاز و قابل توصیه

وضعیت کنونی نیاز کشور به این رشته

نکات تکمیلی

مقاطع کارشناسی ارشد و دکتری

*سوگند مفرنگ*

نظر به این که در مقاطع تحصیلات تکمیلی به جنبه‌های پژوهشی، تحقیقاتی و کاربردی با دیدی عمیقتر پرداخته می‌شود، فارغ‌التحصیلان این مقاطع دارای تواناییهای علمی و تحقیقاتی و محاسباتی زیادی هستند و در کارهای اجرایی نقش مهم و ارزنده‌ای دارند. در مقطع دکتری، دانشجویان ضمن افزایش مراتب علمی خود در یک زمینه خاص، قدرت ، توان و صلاحیت خود را در جهت انجام طرحهای تحقیقاتی در سطح ملی و منطقه‌ای افزایش می‌دهند و قادر به توسعه مرزهای دانش و رفع معضلات علمی و اجرایی از طریق پژوهش می‌باشند. فارغ‌التحصیلان مقاطع تحصیلات تکمیلی می‌توانند با توجه به تخصص ویژه خود، در مراکز علمی و پژوهشی، مراکز تحقیقاتی، دانشگاهها و صنایع و مراکز آموزش عالی به عنوان عضو هیات علمی یا عضو پژوهشی جذب گردند. خوشبختانه با رویکرد صنایع و موسسات به انجام امور تحقیقاتی، هم‌اکنون امکان جذب بسیاری از فارغ‌التحصیلان تحصیلات تکمیلی رشته‌های ریاضی ، فراهم شده است. گرایشهای مختلف مقاطع کارشناسی ارشد و دکتری فارغ‌التحصیلان مقاطع کارشناسی ریاضی کاربردی می‌توانند در مقاطع کارشناسی ارشد در گرایشهای مختلف: تحقیق در عملیات ، آنالیز عددی ، بهینه سازی و نظریه کنترل به تحصیل ادامه دهند. فارغ‌التحصیلان کارشناسی ریاضی محض و دبیری می‌توانند در مقاطع کارشناسی ارشد در گرایشهای مختلف آنالیز ریاضی، جبر، هندسه و معادلات دیفرانسیل ادامه تحصیل دهند. در هر یک از گرایشهای یاد شده زیر شاخه‌های تخصصی‌تری وجود دارد که در مقطع دکترای تخصصی (P.h.D) و نیز در رساله دکتری به آن پرداخته می‌شود. دکتر بابلیان معتقد است هر وزارتخانه یا شرکتی نیاز به افرادی دارد که علاوه بر دانستن الفبای کامپیوتر، دارای توانایی تجزیه و تحلیل و تصمیم‌گیری مناسب باشند. در این زمینه شرکتها می‌توانند فارغ‌التحصیلان ریاضی محض و یا کاربردی را جذب نمایند. رشته‌های مختلف ریاضی جایگاه وسیعی در جامعه دارند از آن جمله : تمام رشته‌های مهندسی ، رشته‌های مختلف علوم پایه «فیزیک ، شیمی ،‌زیست‌شناسی ، زمین شناسی)، پزشکی، علوم کامپیوتر ، اکتشافات فضایی،‌ بازرگانی، برنامه‌ریزیهای دولتی، غالب رشته‌های وابسته به صنعت ، مدیریت و رشته‌های مختلف کشاورزی به رشته ریاضی وابسته‌اند و از آن به طور مستقیم استفاده می‌کنند؛‌ همچنین بخش بزرگی از فعالیتهای اقتصادی و تولیدی کشور در طرحهای مختلف نظیر: نفت ، پتروشیمی، حمل و نقل و ... ، مستقیم و یا غیرمستقیم از ریاضی استفاده می‌کنند. شاید مهمترین توانایی علمی یک دانشجوی ریاضی ، تسلط بر درس ریاضی دبیرستان ‌باشد که این امر صرفا زاییده علاقه شخصی به این درس است.

«این رشته نیازمند دانشجویانی است که از نظر ذهنی آمادگی جذب ایده‌های جدید را داشته باشند و بتوانند الگوها و نظم را درک کرده و مسائل غیرمتعارف را حل کنند. به عبارت دیگر یک روحیه علمی ، تفکر انتقادی و توانایی تجزیه و تحلیل داشته باشند.» از آنجا که ریاضیات ورود به عرصه‌های ناشناخته و کشف قوانین آن است ، علاقمندی به مباحث ریاضی از همان دوران تحصیل در دبیرستان مشخص می‌شود. همین علاقمندی است که می‌تواند راه‌های بسیار سخت را برای دانشجوی این رشته هموار سازد. یک ریاضیدان قبل از هرچیز باید جرات قدم‌گذاری در وادی ناشناخته‌ها را داشته باشد. بطور کلی دقت ،‌تجزیه و تحلیل صحیح و صبر و پشتکار سه عامل اصلی در توفیق داوطلب در این رشته می‌باشد. کاربرد ریاضی در علوم مختلف انکارناپذیر است. برای مثال مبحث آنالیز تابعی در مکانیک کوانتومی، کاربرد بسیاری زیادی دارد و یا در بیشتر رشته‌های مهندسی معادله «لاپ لاسی» که یک معادله ریاضی است، مورد استفاده قرار می‌گیرد. در جامعه‌شناسی نیز نظریه احتمال و نظریه گروهها نقش بسیار مهمی ایفا می‌کند. در کل باید گفت که همه صنایع ،‌زیر ساخت ریاضی دارند و به همین دلیل در همه مراکز صنعتی و تحقیقاتی دنیا، ریاضیدانها در کنار مهندسان و دانشمندان سایر علوم حضوری فعال دارند و آنچه در نهایت ارائه می‌شود، نتیجه کار تیمی آنهاست.» دکتر ریاضی از اساتید دانشگاه در مورد فرصت‌های شغلی موجود در ایران می‌گوید:

«اگر در جامعه ما مشاغل جنبه علمی داشته باشند، قطعا به تعداد قابل توجهی ریاضیدان نیاز خواهیم داشت چون یک ریاضیدان می‌تواند مشکلات را به روش علمی حل کند. البته این به آن معنا نیست که در حال حاضر هیچ فرصت شغلی برای یک ریاضیدان وجود ندارد اما باید حضور ریاضیدانها در مراکز تحقیقاتی و صنعتی پررنگتر باشد.» هرچقدر که شغل یک فرد تخصصی‌تر شود، میزان ریاضیاتی که لازم دارد، بیشتر می‌گردد. برای مثال یک مهندس الکترونیک از آنالیز تابعی و فرآیندهای تصادفی استفاده می‌کند و یا یک برنامه‌ریز پروژه‌های اقتصادی از مطالب پیشرفته آماری مانند سریهای زمانی ، به عنوان ابزار کار یاری می‌گیرد. به همین دلیل امروزه تربیت متخصصان علم ریاضی، یعنی افرادی که قادر هستند ریاضیات مورد نیاز را آموزش داده و یا تولید کنند، اهمیت بسیار زیادی دارد. چرا که لازمه پیشرفت در تکنولوژی ، توجه به دانش ریاضی می‌باشد. اما یکی از دانشجویان این رشته نظر جالبی در مورد توانایی یک فارغ‌التحصیل رشته ریاضی دارد:

«درست است که در جامعه ما مکان مشخصی برای جذب فارغ‌التحصیلان ریاضی وجود ندارد اما یک لیسانس ریاضی به دلیل نظم فکری و بینش عمیقی که در طی تحصیل به دست می‌آورد، می‌تواند با مطالعه و تلاش شخصی در بسیاری از شغل‌ها ، حتی شغل‌هایی که در ظاهر ارتباطی با ریاضی ندارد موفق گردد.» معرفی مختصری از درسهای تخصصی گرایش ریاضی کاربردی: رئیس اتحادیه بین‌المللی ریاضیدانان جهان در یازدهمین اجلاس آکادمی جهان سوم که اخیرا در تهران برگزار شد، عنوان کرد که بهتر است بگوییم ریاضیات و کاربردهای آن، نه اینکه ریاضیات را به محض و کاربردی تفکیک کنیم چرا که به اعتقاد ریاضیدانها هیچ مقوله ریاضی نیست که روزی کاربردی برای آن پیدا نشود.» ریاضیات محض بیشتر به قضایا و استدلالها ، منطق موجود در آنها و چگونگی اثباتشان می‌پردازد اما در ریاضیات کاربردی چگونه استفاده کردن و به کارگرفتن قضایا، آموزش داده می‌شود، به عبارت دیگر در این شاخه، کاربرد ریاضیات در مسائل موجود در جامعه بیان می‌گردد»

«وقتی صحبت از ریاضی محض می‌شود نباید تصور کرد که تنها باید در گوشه‌ای نشست و به حل مسائل ریاضی پرداخت بلکه این علم ، بخصوص در مدارج بالا، ارتباط نزدیکی با طبیعت دارد به عبارت دیگر ایده‌های ریاضی از ذهن پژوهشگران نمی‌روید بلکه ریاضیدانها غالبا الهام خود را از طبیعت می‌گیرند و به قول «ژان باپتیت فوریه» ریاضیدان مشهور قرن نوزدهم فرانسه «تعمق در طبیعت، پربارترین منابع اکتشافات ریاضی است.» عموما ریاضیات کاربردی به شاخه‌ای از ریاضی گفته می‌شود که کاربرد علمی مشخصی داشته باشد برای مثال در اقتصاد، کامپیوتر،‌فیزیک و یا آمار و احتمال کاربرد داشته باشد و ریاضی محض نیز به شاخه‌ای گفته می‌شود که به نظریه‌پردازی ریاضی می‌پردازد اما باید توجه داشت که امروزه این دو گرایش آن‌چنان در هم ادغام شده‌اندکه مرزی را نمی‌توان بین آنها مشخص کرد. زیا گاه یک تئوری کاملا محض وارد مرحله کاربردی شده و چون در عمل با مشکل روبرو می‌شود، بار دیگر به حوزه تئوری برمی‌گردد و در نهایت پس از رفع نقایص، دوباره وارد مرحله کاربردی می‌شود. یعنی یک تعامل و ارتباط دوجانبه‌ای بین ریاضی کاربردی و محض وجود دارد و هریک از این دو شاخه، از تجربیات شاخه دیگر به بهترین نحو استفاده می‌کند و به همین دلیل یک ریاضیدان موفق باید از هر دو شاخه اطلاع داشته باشد.» بر خلاف تصور بعضی از افراد یکسری فرمول و قواعد نیست که همیشه و در همه‌جا بتوان از آن استفاده کرد بلکه ریاضیات درست فهمیدن صورت مساله و درست فکر کردن برای رسیدن به جواب است و برای به دست آوردن این توانایی ، دانشجو باید صبر و پشتکار لازم را داشته باشد تا بتواند حتی به مدت چندین ساعت در مورد یک مساله ریاضی فکر کرده و در نهایت با ابتکار و خلاقیت آن را حل کند» فارغ‌التحصیلان این رشته می‌توانند پس از پایان تحصیلات، در ادارات دولتی برای مسوولیتهایی که به نوعی با تجزیه و تحلیل مسائل سروکار دارند، در بخش‌ خصوصی در اموری همانند طراحی سیستمها در امر بهینه‌سازی و بهره‌وری ، در بخش صنعت برای اموری همانند مدل‌سازیهای ریاضی و در آموزش و پرورش و ... ، مسوولیتهای متفاوتی را به عهده گیرند. علم نظم است و موضوع آن یافتن، توصیف و درک نظمی است که در وضعیت‌های ظاهرا پیچیده‌ نهفته است و ابزارهای اصولی این علم ، مفاهیمی هستند که ما را قادر می‌سازند تا این نظم را توصیف کنیم» . دکتر دیبایی استاد ریاضی دانشگاه تربیت معلم تهران نیز در معرفی این علم می‌گوید:

«علم ریاضی، قانونمند کردن تجربیات طبیعی است که در گیاهان و بقیه مخلوقات مشاهده می‌کنیم . علوم ریاضیات این تجربیات را دسته‌بندی و قانونمند کرده و همچنین توسعه می‌دهند.» دکتر ریاضی استاد ریاضی و رئیس دانشگاه صنعتی امیرکبیر نیز در معرفی این علم می‌گوید: «ریاضیات علم مدل‌دهی به سایر علوم است. یعنی زبان مشترک نظریات علمی سایر علوم ، علم ریاضی می‌باشد و امروزه اگر علمی را نتوان به زبان ریاضی بیان کرد، علم نمی‌باشد.» گرایش‌های مختلف این رشته و اهداف آنها عبارتند از:

رمزنگاری...

رمزنگاری دانشی است که به بررسی و شناختِ اصول و روش‌های انتقال یا ذخیرهٔ اطلاعات به صورت امن (حتی اگر مسیر انتقال اطلاعات و کانال‌های ارتباطی یا محل ذخیره اطلاعات ناامن باشند) می‌پردازد.

رمزنگاری دانش تغییر دادن متن پیام یا اطلاعات به کمک کلید رمز و با استفاده از یک الگوریتم رمز است، به صورتی که تنها شخصی که از کلید و الگوریتم مطلع است قادر به استخراج اطلاعات اصلی از اطلاعات رمز شده باشد و شخصی که از یکی یا هر دوی آن‌ها اطلاع ندارد، نتواند به اطلاعات دسترسی پیدا کند. دانش رمزنگاری بر پایه مقدمات بسیاری از قبیل تئوری اطلاعات، نظریه اعداد و آمار بنا شده است و امروزه به طور خاص در علم مخابرات مورد بررسی و استفاده قرار می‌گیرد. معادل رمزنگاری در زبان انگلیسی کلمه Cryptography است، که برگرفته از لغات یونانی kryptos به مفهوم " محرمانه " و graphien به معنای " نوشتن " است.

رمزنگاری، پنهان‌نگاری، کدگذاری

در رمزنگاری، وجود اطلاعات یا ارسال شدن پیام به هیچ وجه مخفی نمی‌باشد، بلکه ذخیره اطلاعات یا ارسال پیام مشخص است، اما تنها افراد مورد نظر می‌توانند اطلاعات اصلی را بازیابی کنند. بالعکس در پنهان‌نگاری، اصل وجود اطلاعات یا ارسال پیام محرمانه، مخفی نگاه داشته می‌شود و غیر از طرف ارسال‌کننده و طرف دریافت‌کننده کسی از ارسال پیام آگاه نمی‌شود.

در رمزنگاری محتویات یک متن به صورت حرف به حرف و در بعضی موارد بیت به بیت تغییر داده می‌شود و هدف تغییر محتوای متن است نه تغییر ساختار زبان‌شناختی آن. در مقابل کدگذاری تبدیلی است که کلمه‌ای را با یک کلمه یا نماد دیگر جایگزین می‌کند و ساختار زبان‌شناختی متن را تغییر می‌دهد.

] تاریخچه رمزنگاری

نمونه‌ای از روش رمز کردن موسوم به رمز سزار که بر اساس جابجایی ساده حروف الفبا عمل می‌کند

در بررسی نخستین استفاده‌کنندگان از تکنیک‌های رمزنگاری به سزار (امپراتور روم) و نیز الکندی که یک دانشمند مسلمان است برمی‌خوریم، که البته روش‌های خیلی ابتدایی رمزنگاری را ابداع و استفاده کرده‌اند. به عنوان مثال، با جابجا کردن حروف الفبا در تمام متن به اندازهٔ مشخص آن را رمز می‌کردند و تنها کسی که از تعداد جابجا شدن حروف مطلع بود می‌توانست متن اصلی را استخراج کند.

استفاده از استوانه و نوار کاغذی برای رمز کردن پیام

یکی دیگر از شیوه‌های رمزنگاری ابتدایی، پیچیدن یک نوار کاغذی بر روی استوانه‌ای با قطر مشخص و سپس نوشتن پیام روی کاغذ پیچیده شده بوده است. بدیهی است بدون اطلاع از مقدار قطر استوانه، خواندن پیام کار بسیار دشواری خواهد بود و تنها کسانی که نسخه‌های یکسانی از استوانه را داشته باشند می‌توانند پیام را بخوانند.

ماشین رمزکنندهٔ لورنتز که در جنگ جهانی دوم توسط آلمان برای رمز کردن پیام‌های نظامی مورد استفاده قرار گرفته است.در قرن بیستم میلادی از همین روش به همراه موتورهای الکتریکی برای رمزنگاری با سرعت بالا استفاده شد که نمونه‌های آن در ماشین رمز لورنتز و ماشین رمز انیگما دیده می‌‍شود.

اصول ششگانه کرکهف

آگوست کرکهف شهرت خود را از پژوهشهای زبانشناسی و کتابهایی که در این خصوص و زبان ولاپوک نوشته بود بدست آورد.او در سال 1883 دو مقاله با عنوان "رمز نگاری نظامی" منتشر کرد. در این دو مقاله شش اصل اساسی وجود داشت که اصل دوم آن به عنوان یکی از قوانین رمز نگاری هنوز هم مورد استفاده دانشمندان در رمز نگاری پیشرفته است:

• سیستم رمزنگاری اگر نه به لحاظ تئوری که در عمل غیر قابل شکست باشد.
• سیستم رمز نگاری باید هیچ نکته پنهان و محرمانه ای نداشته باشد. بلکه تنها چیزی که سری است کلید رمز است.
• کلید رمز باید به گونه ای قابل انتخاب باشد که اولا بتوان براحتی آن را عوض کرد و ثانیا بتوان آنرا به خاطر سپرد و نیازی به یاداشت کردن کلید رمز نباشد.
• متون رمز نگاری باید از طریق خطوط تلگراف قابل مخابره باشند.
• دستگاه رمز نگاری یا اسناد رمز شده باید توسط یکنفر قابل حمل و نقل باشد.
• سیستم رمزنگاری باید به سهولت قابل راه اندازی باشد.

رمزنگاری پیشرفته

با پدید آمدن رایانه‌ها و افزایش قدرت محاسباتی آنها، دانش رمزنگاری وارد حوزهٔ علوم رایانه گردید و این پدیده، موجب بروز سه تغییر مهم در مسائل رمزنگاری شد:

1. وجود قدرت محاسباتی بالا این امکان را پدید آورد که روش‌های پیچیده‌تر و مؤثرتری برای رمزنگاری به وجود آید.
2. روش‌های رمزنگاری که تا قبل از آن اصولا برای رمز کردن پیام به کار می‌رفتند، کاربردهای جدید و متعددی پیدا کردند.
3. تا قبل از آن، رمزنگاری عمدتاً روی اطلاعات متنی و با استفاده از حروف الفبا انجام می‌گرفت؛ اما ورود رایانه باعث شد که رمزنگاری روی انواع اطلاعات و بر مبنای بیت انجام شود.

تعاریف و اصطلاحات

عناصر مهمی که در رمزنگاری مورد استفاده قرار می‌گیرند به شرح زیر می‌باشد:

• متن آشکار

پیام و اطلاعات را در حالت اصلی و قبل از تبدیل شدن به حالت رمز، متن آشکار یا اختصارا پیام می‌نامند. در این حالت اطلاعات قابل فهم توسط انسان است.

• متن رمز

به پیام و اطلاعات بعد از درآمدن به حالت رمز، گفته می‌شود. اطلاعات رمز شده توسط انسان قابل فهم نیست.

• رمزگذاری (رمز کردن)

عملیاتی است که با استفاده از کلید رمز، پیام را به رمز تبدیل می‌کند.

• رمزگشایی (باز کردن رمز)

عملیاتی است که با استفاده از کلید رمز، پیام رمز شده را به پیام اصلی باز می‌گرداند. از نظر ریاضی، این الگوریتم عکس الگوریتم رمز کردن است.

• کلید رمز

اطلاعاتی معمولاً عددی است که به عنوان پارامتر ورودی به الگوریتم رمز داده می‌شود و عملیات رمزگذاری و رمزگشایی با استفاده از آن انجام می‌گیرد. انواع مختلفی از کلیدهای رمز در رمزنگاری تعریف و استفاده می‌شود.

رمزنگاری دانش گسترده‌ای است که کاربردهای متنوعی دارد. در این حوزهٔ وسیع، تعاریف زیر از اهمیت ویژه‌ای برخوردار هستند:

سرویس رمزنگاری

به طور کلی، سرویس رمزنگاری، به قابلیت و امکانی اطلاق می‌شود که بر اساس فنون رمزنگاری حاصل می‌گردد. قبل از ورود رایانه‌ها به حوزهٔ رمزنگاری، تقریباً کاربرد رمزنگاری محدود به رمز کردن پیام و پنهان کردن مفاد آن می‌شده است. اما در رمزنگاری پیشرفته سرویس‌های مختلفی از جمله موارد زیر ارائه گردیده است:

• محرمانگی یا امنیت محتوا

ارسال یا ذخیره اطلاعات به نحوی که تنها افراد مجاز بتوانند از محتوای آن مطلع شوند، که همان سرویس اصلی و اولیهٔ پنهان کردن مفاد پیام است.

• سلامت محتوا

به معنای ایجاد اطمینان از صحت اطلاعات و عدم تغییر محتوای اولیهٔ آن در حین ارسال است. تغییر محتوای اولیهٔ اطلاعات ممکن است به صورت اتفاقی (در اثر مشکلات مسیر ارسال) و یا به صورت عمدی باشد.

• احراز هویت یا اصالت محتوا

به معنای تشخیص و ایجاد اطمینان از هویت ارسال‌کننده اطلاعات و عدم امکان جعل هویت افراد می‌باشد.

• عدم انکار

به این معنی است که ارسال‌کنندهٔ اطلاعات نتواند در آینده ارسال آن را انکار یا مفاد آن را تکذیب نماید.

چهار مورد بالا، سرویس‌های اصلی رمزنگاری تلقی می‌شوند و دیگر اهداف و سرویس‌های رمزنگاری، با ترکیب چهار مورد بالا قابل حصول می‌باشند.

این سرویس‌ها مفاهیم جامعی هستند و می‌توانند برای کاربردهای مختلف پیاده‌سازی و استفاده شوند. به عنوان مثال سرویس اصالت محتوا هم در معاملات تجاری اهمیت دارد و هم در مسائل نظامی و سیاسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. برای ارائه کردن هر یک از سرویس‌های رمزنگاری، بسته به نوع کاربرد، از پروتکل‌های مختلف رمزنگاری استفاده می‌شود.

پروتکل رمزنگاری

به طور کلی، یک پروتکل رمزنگاری، مجموعه‌ای از قواعد و روابط ریاضی است که چگونگی ترکیب کردن الگوریتم‌های رمزنگاری و استفاده از آن‌ها به منظور ارائهٔ یک سرویس رمزنگاری خاص در یک کاربرد خاص را فراهم می‌سازد.

معمولاً یک پروتکل رمزنگاری مشخص می‌کند که

• اطلاعات موجود در چه قالبی باید قرار گیرند
• چه روشی برای تبدیل اطلاعات به عناصر ریاضی باید اجرا شود
• کدامیک از الگوریتم‌های رمزنگاری و با کدام پارامترها باید مورد استفاده قرار گیرند
• روابط ریاضی چگونه به اطلاعات عددی اعمال شوند
• چه اطلاعاتی باید بین طرف ارسال‌کننده و دریافت‌کننده رد و بدل شود
• چه مکانیسم ارتباطی برای انتقال اطلاعات مورد نیاز است

به عنوان مثال می‌توان به پروتکل تبادل کلید دیفی-هلمن^[۵] برای ایجاد و تبادل کلید رمز مشترک بین دو طرف اشاره نمود.

الگوریتم رمزنگاری

الگوریتم رمزنگاری، به هر الگوریتم یا تابع ریاضی گفته می‌شود که به علت دارا بودن خواص مورد نیاز در رمزنگاری، در پروتکل‌های رمزنگاری مورد استفاده قرار گیرد. اصطلاح الگوریتم رمزنگاری یک مفهوم جامع است و لازم نیست هر الگوریتم از این دسته، به طور مستقیم برای رمزگذاری اطلاعات مورد استفاده قرار گیرد، بلکه صرفاً وجود کاربرد مربوط به رمزنگاری مد نظر است.

در گذشته سازمان‌ها و شرکت‌هایی که نیاز به رمزگذاری یا سرویس‌های دیگر رمزنگاری داشتند، الگوریتم رمزنگاری منحصربه‌فردی را طراحی می‌نمودند. به مرور زمان مشخص گردید که گاهی ضعف‌های امنیتی بزرگی در این الگوریتم‌ها وجود دارد که موجب سهولت شکسته شدن رمز می‌شود. به همین دلیل امروزه رمزنگاری مبتنی بر پنهان نگاه داشتن الگوریتم رمزنگاری منسوخ شده است و در روش‌های جدید رمزنگاری، فرض بر این است که اطلاعات کامل الگوریتم رمزنگاری منتشر شده است و آنچه پنهان است فقط کلید رمز است.

بنا بر این تمام امنیت حاصل شده از الگوریتم‌ها و پروتکل‌های رمزنگاری استاندارد، متکی به امنیت و پنهان ماندن کلید رمز است و جزئیات کامل این الگوریتم‌ها و پروتکل‌ها برای عموم منتشر می‌گردد.

بر مبنای تعریف فوق، توابع و الگوریتم‌های مورد استفاده در رمزنگاری به دسته‌های کلی زیر تقسیم می‌شوند:

• توابع بدون کلید
  • توابع درهم‌ساز
  • تبدیل‌های یک‌طرفه
• توابع مبتنی بر کلید
  • الگوریتم‌های کلید متقارن
    • الگوریتم‌های رمز بلوکی
    • الگوریتم‌های رمز دنباله‌ای
    • توابع تصدیق پیام
  • الگوریتم‌های کلید نامتقارن
    • الگوریتم‌های مبتنی بر تجزیهٔ اعداد صحیح
    • الگوریتم‌های مبتنی بر لگاریتم گسسته
    • الگوریتم‌های مبتنی بر منحنی‌های بیضوی
  • الگوریتم‌های امضای رقومی

الگوریتمهای رمزنگاری بسیار متعدد هستند، اما تنها تعداد اندکی از آن‌ها به صورت استاندارد درآمده‌اند.

رمزنگاری کلید متقارن

رمزنگاری کلید متقارن یا تک کلیدی، به آن دسته از الگوریتم‌ها، پروتکل‌ها و سیستم‌های رمزنگاری گفته می‌شود که در آن هر دو طرف رد و بدل اطلاعات از یک کلید رمز یکسان برای عملیات رمزگذاری و رمزگشایی استفاده می‌کنند. در این قبیل سیستم‌ها، یا کلیدهای رمزگذاری و رمزگشایی یکسان هستند و یا با رابطه‌ای بسیار ساده از یکدیگر قابل استخراج می‌باشند و رمزگذاری و رمزگشایی اطلاعات نیز دو فرآیند معکوس یکدیگر می‌باشند.

واضح است که در این نوع از رمزنگاری، باید یک کلید رمز مشترک بین دو طرف تعریف گردد. چون کلید رمز باید کاملاً محرمانه باقی بماند، برای ایجاد و رد و بدل کلید رمز مشترک باید از کانال امن استفاده نمود یا از روش‌های رمزنگاری نامتقارن استفاده کرد. نیاز به وجود یک کلید رمز به ازای هر دو نفرِ درگیر در رمزنگاری متقارن، موجب بروز مشکلاتی در مدیریت کلیدهای رمز می‌گردد.

رمزنگاری کلید نامتقارن

رمزنگاری کلید نامتقارن، در ابتدا با هدف حل مشکل انتقال کلید در روش متقارن و در قالب پروتکل تبادل کلید دیفی-هلمن پیشنهاد شد. در این نوع از رمزنگاری، به جای یک کلید مشترک، از یک زوج کلید به نام‌های کلید عمومی و کلید خصوصی استفاده می‌شود. کلید خصوصی تنها در اختیار دارندهٔ آن قرار دارد و امنیت رمزنگاری به محرمانه بودن کلید خصوصی بستگی دارد. کلید عمومی در اختیار کلیهٔ کسانی که با دارندهٔ آن در ارتباط هستند قرار داده می‌شود.

به مرور زمان، به غیر از حل مشکل انتقال کلید در روش متقارن، کاربردهای متعددی برای این نوع از رمزنگاری مطرح گردیده است. در سیستم‌های رمزنگاری نامتقارن، بسته به کاربرد و پروتکل مورد نظر، گاهی از کلید عمومی برای رمزگذاری و از کلید خصوصی برای رمزگشایی استفاده می‌شود و گاهی نیز، بر عکس، کلید خصوصی برای رمزگذاری و کلید عمومی برای رمزگشایی به کار می‌رود.

دو کلید عمومی و خصوصی با یکدیگر متفاوت هستند و با استفاده از روابط خاص ریاضی محاسبه می‌گردند. رابطهٔ ریاضی بین این دو کلید به گونه‌ای است که کشف کلید خصوصی با در اختیار داشتن کلید عمومی، عملاً ناممکن است.

مقایسه رمزنگاری کلید متقارن و کلید نامتقارن‌

‏ اصولاً رمزنگاری کلید متقارن و کلید نامتقارن دارای دو ماهیت متفاوت هستند و کاربردهای متفاوتی‌ نیز دارند. بنا بر این مقایسهٔ این دو نوع رمزنگاری بدون توجه به کاربرد و سیستم مورد نظر کار دقیقی نخواهد بود. اما اگر معیار مقایسه، به طور خاص، حجم و زمان محاسبات مورد نیاز باشد، باید گفت که با در نظر گرفتن مقیاس امنیتی معادل، الگوریتم‌های رمزنگاری متقارن خیلی سریع‌تر از الگوریتم‌های رمزنگاری نامتقارن می‌باشند.

تجزیه و تحلیل رمز

تجزیه و تحلیل رمز یا شکستن رمز، به کلیهٔ اقدامات مبتنی بر اصول ریاضی و علمی اطلاق می‌گردد که هدف آن از بین بردن امنیت رمزنگاری و در نهایت باز کردن رمز و دستیابی به اطلاعات اصلی باشد. در تجزیه و تحلیل رمز، سعی می‌شود تا با بررسی جزئیات مربوط به الگوریتم رمز و یا پروتکل رمزنگاری مورد استفاده و به کار گرفتن هرگونه اطلاعات جانبی موجود، ضعف‌های امنیتی احتمالی موجود در سیستم رمزنگاری یافته شود و از این طریق به نحوی کلید رمز به دست آمده و یا محتوای اطلاعات رمز شده استخراج گردد.

تجزیه و تحلیل رمز، گاهی به منظور شکستن امنیت یک سیستم رمزنگاری و به عنوان خرابکاری و یک فعالیت ضد امنیتی انجام می‌شود و گاهی هم به منظور ارزیابی یک پروتکل یا الگوریتم رمزنگاری و برای کشف ضعف‌ها و آسیب‌پذیری‌های احتمالی آن صورت می‌پذیرد. به همین دلیل، تجزیه و تحلیل رمز، ذاتاً یک فعالیت خصومت‌آمیز به حساب نمی‌آید؛ اما معمولاً قسمت ارزیابی و کشف آسیب‌پذیری را به عنوان جزئی از عملیات لازم و ضروری در هنگام طراحی الگوریتم‌ها و پروتکل‌های جدید به حساب می‌آورند و در نتیجه تجزیه و تحلیل رمز بیشتر فعالیت‌های خرابکارانه و ضد امنیتی را به ذهن متبادر می‌سازد. با توجه به همین مطلب از اصطلاح حملات تحلیل رمز برای اشاره به چنین فعالیت‌هایی استفاده می‌شود.

تحلیل رمز، در اصل اشاره به بررسی ریاضی الگوریتم (یا پروتکل) و کشف ضعف‌های احتمالی آن دارد؛ اما در خیلی از موارد فعالیت خرابکارانه، به جای اصول و مبنای ریاضی، به بررسی یک پیاده‌سازی خاص آن الگوریتم (یا پروتکل) در یک کاربرد خاص می‌پردازد و با استفاده از امکانات مختلف سعی در شکستن رمز و یافتن کلید رمز می‌نماید. به این دسته از اقدامات خرابکارانه، حملات جانبی گفته می‌شود.

*سارا سلطانی*

جایگاه هنر در درس ریاضی ...

 اگر این را بپذیریم که ، تصور و خیال ، یکی از سرچشمه های اصلی آفرینش های هنری است ، آن وقت ناچاریم قبول کنیم که ، در ریاضیات هم ، دست کم عنصر های زیبایی و هنر وجود دارد چرا که مایه ی اصلی کشف های ریاضی ، همان تصور و خیال است .به قول ولادیمیر ایلیچ نویسنده ی « دفاتر فلسفی » ، تصور و خیال « حتی در ریاضیات هم لازم است ، حتی کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال هم ، بدون تصور و خیال ، ممکن نبود ».با هیچ نیرنگی ، نمی توان از کشش انسان ها به سمت زیبایی ها جلوگیری کرد و آن چه زشت و نازیبا است را جانشین زیبایی ها کرد . آدمی ، از همان روزهایی که می شنود ، می بیند و درک می کند ، از موسیقی و تقاشی و شعر لذت می برد و چه به صورت لالایی مادر باشد یا آهنگ گوش نواز چایکووسکی ، چه بیتی عامیانه و کوچه باغی باشد یا سرودی از لسان الغیب ، چه هنرمندانه قالی های دست باف باشد و چه ظرافت ها و رنگ های چشم نواز بهزاد و کمال الملک ، همه جا انسان را به سوی خود می کشاند و غرق در آرامش و لذت می کند . ولی همه ی این ها ، یک شرط اساسی دارد و آن ، این است که با آفریده ای از یک استاد هنرمند سروکار داشته باشید و گرنه ، حرکت ناشیانه ی آرشه بر ویلون ، روح شما را می آزارد و ردیف بی ربط واژه های شعر سخن ناشناس ، شما را بیزار و کسل کند . در واقع تمامی عرصه ی ریاضیات ، سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می توان ، در شیوه ی بیان موضوع ، در طرز نوشتن ارائه ی آن ، در استدلال های منطقی آن ، در رابطه ی آن با زندگی و واقعیت ، در سر گذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد . هندسه ، به مفهوم عام آن ، زمینه ای است سر شار از زیبایی ، می گویند . افلاطون ، تقارن را مظهر و معیار زیبایی می دانست و چون ، گمان می کرد تنها هندسه است که می تواند رازهای هندسه را بر ملا کند و از ویژگی های آن برای ما سخن بگوید ، به هندسه عشق می ورزید و بر سر در آکادمی خود نوشته بود : « هر کس هندسه نمی داند وارد نشود » . و هنوز هم ، با آن که هنر کوبیسم بسیاری از سنت ها را درهم شکست و زیبایی های خیره کننده ی نا متقارنی را آفرید ، باز هم از قدر و قیمت تقارن چیزی نکاست ، و چه مردم عادی و چه صاحب نظران ، همچنان اوج زیبایی را در تقارن و تکرار می بینند . شاید بتوان گفت که کوبیسم ، مفهوم زیبایی ناشی از تقارن را ، گسترش داده و تکامل بخشیده است .هندسه ، همچون دیگر شاخه های ریاضیات ، زاده ی نیازهای آدمی است ، ولی در این هم نمی توان تردید کرد که ، در کنار سایر عامل ها یکی از علت های جدا شدن هندسه از عمل و زندگی و شکل گیری آن به عنوان یک دانش انتزاعی ، کشش طبیعی آدمی به سمت زیبایی و نظم بوده است . و هرچه هندسه تکامل بیشتری پیدا کرده و عرصه های تازه ای را گشوده ، نظم و زیبایی خیره کننده ی آن ، افزون تر شده است . از همین جا است که ، یکی از راه های شناخت زیبایی ریاضیات و به خصوص هندسه ، آگاهی بر نحوه ی پیشرفت و تکامل آن است . مفهوم نقطه و خط راست ، از کجا آغاز شد و چگونه از فراز و نشیب ها گذشت ، تا به ظرافت و شکنندگی امروز رسید . ما در طبیعت دور و بر خود ، نه تنها نقطه و خط راست هندسی ، بلکه دایره مستطیل و کره و متوازی السطوح هم به معنای انتزاعی خود نمی بینیم . این ذهن زیبا جو و در عین حال ، آفریننده ی انسان بوده است که چنین شکل ها و جسم های به غایت ظریف و زیبا را ابداع کرده است و سپس کاربرد های عملی زیبا تری هم برای آن ها یافته است .و در همین جا است که می توان جنبه ی دیگری از زیبایی ریاضیات را جست و جو کرد . ریاضیات با همه ی انتزاعی بودن خود ، بر همه ی دانش ها حکومت می کند و جزء قانون های آن ، همچون ابزاری نیرومند دانش های طبیعی و اجتماعی را صیقل می دهد و به پیش می برد ، تفسیر می کند و در خدمت انسان قرار می دهد .با چند ضلعی های محدب منتظم ، که نمونه های جالبی از شکل های متقارن اند ، می توان تصویر های جالب و زیبایی به دست آورد . ولی جالب تر از آن ها ، چند ضلعی منتظم مقعر ، یا چند ضلعی منتظم ستاره ای اند . ساده ترین آن ها ، یعنی پنج ضلعی منتظم ستاره ای را به سادگی می توان رسم کرد . بررسی ویژگی های چند ضلعی های منتظم ( محدب و مقعر ) و بدست آوردن شکل های ترکیبی از آن ها ، زمینه ی گسترده ای برای جلب دانش آموزان ، به زیبایی های درس های ریاضی است . از آن جالب تر ، کار با چند وجهی های منتظم است . نشان دادن فیلم ها و اسلاید ها از چند وجهی های افلاتونی و چند وجهی های نیمه منتظم ، یه ویژه اگر همراه با توضیح ساختمان بلور ها و دانه های برف باشد ، می توانند وسیله ی بسیار خوبی ، برای بیدار کردن احساس زیبایی دوستی دانش آموزان باشد . ولی نباید گمان کرد که در اشکال نا منتظم نمی توان زیبایی ها را جست جو کرد .نسبت ها و اندازه گیری ها ، زمینه ی بسیار مساعدی است که می تواند موجب رشد احساس زیبایی شناسی دانش آموزان بشود و آن ها را به طرف ریاضیات جلب کند . مسأله های مربوط به ماکزیمم و می نیمم یکی از جالب ترین و دلکش ترین زمینه ها در هندسه است که ، نه تنها نیروی تفکر و استدلال دانش آموز را بالا می برد ، بلکه در ضمن ، احساس هنری و زیبا شناسی او را هم بیدار می نماید . در هندسه وقتی پاره خطی را طوری به دو بخش تقسیم کنیم که مجذور بخش بزرگتربرابر با حاصل ضرب تمام پاره خط در بخش کوچکتر باشد ، می گویند که : « پاره خط را به نسبت زرین تقسیم کردیم . » تقسیم پاره خط به نسبت زرین» از دوران یونان باستان شناخته شده بوده است و ریاضی دانان یونان باستان مستطیلی را که روی این دو بخش پاره خط ساخته شود زیباترین مستطیل می دانسته اند و آزمایش فوق توانست درستی نظر ریاضی دانان باستانی را تایید کند . درباره ی نسبت زرین باید یاد آوری کرد که از همان دوران باستان ، از این نسبت در مجسمه سازی و معماری به فراوانی استفاده می کرده اند . از همان دوران باستان ریاضی دانان در جست و جوی زیباترین راه حل برای مسأله ها بوده اند . در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می کنند معلم ابتدا مسأله را به طریق عادی حل می کند و سپس راه حل هوشمندانه و سادهای را برای حل مسأله وجود دارد ، به دانش آموزان نشان می دهند . از ساده ترین مسأله هایی که در دبستان مطرح می شود ، تا دشوارترین مسأله های سال آخر دبیرستان ، می توان از این شیوه استفاده کرد . زیبایی شناسی در درس ریاضی : علاقه به هنر و توجه به زیبایی های طبیعت و زندگی یکی از جنبه های شخصیت انسانی را تشکیل می دهد و این علاقه را می توان ، و باید از همان سال های نخست تحصیل ، شکل دادو تقویت کرد . مبارزه با زیبایی و کشاندن کودکان و نوجوانان به سمت پدیده های اندوه بار و تلاش برای دور نگه داشتن آنها از زیبایی های درون و بیرون خود ، به معنای ستیز با طبیعت انسانی آن هاست ودر بهترین صورت خود موجب یأس و سرخوردگی و یا عصیان و بی بند و باری می شود . لگاریتم درهنر نیزکاربرد پیدا می کند. میدانیم درموسیقی برای بیان فشارصوت از دسیبل(Decibel ) استفاده می شود. اصطلاح دسیبل که در بسیاری از مباحث فیزیک موسیقی و نیز به هنگام استفاده از اعمال ضبط و افکت در استودیوهای موسیقی کاربرد دارد در واقع از یک محاسبه ی لگاریتمی فوق العاده آسان قابل محاسبه است.اصطلاح دسیبل برای مقایسه ی نسبت بین دو مقدار در علوم فیزیک، الکترونیک و بسیاری از رشته های مهندسی استفاده می شود. گفتیم دسیبل در فیزیک صوت کاربرد زیادی دارد، یکی از دلایل استفاده از لگاریتم در این شاخه این است که از آن جایی که هر دو مقداری که قرار است با هم مقایسه شوند دارای ابعاد فیزیکی یا دیمانسیون(Dimention) یکسان هسنتد خارج قسمت آن ها عدد خالص و بدون واحد است، لذا می توان از خارج قسمت آن ها لگاریتم گرفت تا بتوان ساده تر مقادیر بسیار کوچک یا بسیار بزرگ را با هم مقایسه کرد، بدون این که از رقم ها و عددهای بزرگ و کوچک استفاده شود. بعبارتی دیگر می توان گفت دسیبل واحدی است برای تغییر حجم صدا. البته قبلا برای این کار از واحد بل(مخترع تلفن) استفاده می شد.کاربردهای لگاریتم در موسیقی در این جا پایان نمی یابد. مثلا لگاریتم در بیان سطح فشار صوت (Sound pressure level) کاربرد می یابد که در آن از معیاری به نام SPL یا سطح فشار صوت استفاده می شود. همچنین، ساوار موسیقیدان و فیزیکدان فرانسوی که واحد سنجش فواصل موسیقی به نام اوست با استفاده از یکی از خاصیت های لگاریتم(لگاریتم حاصلضرب برابرست با حاصل جمع لگاریتم ها) توانست فواصل موسیقی را با هم جمع یا تفریق کند. بعدها برای اینکه جمع و تفریق آن ها از حالت اعشاری خارج شود واحد «سناوار» را مرسوم کردند. از مهمترین کاربردهای لگاریتم میتوان به کاربرد آن در علم زلزله شناسی اشاره نمود. مشکلات زیادی در اندازه گیری بیشینه ی دامنه وجود داشت که به توصیه ی گوتنبرگ دانشمند برجسته ی زمین لرزه شناسی اندازه گیری آن بصورت لگاریتم اعشاری انجام شد، امروزه در رابطه ی مقیاس بندی ریشتر و محاسبه ی بزرگی زلزله به لگاریتم بر می خوریم. سال ها بعد چارلز ریشتر زلزله شناس آمریکایی یک مقیاس لگاریتمی را برای سنجش زلزله تعیین کرد که هنوز هم مورد استفاده است و به نام خودش(ریشتر) معروف است. زلزله شناسان نیز انرژی آزاد شده بوسیله ی زلزله، دامنه و فاصله ی زلزله (کانون زلزله) را با محاسبات لگاریتمی اندازه گیری می کنند. البته بزرگی زلزله یک درجه ی قرار داری است اما می توان از طریق آن و بطور نسبی زمین لرزه ها را با یکدیگر مقایسه نمود. اما باید گفت پرکاربرد ترین علمی که از لگاریتم در آن استفاده می شود شیمی تجزیه است. در شیمی تجزیه بارها و بارها با لگاریتم و عمل لگاریتم گیری مواجه می شویم از آن جمله می توان به استفاده از لگاریتم در اندازه گیری PH ، توابعP ،معادله ی دبای-هوکل که با استفاده از آن می توان ضرایب فعالیت یون ها را از طریق بار و میانگین اندازه ی آن ها محاسبه کرد اشاره نمود. کاربردهای لگاریتم تنها به موارد اشاره شده در این مقاله ختم نمی شود چنانچه لگاریتم در علوم زیستی، نجوم و در اخترشناسی جهت اندازه گیری فاصله بین ستارگان و سیاره ها، آمار، علوم کامپیوتر، زمین شناسی و… نیز کاربرد می یابد ، چه بسا کاربردهای دیگری را که در آینده از لگاریتم شاهد خواهیم بود. درس های ریاضی می تواند نقش عمده ای در شکوفایی زیبایی شناسی داشته باشد و معلم با تجربه می تواند از هر فرصتی برای تقویت درک هنری دانش آموزان استفاده کند و ظرافت بیشتری به روحیه ی زیبا شناسی آن ها بدهد . کودکان و نوجوانان هر چیز جالب را دوست دارندو در ریاضیات ، موضوع های جالب و زیبا ،فراوان است .ریاضیات دانشی است منطقی ، دقیق و قانع کننده و همه ی بخش های آن ، مثل حلقه های زنجیر به هم پیوسته اند. سرچشمه ی تأثیر احساسی و هنری ریاضیات را ، باید در قطعی بودن نتیجه گیری ها و عام بودن کاربردهای آن و هم چنین ، در کامل بودن زبان ریاضیات ، شاعرانه بودن تاریخ آن و در مسأله های معمایی و سرگرم کننده ، جستجو کرد کاربردهای ریاضیات،بی اندازه زیاد و بسیار گوناگون است.در واقع به کار بردن روشهای ریاضی مرزی نمیشناسد: همه شکلهای مختلف ، حرکت ماده را میتوان با روش ریاضی بررسی کرد.البته،نقش و اهمیت روش ریاضی در حالتهای مختلف متفاوت است.هیچ طرح معین ریاضی نمیتوانداز عهده بیان همه ویژگیهای پدیده های حقیقی برآید.وقتی میخواهیم پدیدهای را بررسی کنیم،شکل خاصی از آن را در معرض تحلیل منطقی قرار میدهیم،در ضمن تلاش میکنیم نکته هایی را بیابیم که،در این شکل جدا شده از پدیده واقعی وجود نداردو شکلهای تازهای پیدا کنیم که بیشتر و کاملتر، در برگیرنده پدیده ما باشد. ولی اگر در هر گام تازه، نیاز به بررسی کیفی جهتهای تازهای از پدیده باشد.روش ریاضی،خود را عقب میکشد.در این جا تحلیل منطقی همه ویژگیهای پدیده، تنها میتواند طرح ریزی ریاضی را مبهم کند.ولی اگر شکلهای ساده و پایدار یک پدیده یا یک روند بتواند تمامی پدیده یا روند را با دقت و به طور کامل بپوشاند،اما در مرزهای این شکل مشخص ،به جنبه های پیچیده و دشواری برخورد کنیم، نیاز به بررسی ریاضی و بویؤه استفاده از نمادها و جستو جوی الگوریتم خاص برای حل آنها پیدا شود. این جاست که در قلمرو فرمانروایی روشهای ریاضی قرار میگیریم. همان طور که از بررسی تاریخ بر می آید. آغاز حساب و هندسه مقدماتی، به طور کامل زیر تاثیر خواستهای مستقیم زندگی و عمل بود. اندیشه ها وروشهای تازه بعدی ریاضی هم، با توجه به خواستهای عملی دانشهای طبیعی (اختر شناسی، مکانیک، فیزیک و غیره)، که پیوسته در حال پیشرفت بود، شکل می گرفت. بستگی مستقیم ریاضیات یا صنعت، اغلب به صورت به کار گرفتن نظریه های موجود ریاضی در مساله های صنعتی، جلوه می کند. نمونه ها :حال، از نمونه هایی یاد می کنیم. که بر اثر خواست مستقیم صنعت نظریه های کلی ریاضی به وجود آمده است. روش کمترین مربعات به دلیل نیازهای نقشه برداری پدید آمد بسیاری از حالتهای تازه معادله های دیفرانسیلی، برای نخستین بار برای حل مساله های مربوط به صنعت، طرح و بررسی شد. روشهای اپراتوری حل معادله های دیفرانسیلی، در رابطه با الکترونیک تکامل یافت و غیره. به خاطر نیازهای ارتباطی، شاخه تازه ای به نام انفورماسیون در نظریه احتمال به وجود آمد. مساله های مربوط به ترکیب دستگاههای مدیریت، منجر به پیشرفت دیفرانسیل به جز نیازهای اخترشناسی، مساله های مربوط به صنعت هم نقش اساسی داشته است: بسیاری از این روشها، به طور کامل با تکیه بر زمینه های صنعتی و مهندسی پدید آمدند. با پیچیده تر شدن صنعت و دشواریهای ناشی از آن مساله به دست آوردن سریع جوابهای عددی، اهمیت زیادی پیدا می کند. با امکانهایی که در نتیجه کشف ماشینهای محاسبه برای حل عملی مساله ها به وجود آمد، روشهای محاسبه ای باز هم اهمیت بیشتری پیدا کرد. ریاضیات محاسبه ای، برای حل بسیاری از مساله های عملی و از جمله مساله های مربوط به انرژی اتمی و بررسیهای فضایی، نقشی جدی به عهده دارد. این مقاله میکوشد تا چالشهای دنیای ریاضیات را در مواجهه با دنیای شگفتانگیز نانو بررسی کند. ، ریاضیات در معماری پازل نانو چه نقشی خواهد داشت؟ ، ریاضیات در معماری پازل نانو چه نقشی خواهد داشت؟ علوم نانو و فناوری نانو بیانگر رهگذری به سوی دنیایی جدید هستند. سفر به اعماق سرزمین اتمها و مولکولها نوید دهندهٔ اثراث اجتماعی شگفتانگیزی است: در علوم بنیادین، در فناوریهای نو، در طراحی مهندسی و تولیدات، در پزشکی و سلامت و در آموزش. پیشبینیهای گسترده در حوزه کشفیات جدید، چالشها، درک مفاهیم، حتی هنوز فرم و محتوای موضوع، مهآلود و اسرارآمیز است. این مقاله میکوشد تا چالشهای دنیای ریاضیات را در مواجهه با دنیای شگفتانگیز نانو بررسی کند. به عبارت دیگر، ریاضیات در معماری پازل نانو چه نقشی خواهد داشت: همگان بر این نکته توافق دارند که پیشرفتهای بزرگ، مستلزم تعامل میان مهندسان، ژنتیستها، شیمیدانان، فیزیکدانان، داروسازان، ریاضیدانان و علوم رایانه ای ها است. شکاف میان علوم و فناوری، میان آموزش و پژوهش، میان دانشگاه و صنعت، میان صنعت و بازار بر مجموعه تأثیرگذار خواهد بود. دلایل کافی مبتنی بر فصل مشترک میان نظامهای کلاسیک و فرهنگ ها موجود است.این انقلاب علمی و فناورانه، منحصر به فرد است. این بدین معنی است که میبایستی نه تنها در بعد علمی، که در سایر ابعاد، نیز زیرساختهای بنیادین با حداکثر انعطاف پذیری در برابر تغییرات را پیشگویی و پیشبینی کنیم. دانش ریاضیات به عنوان خط مقدم جبههٔ علم مطرح است. ویژگی بدیهی ریاضیات در علوم نانو «محاسبات علمی» است.محاسبات علمی در فناوریی که به عنوان فناوری انقلابی مطرح شده است. محاسبات علمی در طول، تفسیر آزمایشات، تهیهٔ پیشبینی در مقیاس اتمی و مولکولی بر پایهٔ تئوری کوانتومی و تئوریهای اتمی است. همانگونه که ریاضیات زبان علم است، محاسبات، ابزاری عمومی علم و کاتالیزوری برای تعاملات عمیقتر میان ریاضیات و علوم است. یک تیم محاسبات، دربارهٔ مدلشان و اثر محاسباتشان و تطبیقپذیری آن با واقعیت، به بحث میپردازند. «محاسبات» رابطی میان آزمایش و تئوری است. یک تئوری و یک مدل ریاضی، پیش نیاز محاسبات است و یک آزمایش تنها اعتبار بخش هر نوع تئوری، مدل و محاسبات است. مدلهای ریاضی، ستونهای راهگشا به سوی بنیاد علم و تئوریهای پیش بین هستند. مدلها، رابطهایی بنیادین در پروسههای علمی هستند و اغلب اوقات در سیستمهای آموزشی به فاز مدلسازی و محاسبات، تأکید کافی نمیشود. یک مدل ریاضی بر پایهٔ فرمولاسیون معادلات و نامعادلات اصول بنیادین استوار است و مدل درگیر با درک کامل پیچیدگیهای مسأله نظیر، جرم، اندازهٔ حرکت و توازن انرژی است. در هر سیستم فیزیکی واقعی تقریب اجازه داده میشود، تا مدل را در یک قالب قابل حل عرضه کنند. اکنون میتوان مدل را یا به صورت «تحلیلی» و یا بصورت «عددی» حل کرد. در این حالت مدلسازی ریاضی یک پروسه پیچیده است،زیرا میبایستی دقت و کارآیی را همزمان نشان دهد. در علوم نانو و فناوری نانو، مدلسازی نقش محوری را بر عهده دارد، بویژه وقتی که بخواهیم عملکرد ماکروسکوپی مواد را از طریق طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی کنترل کنیم، آن هم در شرایطی که درجات آزادی زیاد باشد. مدلسازی ریاضی یک ضرورت در این فضای مه آلود است. تفسیر دادههای آزمایشگاهی یک ضروت حتمی است. همچنین برای هدایت، تفسیر، بهینه سازی، توجیه رفتارهای آزمایشگاهی، مدلسازی ریاضی ضرورت مییابد. یک مدل مؤثر، راه رسیدن به تولیدات جدید، درک جدید رفتارشناسی، را کوتاه میکند و تصحیح گر هوشمندی است که از نتایج گذشته درس میگیرد. مدلسازی نه تنها ویژگی منحصر به فرد ریاضیات است بلکه پلی بسوی فرهنگهای مختلف علمی است.تئوری در هر مرحله از توسعهٔ علم، نقش محوری دارد، ارزیابی حساسیت مدل به شرایط پروسههای فیزیکی ، و حصول اطمینان از اینکه معادلات و الگوریتمهای محاسباتی با شرایط کنترل آزمایشگاهی سازگارند، از چالشهای مهم است. تئوری نهایتاً بسوی تعریف نتایج و درک فیزیکی سیستم، میل خواهد کرد و اغلب اوقات ریاضیات جدیدی لازم نیست تا به منظور رسیدن به درک رفتار، ساخته شود.عبور از تئوریهای موجود ارزشمند است و اغلب نیز اتفاق میافتد. زمانی مدلها، مشابه سیستمهای شناخته شده هستند که دقت ریاضی بالایی را داشته باشند اما در جهان شگفت انگیز نانو، مدلهای مختلف و جدید، چالشهای جدی را در دانش ریاضیات پدید میآورند. تئوریهای جدید در مقیاسهای زمانی غیر قابل پیشگوئی اتفاق میافتند و تئوریهای قدرتمند در قالبهای عمیق شکل میگیرند. میانبرهای اساسی لازم است تا شبیهسازی صورت گیرد: طراحی در مقیاس اتمی و مولکولی، کنترل و بهینه سازی عملکرد مواد و ابزار آلات، و کارآیی شبیهسازی رفتار طبیعی، از مهمترین چالشها است. این چالشها نوید دهندهٔ برهم کنشهای کامل میان حوزههای مختلف ریاضی خواهد بود. آثار اجتماعی این چالشها زیاد و متنوع خواهد بود. منافع حاصل از مشغولیت ریاضیدانان فعال، توازن با چالشهای اصلی در زمینه رشد زیرساختهای ریاضیات، تغییرات در ساختار آموزش ریاضیات، از جمله آثار ورود ریاضیات به دنیای شگفت انگیز نانو خواهد بود. جامعه ریاضی میبایستی اصلاح شود: تئوریهای بنیادین، ریاضیات میان رشتهای و ریاضیات محاسباتی و آموزش ریاضیات. ریاضیات چه حوزههایی را در بر خواهد گرفت؟ الگوریتمهای اصلی در حوزههای ریاضیات کاربردی و محاسباتی، علوم کامپیوتر، فیزیک آماری، نقش مرکزی و میان بر ساز را در حوزهٔ نانو بر عهده خواهند داشت. برای روشن شدن موضوع برخی از اثرات ریاضیات را در فرهنگ نانو بررسی میکنیم: روشهای انتگرال گیری سریع و چند قطبی سریع: اساسی و الزامی به منظور طراحی کدهای مدار (White, Aluru, Senturia) و انتگرال گیری به روش Ewala در کد نویسی در حوزههای شیمی کوانتوم و شیمی مولکولی (Darden ۱۹۹۹) روشهای« تجزیه حوزه»، مورد استفاده در شبیهسازی گسترش فیلم تا رسیدن به وضوح نانوئی لایههای پیشرو مولکولی با مکانیک سیالات پیوسته در مقیاسهای ماکروسکوپیک (Hadjiconstantinou) تسریع روشهای شبیه سازی دینامیک مولکولی (Voter ۱۹۹۷)روشهای بهبود مشبندی تطبیق پذیر: کلید روشهای شبیه پیوسته که ترکیب کنندهٔ مقیاسهای ماکروئی، مزوئی، اتمی ومدلهای مکانیک کوانتوم از طریق یک ابزار محاسباتی است (Tadmor, Philips, Ortiz) روشهای پیگردی فصل مشترک: نظیر روش نشاندن مرحلهای Sethian, Osher که در کدهای قلم زنی و رسوبگیری جهت طراحی شبه رساناها مؤثرند (Adalsteinsson, Sethian) و نیز در کدگذاری به منظور رشد هم بافت ها (Caflisch) روشهای حداقل کردن انرژی هم بسته با روشهای بهینه سازی غیر خطی (المانی کلیدی برای کد کردن پروتیئنها) (Pierce& Giles) روشهای کنترل (مؤثر در مدلسازی رشد لایه نازکها (Caflisch)) روشهای چند شبکهبندی که امروزه در محاسبات ساختار الکترونی و سیالات ماکرومولکولی چند مقیاسی بکار گرفته شده است. روشهای ساختار الکترونی پیشرفته ، به منظور هدایت پژوهشها به سمت ابر مولکولها (Lee & Head – Gordon)  

*هنگامه احسان*

نظریه گراف ...

نظریه گراف شاخه‌ای از ریاضیات است که دربارهٔ گراف ها بحث می‌کند. به صورت شهودی، گراف نموداری است، شامل تعدادی رأس، که با یال‌هایی‌ به هم وصل شده‌اند.

تعریف

تعریف دقیق‌تر گراف به این صورت است، که گراف مجموعه‌ای از رأس‌ها است، که توسط خانواده‌ای از زوج‌های مرتب که همان یال‌ها هستند به هم مربوط شده‌اند.

یال‌ها بر دو نوع ساده و جهت دار هستند، که هر کدام در جای خود کاربردهای بسیاری دارد. مثلاً اگر صرفاً اتصال دو نقطه -مانند اتصال تهران و زنجان با کمک آزادراه- مد نظر شما باشد، کافیست آن دو شهر را با دو نقطه نمایش داده، و اتوبان مزبور را با یالی ساده نمایش دهید. اما اگر بین دو شهر جاده‌ای یکطرفه وجود داشته باشد آنگاه لازمست تا شما با قرار دادن یالی جهت دار مسیر حرکت را در آن جاده مشخص کنید.

آغاز نظریهٔ گراف به سدهٔ هجدهم بر می‌گردد. اولر ریاضیدان بزرگ مفهوم گراف را برای حل مسئله پل‌های کونیگسبرگ ابداع کرد اما رشد و پویایی این نظریه عمدتاً مربوط به نیم سدهٔ اخیر و با رشد علم انفورماتیک بوده‌است.

مهم‌ترین کاربرد گراف مدل‌سازی پدیده‌های گوناگون و بررسی بر روی آنهاست. با گراف می‌توان به راحتی یک نقشه بسیار بزرگ یا شبکه‌ای عظیم را در درون یک ماتریس به نام ماتریس وقوع گراف ذخیره کرد و یا الگوریتمهای‌ مناسب مانند الگوریتم دایسترا یا الگوریتم کروسکال و ... را بر روی آن اعمال نمود.

یکی از قسمت‌های پرکاربرد نظریهٔ گراف، گراف مسطح است که به بررسی گراف‌هایی می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را به نحوی روی صفحه کشید که یال‌ها جز در محل راس‌ها یکدیگر را قطع نکنند. این نوع گراف در ساخت جاده‌ها و حل مساله کلاسیک و قدیمی سه خانه و سه چاه آب به کار می‌رود.

نظریه گراف یکی از پرکاربردترین نظریه‌ها در شاخه‌های مختلف علوم مهندسی (مانند عمران)، باستان‌شناسی (کشف محدوده یک تمدن) و ... است.

روابط میان راس های یک گراف را می توان با کمک ماتریس بیان کرد .

انواع گراف

گراف ساده: هر گراف G زوج مرتبی مانند (V,E) است که در آن V مجموعه‌ای متناهی و ناتهی است و E زیرمجموعه‌ای از تمام زیرمجموعه‌های دو عضوی V میباشد. اعضای V را رأسهای G و اعضای E را یالهای G مینامیم. به بیان ساده تر بین دو رأس یک گراف ساده حداکثر یک یال وجود دارد.

گراف چندگانه: هرگاه بین دو رأس متمایز از یک گراف بیش از یک یال وجود داشته باشد، آن را یک گراف چند گانه می‌گوییم.

گراف جهت دار: هر گراف G زوج مرتبی مانند (V,E) است که در آن V مجموعه‌ای متناهی و ناتهی است و E زیرمجموعه‌ای از مجموعهٔ تمام زوج مرتب‌های متشکل از اعضای V است.

گراف مسطح: گراف مسطح گرافی است که می توان آن را در یک صفحه محاط کرد به گونه ای که یال هایش یکدیگر را تنها در راس ها قطع کنند.

خصوصیات گراف‌های خاص

اگر تعداد یال‌ها و درجهٔ راس‌ها در گراف ساده برابر باشد، گراف مورد نظر منتظم کامل است. در این گونه گراف ها، رابطهٔ میان رأس‌ها و یال‌ها چنین است:

که در آن تعداد راسها، و تعداد یالها است.

اگر گراف همبند باشد (یعنی از هر نقطه بتوان به یک نقطه دلخواه دیگر رسید) ولی دور نداشته باشد (یعنی هیچ نقطه‌ای از دوراه به نقطهٔ بعدی نرسد) می گویند گراف درختی است. فرمول آنهم این چنین است:

که در آن p  تعداد رأس ها و q  تعداد یال ها است.

گراف اویلری و همیلتونی:گاهی اوقات ما می خواهیم در یک گراف حرکت کنیم.به اینصورت که از راسی به راسی دیگر برویم.در اینصورت ممکن است برای ما مهم باشد که از روی یال یا راس تکراری حرکت نکنیم(مشابه مساله ی فروشنده ی دوره گرد).این مساله در صرفه جویی زمان و هزینه هم مهم است.(یعنی مبحث بهینه سازی).دراینجا دو موضوع گرافهای اویلری(دور زدن در گراف بدون یال تکراری)و همیلتونی(دور زدن بدون راس تکراری) مطرح میشود.براحتی میتوان بررسی کرد که راسهای گراف اویلری باید درجه ی زوج داشته باشند.اما اینکه شرایط کامل لازم و کافی برای همیلتونی بودن یک گراف چیست هنوز حل نشده مانده است.

گراف جهتدار یا دیگراف (به انگلیسی: Directed Graph) نوع خاصی از انواع گراف‌ها است.

V را یک مجموعه ناتهی متناهی از رأس‌های یک گراف و E را مجموعه یال‌های آن تعریف می‌کنیم. هم‌چنین می‌دانیم E⊆V×V. جفت (V٫E) را یک گراف جهتدار گوییم، اگر جهت یال‌های آن مهم باشد. به عنوان مثال در یک لیگ ورزشی، اگر هر تیم را با یک راس نشان دهیم و یال‌های آن را از تیم برنده به تیم بازنده وصل کنیم، گراف ما یک گراف جهت‌دار خواهد بود که نشان‌دهنده نتایج بازی‌هاست.

*مریم صادقی*

کلیات روش مطالعه ...

کلیات روش مطالعه

از یکی از فیلسوفان و مرتاضان هندی پرسیدند: آیا پس از این همه دانش و فرزانگی و ریاضت هنوز هم به ریاضت مشغولی؟ گفت: آری. گفتند: چگونه؟ گفت: وقتی غذا می خورم صرفاً غذا می خورم و وقتی می خوابم فقط می خوابم.

این شاید بزرگترین ثمره تمرکز است. آیا شما هم هنگام غذا خوردن می توانید تمام توجهتان را روی غذا خوردن و لذت و مزه غذا معطوف کنید، یا اینکه معمولاً از افکار مربوط به گذشته و آینده آشفته اید و چون به خود می آیید می بینید غذایتان تمام شده و جز امتلا و پری معده هیچ نفهمیده اید. تمرکز واقعی یعنی اینکه اگر شما در طول روز به پنج فعالیت مختلف مشغولید، در هر فعالیت صرفاً به آن فکر کنید و از افکار مربوط به کارهای دیگر آسوده باشید. موفقیت زندگی روزانه ما تماماًً به میزان تمرکز ما بر امور روزانه ارتباط دارد. اگر شما قادر باشید به هنگام کار فقط روی کار خود، به هنگام ورزش صرفاً روی انجام حرکات، در هنگام مطالعه فقط روی موضوع کتاب و به هنگام انجام فعالیت هنری از قبیل موسیقی، نقاشی، خطاطی و... به فعالیت هنری خود توجه و تمرکز کنید، عملاً موفقیت شما به میزان چشمگیری افزایش می یابد. تمام نوابغ جهان کسانی بودند که از قدرت تمرکز فوق العاده ای برخوردار بودند. آشفتگی و شوریدگی ذهنی، عملاً شما را به هیچ عنوان موفق نمی کند. وقتی کار می کنید به خانواده می اندیشید، وقتی در خانواده به سر می برید از شغل خود نگرانید و وقتی ورزش می کنید در اندیشه تحصیل هستید و وقتی درس می خوانید فکرتان هزار سو می رود. این عملاً اتلاف وقت و مؤثر نبودن است.

موفقیت یعنی تمرکز، تمرکز و تمرکز

خواننده عزیز همه فعالیتهای انسان برای توفیق، نیازمند تمرکز است. اما از سلسله فعالیتهای نیازمند تمرکز، مطالعه، جدی ترین فعالیتی است که تمرکز در آن نقش اساسی و محوری دارد. خود شما بارها متوجه شده اید که پس از مدتی که از مطالعه تان گذشت چشمانتان روی کلمات و خطوط می دود بی آنکه حواستان به آن باشد و همین طور شاید چند خط و یا چند صفحه را دنبال کنید و یکباره متوجه شوید حرکت چشمانتان صرفاً از روی غریزه و عادت بوده، فوراً به عقب بر می گردید و شروع به خواندن دوباره می کنید، اما کمی جلوتر مشکل تکرار می شود. این موضوع شما را بسیار خسته و کسل می کند، وقت زیادی را از شما می- گیرد و کم کم میل به مطالعه در شما کم می شود. گاهی اوقات هم به کلمه ای از کتاب خیره می شوید و در افکار خود غوطه می خورید. پیش از هر چیز مطمئن باشید که این مشکل و مسأله شما نیست و همه افرادی که به نوعی با مطالعه و کتاب سر و کار دارند از این موضوع در رنجند. بر همین اساس بخش عمده ای از این کتاب به راههای بهبود تمرکز در هنگام مطالعه و هنگام حضور در کلاس می پردازد که صد البته مطالعه و عمل به آن برای تمرکز، آرامش و شادمانی و موفقیت به همراه خواهد داشت. در آخر ذکر این نکته ضروری است که تمرکز حواس یک مهارت بی چون و چراست که نیاز به فراگیری تکنیکهاو تمرین مستمر دارد.

اینکه شما روشهای کاربردی این کتاب را چند روزی تمرین کنید و بعد رهایش کنید نتیجه همان می شود که اکنون به آن گرفتارید: "عدم تمرکز حواس". تمرینات را با صبر و حوصله و متانت کافی انجام دهید. شتاب زده عمل نکنید و منظم و آرام به پیش بروید. "لرد بایرون" می گوید: برای پیشرفت و پیروزی سه چیز لازم است: اول پشتکار، دوم پشتکار و سوم پشتکار. این کتاب را بخوانید اگر: مصمم هستید و اراده راسخ کرده اید تمرکزتان بهتر شود. تمرینها را انجام می دهید و به پیشرفت خود یقین دارید. فصل اول واقعیتها در: تمرکز حواس تمرکز چیست؟ مهمترین علت عدم دستیابی به یک تمرکز فکر عالی، تعاریف نادرستی است که در ذهن شما برای تمرکز حواس وجود دارد. بیشتر شما تمرکز را فکر کردن به یک موضوع ویژه به صورت مطلق و کامل و صد درصد می دانید در حالی که چنین چیزی نه تنها برای شما که برای هیچ انسانی در هیچ شرایطی به هیچ عنوان ممکن نیست. شما ابداً قادر نیستید تمام ذهن خود را به طور کامل و مطلق در اختیار یک موضوع بگذارید و بقیه افکار را در آن زمان از ذهن خود کاملاً حذف کنید.

زمانی که یک انسان می تواند چنین تمرکزی داشته باشد، حداکثر سه الی چهار ثانیه است. یعنی تا کنون کسی نبوده که پنج ثانیه متوالی به طور مطلق، تنها و تنها به یک چیز بیاندیشد.

بنابراین، منطقی نیست که شما تعریف بالا را برای تمرکز حواس قبول کنید. چنین تعریفی، سطح توقع شما را بالا می برد. وقتی که فکر دیگری به جز موضوع اصلی به ذهنتان راه می یابد و یا کوچکترین عامل حواس پرتی را از محیط اطراف خود دریافت می کنید. احساس سرخوردگی می کنید و گمان می کنید که قدرت تمرکز ندارید. حال آنکه این تصور فقط ناشی از برداشت اولیه نادرستی است که از تمرکز داشته اید و همین تصور عملاً شما را در تلاش برای بهبود تمرکز ناکام می سازد. پس، اولین و مهم ترین قدم را در راه افزایش تمرکز ذهنی خود بردارید: تعریف نادرستی را که از تمرکز حواس در ذهن خود دارید دگرگون کنید.

اما تعریف درست تمرکز

حواس همان قدرمی تواند واقعی باشد که عوامل حواس پرتی واقعیت دارند.
یعنی: شما باید بپذیرید که به هر حال، همیشه عواملی حواس شما را پرت می کنند که بعضی از آنها منشأ ذهنی و درونی دارند و از اندیشه خود شما ناشی می شوند و بعضی دیگر منشأ محیطی و بیرونی دارند و از محیط اطراف شما نشأت می گیرند. عواملی مثل یادآوری خاطرات و تخیلات گوناگون و تجزیه و تحلیل مسائلی خارج از چارچوب موضوع مطالعه، از عوامل حواس پرتی درونی و عواملی مانند سر و صدا، حضور مزاحم دیگران و آشفتگی مکان مطالعه از عوامل بیرونی به حساب می آیند. شاید بتوان ذهن انسان را به یک سیستم ارتباطی بسیار پیچیده تشبیه کرد. در هر لحظه هزاران پیام از محیط داخلی بدن و از محیط اطراف به آن مخابره می شود و در عین حال هزاران پیام از این مرکز به محیط داخلی بدن و محیط اطراف ارسال می گردد. اگر چه بسیاری از

 در تعریفی که برای تمرکز حواس ارائه دادیم نسبی بودن تمرکز، کاملاً نشان داده شده است. گفتیم که تمرکز هر شخص به نسبت کاهش عوامل حواس پرتی او افزایش می یابد و بنا به تغییرات موقعیت ذهنی و محیطی او تغییر می کند. در نتیجه شما هیچ گاه از یک میزان مشخص و ثابت تمرکز برخوردار نیستند. به محض آنکه محیط شما عوض شود و یا شرایط ذهنی شما تغییر کند، میزان تمرکز شما بر یک مطلب تغییر می کند. همچنین تمرکز حواس افراد مختلف نسبت به یکدیگر، کاملاً فرق می کند. بنابراین شما هرگز نباید خود را فرد حواس پرت و فاقد تمرکزی بدانید یا معرفی کنید، چرا که چنین چیزی حقیقت ندارد. درست تر آن است که بگویید در این لحظه، با ذهنیت کنونی و در محیط فعلی عوامل حواس پرتی من بیشتر و میزان تمرکزم کمتر است.

گفتن "من کاملاً آدم حواس پرتی هستم" و عباراتی از این دست، کاملاً نادرست است. این قضاوت شما درباره تمرکز حواستان به هیچ وجه منصفانه نیست چرا که خود شما بارها و بارها در شرایط متفاوت تمرکزهای عالی گوناگونی را تجربه کرده اید. همیشه به خاطر داشته باشید که به هنگام قضاوت در مورد خودتان یا دیگران، واقع بین بودن با بدبین بودن خیلی فرق می کند. کسی که واقع بین است همه جنبه ها چه خوب و چه بد را در نظر می گیرد؛ به سرعت داوری نمی کند. جزئیات را می بیند و کلی گویی نمی کند. پس: در مورد تمرکز حواس خود واقع بینانه قضاوت کنید و واقع بینانه حرف بزنید یعنی همیشه توجه کنید که: تمرکز حواس نسبی است.

تمرکز حواس اکتسابی است. بسیاری از شما در مواردی که نمی توانید تمرکز حواس عالی داشته باشید، می گویید: "من ذاتاً آدم حواس پرتی هستم". همین ذهنیت نادرست باعث می شود که نتوانید از چنین تمرکزی برخوردار گردید.

تمرکز حواس به هیچ وجه ذاتی نیست. ما، ژن مشخصی برای تمرکز در مغز نداریم و هیچ یک از ما با تمرکز مادرزاد به دنیا نیامده ایم. اگر چه برخی از والدین، رفتار نوزاد خود را هنگامی که محکم شیشه شیر را در دست گرفته، به آن نگاه می کند و شیر را می مکد، تمرکز حواس تلقی می کنند و می پندارند که کودکشان از تمرکز ذاتی برخوردار است. رفتار کودک صرفاً پاسخی بازتابی به محرک که شیشه شیر یا سینه مادر است، می باشد و هیج نوع تفکری در آن صورت نمی گیرد چرا که هنوز مراکز عالی مغز، کنترل رفتار کودک را به دست نگرفته اند و بنابراین تعبیر رفتار کودک به تمرکز حواس کاملاً بی اساس است. آنچه مسلم است استعداد بالقوه تمرکز حواس در همگان وجود دارد و مانند هر استعداد دیگر می توان آن را در خود رشد داد و پروراند. شما به راحتی می توانید این خصلت همگانی را در خود تربیت کنید و به عالی ترین مراتب خویش برسانید.

همه تواناییهای همگانی را به عضله ای تشبیه می کنند. قویترین و عضلانی ترین افراد را هم که در نظر بگیرید، وقتی به دنیا آمدند از عضلاتی ساده و نرم و طبیعی مانند دیگران برخوردار بودند اما تمرین و ممارست و به کار گرفتن عضلات باعث شده که آنها به مرور در رشد عضلانی خود پیشرفت کنند و به بالاترین مرتبه آن که مهارتهای ویژه در استفاده از عضلات است، برسند.

تمام استعدادهای بالقوه انسانی را می توان به صورت بالفعل در آورد و پرورش داد و به عالی ترین درجه خود رساند. مثلاً یک بند باز ماهر را در نظر بگیرید. او هم وقتی متولد شد مانند همه کودکان طبیعی دیگر، توانایی حفظ تعادل را به دست نیاورده بود. مدتها طول کشید تا او بتواند بنشیند و در وضعیت نشسته تعادل به دست آورد، بایستد و در وضعیت ایستاده تعادل به دست بیاورد. راه برود و در حال راه رفتن تعادل خود را حفظ کند، درست مانند همه کودکان طبیعی دیگر. اما او با تمرینات مداوم و مکرر، استعداد حفظ تعادل خود را آن قدر پرورش داد که به یک مهارت تبدیل کرد. حالا او آن قدر توانایی حفظ تعادل دارد که می تواند به راحتی روی یک بند حرکات پیچیده انجام دهد و تعادل خود را حفظ کند و ما را به وجد بیاورد.

حافظه و تمرکزهم دو استعداد همگانی هستند که می توانند پرورش پیدا کنند

 و به مهارت های ویژه تبدیل شوند. کسانی که قادرند ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی را در کوتاهترین زمان ممکن انجام دهند، کسانی که می توانند با یک بار دیدن، شنیدن، حس کردن یا خواندن، آنچه را که آموخته اند، تا زنده اند به خاطر داشته باشند و همه کسانی که ما آنها را استثنائی و عجیب و غریب می دانیم، افرادی کاملاً معمولی هستند که یک یا چند استعداد طبیعی و همگانی خود را تا این سطح پرورش داده اند. امروز حتی خلاقیت، که حدود صد سال پیش یک استعداد کاملاً ذاتی تصور می شد، یک استعداد کاملاً پرورش یافته محسوب می شود.

دکتر "اسبورن" در کتاب "پرورش استعداد همگانی ابداع و خلاقیت" بر این موضوع بسیار تأکید می کند و تمرینات زیادی را برای پرورش این استعداد بالقوه به خوانندگان کتاب خود می آموزند.

علت رشد روز افزون مؤسسه های پرورش نیروهای ذهنی در دنیا همین قابلیت پرورش یافتن نیروهای ذهنی و اکتسابی بودن آنهاست. پس کاملاً ایمان بیاورید و باور کنید که به راحتی قادرید استعداد خدادادی تمرکز فکر را در خودتان پرورش دهید و نسبت به وضعیت کنونی، آن را بهبود بخشید. حتی اگر امروز فکر می کنید که سن شما بیشتر شده و یا در زندگی خود مشکلات جسمی، عاطفی و محیطی فراوان دارید، باز هم مطمئن باشید که می توانید از قدرت تمرکز عالی برخوردار شوید به شرط آنکه روش به کارگیری صحیح این استعداد بالقوه را فرا گیرید. به خاطر داشته باشید که اگر از یک کلید مدتی استفاده نکنید، زنگ می زند ولی تا هنگامی که کلید در قفلِِِ ِ در می چرخد و به کار گرفته می شود، هر روز براقتر و درخشانتر می شود.

تمام استعدادهای ما مصداق این کلید را دارند. باید آنها را به کار اندازیم تا به استعداد های درخشان تبدیل شوند؛ در غیر این صورت به مرور زنگ خواهند زد.

  ---------------------------

دانستن قوانین مطالعه

شناخت قانون هر چیزی شما را به آن علاقمند می کند. اگر خیلی ها از تماشای تنیس لذت نمی برند به خاطر آن است که از قانون شمارش امتیازها در آن آگاهی ندارند.
قانون ورزشها، قانون بازیها، قانون برقراری یک ارتباط مؤثر، مقررات اجتماعی و قانون کتاب را کشف کنید.

قبل از شروع مطالعه کشف کنید محوری که مطالب کتاب حول آن دور می زند چیست؟ این کتاب بر چه موضوعی تأکید می کند؟ چه سبک و ساختاری دارد؟ چگونه می خواهید به من یاد بدهید؟

یکی از موارد بسیار مهم که شما معمولاً نادیده می گیرید، قانون و روش مطالعه است. در خواندن هر کتاب و مطالعه نیز برای آن که تمرکز عالی پیدا کنید و روش و قانونی وجود دارد که آن را بعداً بررسی خواهیم کرد. اکنون فقط به این نکته توجه کنید که برای یک مطالعه متمرکز باید به روش صحیح مطالعه کرد. اگر شما ندانید قانون بازی والیبال چیست نمی توانید آن را بازی کنید. در مورد مطالعه هم همین طور است. ابتدا باید روش مطالعه را فرا بگیرید.

زبان گردانی

وقتی شما چند دوست دارید، دوستی را که به شما بیشتر شبیه است، عاطفه و روحیه شما را دارد و به زبان شما سخن می گوید، بیشتر دوست دارید. به حرفهایش بیشتر توجه می کنید و حتی بیشتر او را به خاطر می سپارید. زبان کتاب، بک زبان ساده، عمومی و همگانی است و باید همچنین باشد. این شما هستید که باید پس از مطالعه، کتاب و متن و نمودار فرمولها را به زبان خود بیان کنید. "زبان گردانی"، یکی از اصول مطالعه است. فرمول انیشتین را به زبان خود تعریف کنید. ببینید که آن در زبان شما چه مفهومی دارد؟ یادتان می آید که وقتی سال اول دبستان بودید، باران را چگونه برای خود زبان گردانی کردید؟ نعلبکی را در لوله کتری برگرداندید و برای خود ابر و باران ساختید. پیچیده ترین مطالب علمی را همین طور که مطالعه می کنید و جلو می روید به زبان ساده، قابل فهم و بیان خوشایند خودتان برگردانید. از خود مثال بزنید و حتی آن متن را یک بار دیگر به زبان ساده خودتان بنویسید. اگر بخواهید عیناً مطالب کتاب را بخوانید و حفظ کنید عملاً نمی توانید یادگیری عمیقی داشته باشید. اما اگر با زبان گردانی مطالب را یاد بگیرید، خیلی راحتتر عین مطالب کتاب را بیان خواهید کرد و به خاطر خواهید سپرد. پس یادتان باشد:

"زبان گردانی" یعنی بیان مطالب دشوار کتاب به زبان ساده و خوشایند خودتان.

با کتاب شوخی کنید

وقتی تلویزیون تماشا می کنید یا با دوستتان صحبت می کنید، لبخندی بر لب دارید و راحتید، اما وقتی از کتاب و مطالعه صحبت می شود و به سراغ درسها می روید جدی و محکم و اخمو می شوید.

در روان شناسی حافظه و یادگیری گفته می شود: مطالبی که بار هیجانی بیشتری دارند، بیشتر در حافظه می مانند و بهتر به خاطر آورده می شوند چرا که هیجان، علاقه، تمرکز، و ورود مطلب به حافظه را موجب می شود. مثالی بزنیم: من به شما می گویم: همسایه 18 سال قبلتان یادتان می آید؟ شما می گویید: نه. می گویم: همان که دو بچه کوچک داشت. می گویید: نه، به خاطر نمی آورم. می گویم: همان که پدرش فروشنده لباس بود و شما باز هم به خاطر نمی آورید. می گویم: همان که خانه شان آتش گرفت. یک مرتبه همه چیز در ذهنتان زنده می شود چرا که آتش گرفتن، بار هیجانی مؤثری داشته است. اگرچه آتش گرفتن، یک هیجان منفی در شما ایجاد کرده بود، در هر حال هیجان انگیز بود و همین هیجان باعث شده بود که شما خاطره آن را به خوبی به خاطر بسپارید.

 با کتاب خود شوخی کنید. مثالهایی مهیج، شادی آفرین و حتی خنده دار بزنید. این موضوع به علاقه و تمرکز شما کمک زیادی می کند. بعد از این که خواندید الکترون در سیم حرکت می کند و به مقاومتی مثل لامپ برخورد می کند و لامپ را روشن می نماید، به زبان خودتان بگویید: موتور سوار (الکترون) در خیابانی خلوت (سیم) به سرعت حرکت می کند که ناگهان به دیواری (مقاومت) برخورد می کند و آن وقت احساس می کند که پروانه ها دور سرش می چرخند (روشن می شود).

هرچه می توانید به سخت ترین مطالب کتاب بار هیجانی مثبت بدهید و آن را بخوانید. وقتی که سدیم روی آب شناور است، به شدت حل می شود و اگر کبریتی بزنیم، بالای آن شعله ور می شود. تصور کنید اگر کسی در حال آب خوردن باشد و سدیمی در آب بیندازیم و به آن کبریت بزنیم، سبیلهایش می سوزد. اگر بخواهید می توانید با زبان خوشایند خودتان با تمام مفاهیم کتاب شوخی کنید. اگر در بحث گشتاور مثالی از الاکلنگ می آورند فقط به خاطر آن است که بازی مهیج الاکلنگ، گشتاور را در ذهن شما وارد کند. شما باید زرنگی کنید و مثالی مهیج بزنید.

با کتاب آنچنان شاد و مهیج برخورد کنید که گویی به دوست داشتنی ترین دوست خود رسیده اید.

توجه به لذتهای نهایی، نه دشواری مسیر

برای شروع هر کار باید این را بپذیرید که دشواریهای در مسیر وجود دارد و تلاش لازم است. پذیرش دشواری مسیر و رنج راهی که در پیش دارید شما را برای مقابله با این دشواریها و پیشرفت آماده می کند. عدم پذیرش این که هر مسیری با دشواری رو بروست به ویژه در آغاز راه، شما را افسرده و ناراحت می کند.

همین تمرینات تمرکز را در نظر بگیرید. ممکن است در ابتدا برایتان خیلی مشکل باشد ولی به تدریج که جلوتر می روید، تمرینات، ساده تر و قابل قبول تر می شود. برای میل پیدا کردن به انجام هر کار، باید به لذتهای پایان کار توجه کنید و به هیچ عنوان به دشواریهای مسیر فکر نکنید.

اگر باید روزی بیست صفحه مطالعه کنید، فکر خود را به رنج روزی بیست صفحه مطالعه متمرکز نکنید. بلکه به لذتهای نهایی که نصیبتان می شود توجه کنید. آنچه شما را به تلاش پیگیر و مستمر وا می دارد، میل به جذب لذتهاست. کسانی از کوه بالا می روند و قله را فتح می کنند که لذت رسیدن به قله را در ذهن می پرورانند. این افراد در طول مسیر هرگز به دشواری راه نمی اندیشند بلکه خود را در آن بالا مجسم می کنند و به این فکر می کنند که از آن بالا همه چیز زیباست. همین شوق ذهنی باعث می شود که آنها به راحتی، دشواری مسیر را بپذیرند و پیش بروند. حال آنکه اگر آنان تمام ذهنشان را معطوف به دشواری مسیر می کردند و مدام به این فکر می کردند که چقدر تا پایان راه باقی است، این رنج که در ذهنشان مجسم می شد، به سرعت آنها را خسته می ساخت.

همین که فکر خود را بر این متمرکز کنید که در پایان امتحانات چه نمرات درخشانی می گیرید و به لذت شکوه آن لحظه فکر کنید، این قدرت را پیدا می کنید که سختیهایی را که از ساعتها مطالعه و درس خواندن متحمل می شوید، به راحتی پشت سر بگذارید.

مدام در ذهن خود موفقیتهای نهایی را مجسم کنید. همچون ورزشکاری که به شوق لذتِ داشتن بدنی ورزیده و جسمی آماده در پایان کار، رنج زود بیدار شدن و سختی تمرینات را متحمل می شود. یادتان باشد همیشه این توجه به لذتهاست که تمرکز و علاقه ایجاد می کند.
اشتباه در برنامه ریزی

همین جا لازم است که به برنامه ریزی غلط و پیگیری نادرست برنامه های درسی اشاره کنیم. برنامه هایی که برای یک روز حجم زیادی از مطالب را در بر می گیرد، عملاً به خاطر همین حجم زیاد، تنفر ایجاد می کند. عده ای، وقتی برنامه ریزی می کنند که مثلاً از فلان کتاب، روزی یک صفحه مطالعه کنند، به جای آن که برنامه همان روز را اجرا کنند، مدام کتاب را ورق می زنند که چه راه زیادی باقی مانده است و همین توجه به دشواری مسیر طولانی بودن راه، شوق و علاقه و تمرکز را در آنها از بین می برد. از اجرای برنامه های روزانه فقط برنامه همان روز را انجام دهید و مطلقاً به این که "چند صفحه مانده" فکر نکنید. اشتباه بیشتر داوطلبان کنکور که باید تمام کتابهای چهار سال دبیرستان را بخوانند این است که پس از مدتی در ذهن خود به طولانی بودن راه فکر می کنند. باید همیشه به خاطر داشته باشید که هر روز فقط برنامه همان روز را اجرا کنید.
تعیین هدف

یکی از عوامل مهم در ایجاد تمرکز حواس و افزایش دقت در هنگام مطالعه، آگاهی از هدف مطالعه است. حتماً پیش از مطالعه برای خود مشخص کنید که هدفتان چیست. گفتن "هدف من یادگیری این فصل است." یا "هدفم این است که نمره خوبی بگیرم." و . . . بسیار نادرست است. چرا که اینها هیچ کدام هدف نیستند. اهداف، وقتی قابل دسترسی اند که مشخص، دقیق، روشن و واضح باشند. شما باید هدفها را از داخل فصلها استخراج کنید. مثلاً بگویید: هدف من این است که بدانم چرا انقلاب مشروطه شکست خورد. هدف من این است که بدانم فرق توندرا و تایگا چیست. هدف من این است که بدانم در آینه های مقعر، افزایش فاصله کانونی چه تغییراتی در تصویر ایجاد می کند. و . . .

همه این اهداف مشخص، جزیی و روشن هستند و به ذهن، برنامه می دهند. اشخاصی که قبل از مطالعه با طرح پرسشهایی برای خود، ذهنشان را مشتاق و جستجوگر می کنند. در تمام لحظات مطالعه به دنبال جواب هستند و این هدفمندی ذهن باعث می شود که به راحتی تمرکز حواس داشته باشید. باید همیشه به خاطر داشته باشید که هر روز فقط برنامه همان روز را دنبال کنید. هنگامی که شما در جستجوی یک هدف هستید، به اهداف دیگر نیز دست پیدا می کنید.

شاید خیلی از شما نگران باشید که اگر با یک هدف مشخص و جزیی پیش بروید، از مطالب دیگر که باید یاد بگیرید، باز بمانید. اما چنین اتفاقی نمی افتد. شما چند سؤال طرح می کنید تا ذهن خود را مشتاق و جستجوگر و متمرکز کنید. اهداف دیگر، خود به خود جذب شما می شود.

هدفدار بودن ذهن، هنگام مطالعه خیلی مهم است. آن قدر که ما می گوییم: یا مطالعه نکنید یا قبل از آن برای ایجاد تمرکز حواس در مطالعه، هدف خود را تعیین کنید.

غلبه بر اضطراب امتحان

اضطراب امتحان نوعی ناآرامی‌و تشویش است که به علت نگرانی و ترس در حین،  قبل و بعد از امتحان تجربه می‌شود.  معمولا همه اضطراب را تجربه می‌کنند ولی برخی از دانشجویان،  در می‌یابند که اضطراب به حدی در یادگیری و امتحانات آنها دخالت می‌کند که نمراتشان را جدا تحت تاثیر قرار می‌دهد

راه های غلبه بر اضطراب امتحان

 در این مورد چه کاری می‌توان انجام داد‌‌؟

خوشبختانه می‌توان تا حد زیادی از دخالت اضطراب در عملکرد جلوگیری نمود.  ابتدا،  مهم است که بدانید،  نباید اضطراب را کاملا حذف کرد و اضطراب موجب آمادگی برای امتحان می‌شود.  شما می‌بایست اضطراب را در حد قابل کنترل کاهش دهید.  آمادگی برای امتحان بیش از نیمی‌از این مبارزه است.  همه کلاسها را شرکت کنید و دریابید چه چیزهایی را باید یاد بگیرید و زمان امتحان چه وقت است.  کارها را به گونه‌ای انجام دهید که مانع از انباشته شدن آنها برای امتحان شوید.  کارایی خود را در عادتهای مربوط به مطالعه بالا ببرید.  با داشتن یک برنامه مطالعه،  از اوقات تلف شده استفاده کنید. 

 در جایی مطالعه کنید که قادر به تمرکز باشید.  علاقه خود را به تکلیف زیاد کنید و توجه تان را بطور کامل معطوف آنها نمایید.  از روش (مرور اجمالی،  سوال کردن،  خواندن،  از بر خواندن، مرور) برای خواندن متون استفاده کنید.  اوراق خلاصه برداری تهیه کنید.  از خود بپرسید،  کدام اطلاعات مهم هستند.  شرکت در گروهها با انگیزه مشابه کمک کننده است.  بسیاری از دانشگاهها مراکزی دارند که می‌توانند به شما در بهبود روش‌های مطالعه و مهارتهای امتحان کمک کنند.  معمولا مشاوره‌های رایگان در اختیار دانشجویان می‌باشد.  بطور کلی می‌توان گفت که دانشجویان منظم و دارای اعتماد به نفس،  که از عادات مطالعه موثری نیز برخوردارند،  عملا نسبت به دیگرانی که نمرات پایین تر می‌گیرند،  زمان کمتری را برای مطالعه مصرف می‌کنند.

راه بدست آوردن اعتماد به نفس

بنابراین چگونه اعتماد به نفس خود را بدست آوریم‌‌؟

با خود صحبت کنید.  تحقیقات نشان می‌دهد که دانشجویان دارای اضطراب امتحان،  هنگامی‌که با خودشان حرف می‌زنند تقریبا همیشه منفی باف هستند و خود را شکست خورده ارزیابی می‌کنند.   برای مثال با خود می‌گویند : همه همکلاسیهای من از من باهوش تر و سریع تر هستند.  من همیشه امتحاناتم را خراب می‌کنم.  اگر امتحانم را خوب ندهم،  رشته ام را عوض می‌کنم.  سوالها گیج و گمراه کننده هستند. 

درباره آنچه به خودتان می‌گویید،  هوشیار باشید. تلاش کنید افکار منفی را درباره خودتان یادداشت کرده و سپس با هر یک از آنها،  با یک عبارت مثبت مبارزه کنید خودتان را مانند یک دوست تشویق کنید. تکرار عبارات مثبت درباره خودتان،  موجب برنامه‌ریزی مجدد ذهن برای موفقیت به جای شکست می‌شود. 

راهکارهای دیگر

-         مجسم کنید که کارتان را بخوبی انجام داده‌اید و به هدف رسیده‌اید. 

-         هدف خود را کسب رتبه بالا قرار دهید.  با گفتن اینکه من رتبه پایینی خواهم گرفت پس چرا اینقدر مطالعه کنم خود را معاف نسازید. 

-         خودتان را با دیگران مقایسه نکنید. 

-         در مورد اینکه چه چیز به خوبی پیش میرود و چه چیز را باید اصلاح کنید،  مهارت پیدا کنید. 

-         با یک برنامه روزانه به جمع آوری داده‌ها بپردازید. 

-         به جای طفره رفتن از مطالعه،  به خودتان بعد از هر مورد مطالعه پاداش دهید. 

-         روش تنش زدایی را به گونه‌ای تمرین کنید که تبدیل به یک پاسخ یادگرفته شده اتوماتیک گردد. 

-         دست‌یابی به یک تمرکز کاملا راحت را هدف خود قرار دهید.  وقتی شما تمرکز دارید،  همه انرژی تان متمرکز کار میشود و آن را با نگران شدن به هدر نمی‌دهید. 

-         از خودتان با تغذیه مناسب و خواب کافی مراقبت کنید. 

-         زمان را برای ورزش منظم تنظیم کرده و این برنامه را اجرا کنید. 

 راهبردهایی برای امتحان

قبل از امتحان :

-         یک روز قبل از امتحان آزمونی را که حتی الامکان شبیه آزمون واقعی است،  انجام دهید. 

-         خلاصه برداری‌های خود را مرور کنید تا درک کلی از مطالب بدست آورید.  این عبارت‌ها را با زبان خودتان بازخوانی کنید. 

-         به اندازه کافی بخوابید و از مصرف مواد کافئین دار که موجب بالا رفتن اضطراب می‌شود،  خودداری کنید. 

-         یادتان باشد که خودتان را تشویق کرده و جلوی پیام‌های انتقادی را بگیرید. 

-         زمانی را برای احساس آمادگی و نیز حضور به موقع در جلسه امتحان قرار دهید.  از هم کلاسی‌های مضطرب که درباره امتحان صحبت می‌کنند،  اجتناب کنید. 

 در امتحانات تستی :

-         تست را بطور کامل نگاه کنید.  دستورالعمل را بخوانید،  روش خود را طراحی کرده و وقت را تنظیم نمایید. 

-         ابتدا به آسانترین سوال پاسخ دهید.  توجه تان را روی تست متمرکز کنید.  وقت و انرژی خود را با نگران شدن و فکر کردن به عواقب خراب کردن امتحان،  با کنجکاوی درباره اینکه دیگران چه می‌کنند،  هدر ندهید. 

-         اگر سوالی را نمی‌دانید آن را علامت بزنید. 

-         به خودتان بگویید،  شاید آن سوال را مطالعه کرده‌اید و وقتی دوباره به آن برگردید،  می‌توانید جواب بدهید. 

-         اگر احساس اضطراب کردید،  از روش‌های تنش زدایی استفاده کنید.  چشمانتان را ببندید.  سه نفس عمیق بکشید و به سراغ تکلیف بروید. 

در امتحانات تشریحی :

-         افکارتان را در یک فهرست مختصر سازماندهی کنید،  به دنبال کلمات کلیدی،  مقایسه کردن،  مقابله کردن،  توصیف کردن و شناسایی کردن بگردید. 

-         با یک خلاصه کوتاه،  یک عنوان یا جمله خاص شروع کنید.  سپس نکات دیگر را بنویسید.  سردرگم نباشید.  به یاد بیاورید که استاد روی چه چیزهایی تاکید داشته است. 

 در امتحانات چند گزینه‌ای :

-         قبل از اینکه به گزینه‌های مختلف نگاه کنید،  به جواب خودتان فکر کنید.  جواب‌های غلط را جدا کنید و حدس‌های آموزشی بزنید.  (مگر مواردی که جریمه سختی برای پاسخ‌های غلط منظور شده باشد. )

-         بعد از اینکه به سوالاتی که می‌دانستید جواب دادید،  به سراغ آنهایی بروید که علامت نزده‌اید.  در هر زمان فقط روی یک سوال فکر کنید. 

-         اگر وقتتان در حال اتمام است،  روی سوالهایی که می‌دانید و یا بیشترین ارزش را دارند،  متمرکز شوید. 

-         همه وقت باقی مانده را به مرور و کامل کردن جوابها بپردازید.  تنها در صورت اطمینان قطعی پاسخ‌ها را تغییر دهید. 

 بعد از امتحان :

-         به خودتان بخاطر تلاشی که کردید پاداش دهید. 

-      با دیگران به سراغ سوالات امتحان نروید.  مهم نیست که چطور امتحان داده‌اید،  وقتی نتیجه   امتحان را گرفتید،  متوجه می‌شوید.   

اقدام نهایی :

-         اگر هنوز هم پس از بکار بستن این پیشنهادات احساس اضطراب می‌کنید،  شاید بهتر باشد که با یک مشاور ملاقات کنید. 

 انتقاد سازنده

-         دیدگاه انسانها نسبت به دنیا و آنچه در اطرافشان می‌گذرد متفاوت است و ملاک‌های ارزشگذاری آنها نسبت به رویدادها و افراد به نوع دیدگاهشان بستگی دارد.  به همین دلیل بدیهی است که در روابط آنها با هم،  اختلاف نظر پیش آمده و نسبت به افکار،  ارزشها و رفتارهای یکدیگر انتقاد می‌کنند.  انتقاد می‌تواند مثبت و سازنده و یا منفی و مخرب باشد و عوامل متفاوتی بر آن موثر است.  باید توجه کرد که نحوه انتقاد کردن در عکس العمل طرف مقابل و میزان پذیرش او تاثیر بسزایی دارد.  توجه به نکات زیر به شما کمک می‌کند تا بتوانید انتقادات خود را به نحو سازنده‌ای ابراز کرده و از آن نتیجه بگیرید :

-         قبل از شروع انتقاد بهتر است فرد را مورد تحسین قرار داده و برخی نکات مثبت او را متذکر شوید.  البته تحسین را با چاپلوسی و تملق نباید اشتباه گرفت،  همیشه می‌توان موضوعی حقیقی را برای ستایش پیدا کرد و آن را با ظرافت بیان نمود.  بدیهی است تعریف نباید غیر واقعی باشد چون در این صورت فرد مقابل متوجه بی اساس بودن کلام ستایشگر خویش خواهد  شد و آن را جدی نخواهد گرفت. 

-         برای اینکه درک صحیحی از موقعیت داشته و انتقادتان به واقعیت نزدیکتر باشد بهتر است خود را منصفانه بجای دیگران بگذارید و از دریچه چشم آنها نگاه و احساس کرده و بعد به داوری بنشینید. 

-         بهتر است زمانی که کار از کار گذشته و دیگر نمی‌توان تغییری در شرایط ایجاد کرد از انتقاد خودداری کنید،  این کار مثل آب در‌هاون کوبیدن بوده و تنها اثر آن خدشه دار شدن روابط است. 

-         تکرار یک انتقاد ثمری نداشته و موجب حساس شدن و عصبانیت فرد مقابل می‌شود.  این کار نه تنها مشکل را حل نخواهد کرد بلکه بر بار عاطفی مساله افزوده و هر بار واکنش در برابر آن را شدیدتر می‌کند. 

-         گاهی شخص در مواجهه با انتقاد احساس می‌کند که طرف مقابل می‌خواهد تلویحاً به او بقبولاند که "من از تو بهترم،  چون تو این عیب را داری" برای پیشگیری از بروز این سوء تفاهم بهتر است عیب خود را در آن مورد به زبان بیاورید و بعد انتقاد کنیم.  مثلاً اگر می‌خواهیم به دوستمان بگوییم" تو همیشه دیر میآیی" بهتر است بگوییم "یکی از عیب‌های من تأخیر و دیر آمدن است،  می‌بینم که شما هم مثل من هستید و اغلب دیر  می‌آیید". 

 - در سخنان طرف مقابل حقیقتی را پیدا کنید و حتی اگر با مجموعه سخنان او موافق نیستید،  او را تایید کنید،  این کار باعث می‌شود او هم احساس پیروزی کرده و با آمادگی  بیشتری پذیرای حرفهای شما باشد. 

-         در زمان انتقاد لازم نیست همه گذشته فرد را مورد سرزنش قرار دهید و یا همه شخصیت او را زیر سوال ببرید،  توجه کنید که فقط بر همان مورد خاص مد نظر خود تاکید کنید و او را مطمئن سازید که انتقاد شما فقط درباره یکی از صفات و یا رفتارهای اوست ونه کل شخصیتش. 

-         بجای فلسفه بافی و سخنرانی‌های پیچیده در مورد نظرات خود،  سعی کنید صادقانه احساسات خود را در زمان مواجهه با رفتار انتقاد آمیز و به طور محترمانه‌ای  بیان کنید و به او نیز اجازه دهید تا احساساتش را ابراز نماید. 

 تمرکز

-  تمرکز،  توانایی هدایت فکر بسوی موضوعی خاص و حفظ توجه بر روی آن است.  باید گفت تمرکز فکر ذاتی نبوده و می‌توان آن را با تمرینهایی بهبود بخشید.  راهکارهای زیر می‌توانند شما را در جهت حفظ تمرکز و کاهش حواس پرتی یاری دهند. 

-         سر و صدای محیط،  شلوغ بودن اتاق و میز مطالعه از عوامل بیرونی اختلال تمرکز می‌باشند.  سعی کنید حتی‌الامکان در محیط آرام و ساکت مطالعه نموده و میز و محل مطالعه خود را تمیز و مرتب کنید. 

 -         گاهی در حین مطالعه یادتان میاید که باید به دوستتان تلفن کنید و یا کار دیگری انجام دهید،  این موضوع باعث کاهش تمرکز شما می‌شود،  یک راه حل برای کاهش اینگونه عوامل درونی اینست که هنگام مطالعه یک دفترچه یادداشت کنار خود بگذارید تا اگر چیزی به ذهنتان رسید و فکرتان را مشغول کرد آن را یادداشت کنید و ذهن خود را از آن موضوع آزاد سازید. 

-         وقتی متوجه می‌شوید که روی موضوع مورد مطالعه تمرکز ندارید و حواستان پرت شده به خودتان بگویید : "اینجا باش!".  توجه خود را به سوی موضوع برگردانید و حتی الامکان این حالت را حفظ کنید.  هر بار که متوجه شدید حواستان متوجه چیزی غیر از موضوع مورد نظر شده این عبارت کوتاه را تکرار و بر روی هدف اصلی متمرکز شوید.  هر چه بر این روش مداومت بیشتری داشته باشید،  احتمالا روزهای بعد کمتر مجبور خواهید شد این عبارت را تکرار کنید. 

-         خود را آموزش دهید که نسبت به محرک‌های بیرونی بی تفاوت باشید.  با خود قرار بگذارید وقتی صدایی از بیرون می‌شنوید،  وقتی تلفن زنگ می‌زند و یا دوستی وارد اتاق می‌شود بی توجه باشید مثل اینکه هیچ کدام از این محرک‌ها در اطرافتان وجود ندارد و تنها راه ارتباط شما با محیط خارج موضوع درسی است. 

گاهی پرهیز از فکر کردن به موضوعاتی خاص غیر ممکن است و بهرحال این موضوعات گوشه‌ای از ذهن شما را اشغال کرده اند.  بهتر است برای تفکرات خود برنامه ریزی کنید و هر روز ساعت خاصی را برای فکر کردن در مورد این قبیل مسایل در نظر بگیرید تا بدون هیچ تشویشی به آنها فکر کنید. باید مراقبت کنید تا ذهنتان مانند کاروانسرایی نباشد که هر فکری به آن وارد و هر موقع خواست از آن خارج شود.

 سعی کنید ذهن خود را تمرین دهید که هر فکر برای ورود اجازه گرفته،  کار خود را در زمان معین انجام دهد و سپس  خارج شود.  این تمرین ابتدا حالتی آگاهانه دارد ولی به مرور بصورت عادتی ذهنی در می‌آید. 

-         یکی از عواملی که باعث بهم خوردن تمرکز می‌شود،  خستگی ذهنی است. 

-         بهتر است مدت زمان طولانی و متوالی مطالعه نکنید و پس از حدود 5/1 ساعت مطالعه،  زمان استراحت کوتاهی در نظر بگیرید.

ایجاد علاقه به مطالعه

مهمترین شرط در تمرکز حواس علاقه است. به یقین می توان گفت که علاقه مهمترین شرط در ایجاد تمرکز حواس است. هر چه علاقه شما به یک موضوع بیشتر باشد، تمرکز فکر شما بر آن بیشتر می شود. متخصصان حافظه و یادگیری، وقتی که شخصی می گوید: "من اصلاً حافظه ندارم"، به او می گویند: "نشانی منزلت را بلدی؟" و چون شخص پاسخ مثبت می دهد، می گویند پس تو حافظه داری. اگر حافظه نداشتی، نباید هیچ نمود و تظاهری را از حافظه نشان می دادی.

شخص اصرار می کند: "من حافظه ندارم."  یا "حافظه ام خیلی بد است." چون درس تاریخی را که دیشب خوانده بودم اصلاً به خاطر نمی آورم. به زندگی همین شخص وارد می شویم. متوجه می شویم که به فوتبال علاقه زیادی دارد. از او سؤالی در این زمینه می کنیم، سؤالاتی خیلی جزئی و حاشیه ای. ملاحظه می کنیم که او حتی شماره پیراهن بازیکنان، باشگاه آنها و نتایج دقیق مسابقات قبلی آنها را به خاطر دارد. چه حافظه توانایی!

وقتی شما به موضوعی علاقه داشته باشید، خود به خود بر آن متمرکز می شوید. بیشتر دقت می کنید و به راحتی به حافظه می سپارید و بعداً هم خیلی راحت به خاطر می آورید. اساساً تمرکز حواس و حافظه لازم و ملزوم یکدیگرند:

علاقه بیشتر>> تمرکز بیشتر >> مرور ذهنی بیشتر >> به خاطر سپاری بهتر >> یاد آوری سریعتر

حلقه اول این زنجیر، علاقه است. تا علاقه نباشد، تمرکز نیست و تا تمرکز نباشد، حافظه نیست و تا حافظه نباشد، یادگیری و موفقیت تحصیلی نیست. پس می بینید که اساس تمام موفقیتهای تحصیلی و همین طور شغلی و موفقیتهای دیگر علاقه است. علاقه، علاقه، علاقه = موفقیت، موفقیت، موفقیت. آنجا که شما علاقه دارید، قطعاً موفقیت و پیشرفت دارید. همین شما که از عدم تمرکز حواس خود گله دارید، وقتی غرق دیدن یک فیلم مهیج یا تماشای مسابقه ورزشی مورد علاقه خود یا بازی شطرنج یا خواندن یک رمان جالب یا حل جدول و یا مطالعه یک درس مورد علاقه خود هستید، نسبت به سر و صدا، حضور دیگران یا عوامل حواس پرتی دیگری که در محیط اطرافتان هست، هیچ واکنشی نشان نمی دهید یعنی: تمرکزی عالی دارید.

وقتی شما به موضوعی علاقه دارید، دوست دارید درباره آن بیشتر بدانید و میل به فراگیری بیشتر باعث می شود که تمرکز بهتری داشته باشید. از طرفی هرچه بیشتر فرابگیرید و بیشتر بدانید، علاقه شما به مطلب هم بیشتر می شود و باز علاقه بیشتر، میل فراگیری بیشتر و . . .

اما ما باید درسهای زیادی را مطالعه کنیم و در این مطالعه تمرکز حواس داشته باشیم تا بتوانیم یاد بگیریم و به خاطر بسپاریم و به موفقیت تحصیلی دست یابیم. طبیعتاً خیلی از این درسها مورد علاقه ما نیستند. با آنها چه کار کنیم؟ مسلماً نمی توانیم مطالعه این درسها را کنار بگذاریم و فقط درسهای مورد علاقه را بخوانیم. تنها راه حل این است

باید به طریقی خودمان را به آن درسها علاقمند کنیم.

چگونگی درس خواندن

چگونه درس بخوانیم؟ این سؤالی است که اکنون مسلماً در ذهن شما ایجاد شده است. شما که مجبورید درسهایی را بخوانید که هیچ علاقه ای به آنها ندارید و واقعاً نمی دانید که با این بی علاقگی و در نتیجه عدم تمرکز و در نتیجه عدم یادگیری در آن درس چه کنید. یکی به مثلثات علاقه ندارد، یکی به شیمی، یکی به فلسفه، یکی به زمین شناسی، یکی به تاریخ و . . .

به هرحال هر کس ممکن است از یک یا چند درس اصلاً خوشش نیاید اما در عین حال که این بی علاقگی را حس می کند، ضرورت ایجاد علاقه را هم احساس می نماید. ما هم اکنون زمینه های بسیار مؤثری را برای ایجاد علاقه به شما معرفی می کنیم.

اطلاعات اولیه

شاید مهمترین راه ایجاد علاقه، کسب اطلاعات اولیه درباره موضوع مورد نظر باشد. هرچه اطلاعات اولیه شما و دانسته های ابتدایی شما در زمینه موضوع بیشتر باشد، خود به خود کشش بیشتری برای فراگیری آن خواهید داشت و در نتیجه تمرکز بهتری در آن به دست خواهید آورد. این همان ارتباط علاقه و میل به فراگیری است. هرچه می توانید اطلاعات اولیه، سطحی و ابتدایی خود را افزایش دهید، چه این اطلاعات در راستای موضوع باشند چه نباشند. مثلاً قبل از این که فرمولهای پیچیده اصطکاک را در فیزیک مطالعه کنید، به کسب اطلاعات اولیه و ابتدایی در مورد اصطکاک بپردازید. اگرچه این مطالب پیش پا افتاده، سطحی و بی ارتباط با آن فرمولهای پیچیده به نظر می رسند، شوق و شور و میل به فراگیری و در نتیجه تمرکز حواس شما را افزایش خواهند داد.

اهمیت مطالعه قبل از ورود به کلاس

شاید تا به حال به این موضوع فکر کرده باشید که چرا دبیران و استادان شما این قدر به شما تأکید می کنند که قبل از ورود به کلاس جلسه بعد، مطالعه سطحی و اجمالی و سریعی بر آنچه که قرار است تدریس شود داشته باشید. علت این تأکید عمدتاً به خاطر همین تأثیر اطلاعات اولیه است. با دانستن اطلاعات اولیه شوق یادگیری و جذبتان فراوانتر می گردد و به یقین درک بهتری از صحبتهای مدرس خواهید داشت و ما در جای خود شیوه مطالعه قبل از ورود به کلاس را توضیح خواهیم داد.

اطلاعات اولیه چگونه باشند؟

برای کسب اطلاعات اولیه باید دقت کنید که این اطلاعات، ویژگیهای لازم را داشته باشند. هر مطلبی نمی تواند اطلاعات اولیه تلقی شود. باید به خاطر داشته باشیم که اطلاعات اولیه قرار است در ما شوق و رغبت ایجاد کند و ما را به فراگیری بیشتر وا دارد. بنابراین:

اول- اطلاعات اولیه باید ساده باشند: اگر شما در ابتدا مطالب دشوار و سخت را جستجو کنید و به آنها توجه نشان دهید، به جای علاقمند شدن به آنها از آنها بیزار می شوید. اطلاعات اولیه باید ساده ترین مطالب باشند دوم- اطلاعات اولیه باید کم حجم باشند: با وجود آن که اطلاعات اولیه فراوانی در اختیار شماست که همگی ساده اند، توصیه می کنیم همه این اطلاعات را یکجا نگیرید. یکی از این اصول مهم یادگیری و قوانین پایه ای حافظه این است: یادگیری تدریجی است. اگر شما 9 ساعت مطالعه مستمر جغرافی را در یک روز، به یک ساعت مطالعه در 9 روز تبدیل کنید و یا 18 ساعت مطالعه پشت سر هم در یک روز را به 6 ساعت مطالعه در 3 روز تقسیم کنید، بازده فوق العاده بیشتری خواهیم داشت.

یادگیری یکباره مطالب، شما را زود خسته و بی علاقه می کند. درست مثل آنکه بخواهید در یک روز از صبح تا شب نیمی از کتاب را یاد بگیرید. اصل یادگیری تدریجی هم بر ایجاد علاقه استوار است. اطلاعات فراوان و یکباره به راحتی شما را از آن درس بیزار می کند.

سوم- اطلاعات اولیه باید به شکل خوبی ارائه شوند: انتقال اطلاعات اولیه به شکلی خوب و دوست داشتنی، شوق شما را برای فراگیری بیشتر افزایش می دهد. معلمی را به خاطر بیاورید که مطالب را به زبانی خوشایند به شما انتقال می دهد و در همان روز اول آن چنان تأثیری بر شما می گذارد که شیفته آن درس می شوید.

وقتی که مشغول درس خواندن هستید، مانند همان معلم مطالب را به شکلی زیبا برای خود بیان کنید و در خود علاقه ایجاد کنید، به خصوص در درسهایی که معلم شما مطلب را خشک و جدی و نه چندان خوب ارائه می دهد، حتماً از این روش استفاده کنید.

چهارم - به کاربردهای علمی مطالب علمی فکر کنید: کاربرد مطالب را در زندگی خود جستجو کنید. قبل از آنکه به سراغ مفاهیم پیچیده اصطکاک بروید به این فکر کنید که زمستانها در هوای سرد، دستان خود را به هم می مالید تا گرم شوند.

قبل از این که مثلثات بخوانید به این فکر کنید که تمام حرکات کشتیها روی اقیانوسها براساس نسبتهای مثلثاتی انجام می گیرد.

قبل از این که شیمی بخوانید و واکنشهای گرمازا و گرماگیر را بفهمید به این فکر کنید که اخیراً چیزی به نام بخاری جیبی اختراع شده است که در زمستان دستهای شما را گرم می کند.

قبل از این که گرانیگاه و مرکز ثقل چیزی را بیاموزید به این فکر کنید که چرا برج معروف پیزا در ایتالیا با همه کج بودنش فرو نمی ریزد.

بعضی از مطالب هم کاربردهای رفتاری دارند. می توانیم قبل از خواندن این مطالب به این کاربردهایشان فکر کنیم. مثلاً قبل از این که بخوانیم هفته دوم تا ششم زندگی جنینی مقارن با رشد سریع و اختصاصی شدن اندامها و دستگاههای مختلف بدن است، به این فکر کنیم که سلامت یا عدم سلامت جسمی و روانی مادر و پدر چه تأثیری بر جنین دارد و رفتارهای مناسب والدین و اطرافیان آنها چگونه می تواند باشد.

قبل از این که قانون عمل و عکس العمل نیوتن را بخوانیم به این فکر کنیم که تمام اعمال ما به خود ما باز می گردد و به قول شاعر: "هر چه کنی به خود کنی، گر همه نیک و بد کنی"

قبل از این که قاعده "هوند" را در شیمی بخوانیم که "تا زمانی که هر یک از اربیتالهای هم انرژی، یک الکترون نگرفته باشد، هیچ یک از آنها پر نمی شود." به این فکر کنیم که ما هم باید در همه زمینه های زندگی به موازات هم پیشرفت کنیم.

رشد یک جانبه، قانون طبیعت نیست و به همین خاطر محکوم به شکست است. اگر در زمینه مالی داریم پیشرفت می کنیم در زمینه معنوی هم باید با همان سرعت به پیش رویم. اگر دزمینه علمی موفقیت کسب می کنیم، باید در عمل هم به همان اندازه موفق شویم. اگر در زندگی اجتماعی به مراتب عالی می رسیم باید در زندگی خصوصی هم خود را به همین مراتب عالی برسانیم. خلاصه آن که اجازه ندهیم که در یک زمینه از سایر زمینه ها عقب بیفتیم. درست مانند اتمهای عناصر که قاعده هوند را اجرا می کنند و قبل از این که . . .

اگر کمی دقیق شوید، اگر ذهن خود را به کار بیندازید به کاربرد تمامی علوم را در لحظه لحظه زندگی خود حس می کنید و هر چه بیشتر آمیختگی دانش را با زندگی روزمره درک می کنید علاقمند تر و مشتاقتر می شوید. در واقع دانش بشری از دقت کردن به زندگی ساده و طبیعی پدیدار شده است.

اطلاعات اولیه مهمترین قانون علاقمندی است. نقش اطلاعات اولیه بسیار مهم است. وقتی که شما به تماشای مسابقه فوتبال مشغولید، همین که اطلاعات مختصری درباره آن داشته باشید، مثلاً بدانید که خطا در محوطه 18 قدم، ضربه پنالتی را برای تیم مقابل به ارمغان می آورد، با تمرکز و علاقه بیشتری آن را دنبال می کنید تا مادربزرگ شما که هیچ اطلاعات اولیه ای از فوتبال ندارد و تصور می کند 22 نفر بیهوده به دنبال توپ از این سو به آن سو می دوند و مسلماً مادربزرگ شما خیلی متعجب می شود وقتی شما را آنچنان غرق تماشا می بیند که از اطراف خود کاملاً بی خبر شده اید.

یا وقتی که شما بدانید حرکت هر کدام از مهره های شطرنج چگونه است و همین اطلاعات مختصر و اولیه را داشته باشید، خیلی مشتاقتر و با دقت و تمرکز بیشتر به بازی شطرنج نگاه می کنید تا کسی که از شطرنج هیچ چیز نمی داند.

امروزه از این روش برای علاقمند کردن افراد به موضوعات خاص استفاده می کنند. مثلاً تصویر یک فوتبالیست مشهور را داخل یک بسته آدامس می گذارند و زیر آن نامش را می نویسند. هیچ وقت سوابق ورزشی او را به صورت اطلاعیه در بسته آدامس نمی نویسند چرا که همین قدر کافی است. به همین سادگی و کم حجمی و به خوشایندی شیرینی آدامس کافی است که شما خود به خود به هر خبری درباره او متمرکز و حساس شوید.

دقت کنید که درسی که الان قرار است بخوانید چه اطلاعات اولیه ای از دروس قبل، از گفته های معلم و یا از صحبت دوستان یا از زندگی خودتان به شما کمک می کند. در جستجوی یافتن این اطلاعات اولیه و آموختن درس، با کمک آنها باشید. این همان چیزی است که می گویند در هر درس باید از پایه قوی باشید و دروس را اساسی بخوانید. قبل از فراگیری انتگرال، مفهوم مشتق را دریابید. قبل از آن که حد را بفهمید نمی توانید مشتق را درک کنید و برای فهمیدن حد باید تصاعد هندسی را خوب یاد گرفته باشید کهپایه آن هم تصاعد عددی است.

بعضیها وقتی می خواهند درسی را بخوانند یکباره به سراغ فرمولها و حفظ آنها می روند و چون کاری را از وسط شروع کرده اند و اطلاعات زمینه ای و پایه ای ندارند، درست و حسابی یاد نمی گیرند و بی علاقه و کلافه می شوند. درست مثل این که شما بخواهید یک سریال تلویزیونی را از قسمت دهم تماشا کنید. تا کسی به شما توضیحاتی در مورد نُه قسمت گذشته ندهد (و البته ساده و مختصر و کم حجم) شما علاقه چندانی به تماشای قسمت دهم پیدا نمی کنید.

پیش از مطالعه هر درس از این به بعد، دانسته های قبلی خود را مرور کنید. اطلاعات اولیه بگیرید و خود را علاقمند و متمرکز سازید

شیوه‌های رویارویی با اضطراب

اصطلاح اضطراب امتحان به واکنش هیجانی گفته می‌شود که بعضی از دانش آموزان به امتحان نشان می‌دهند. ترس از امتحان ترس غیر منطقی نیست، اگر چه چگونگی علمکرد شما در امتحانات می‌تواند عملکرد حرفه ای شما را شکل دهد، با اینحال ترس افراطی در مورد امتحان می‌تواند توانایی شما را جهت موفقیت تحت تاثیر قرار دهد. مولفه‌های اضطراب امتحان کدامند؟

اضطراب در امتحان

سه مولفه در مورد اضطراب امتحان وجود دارد:

-1 مولفه فیزیکی، که واکنش‌های بدنی خاصی را نسبت به اضطراب حاد نشان می‌دهد که عبارتند از: احساس غده در معده، دستهای مرطوب و لرزان، تهوع یا احساس پروانه در شکم احساس درد در شانه‌ها و پشت گردن، خشکی دهان، تپش قلب و....

-2 مولفه هیجانی، که ترس یا هراس را در بر می‌‌گیرد.

-3 مولفه‌های ذهنی یا شناختی اضطراب امتحان، شامل مشکل در توجه و حافظه ذهنم از مطلبی به مطلب دیگر می‌پرد و نگرانی من شکست می‌خورم می‌شود.

 تکنیک 1:

 شل کردن بدن و آرامش عضلانی یک رویکرد در ارتباط با اضطراب امتحان، یادگیری چگونگی آرامش عضلانی است. یادگیری نحوه آرام بخشی عضلانی به افراد کمک می‌کنند که بتوانند اضطراب خود را در هنگام امتحان کنترل کنند. یادگیری آرامش عضلانی بسیار ساده است، اما اگر می‌خواهید آن‌را در امتحان بعدی تان بکار ببرید شما می‌بایست آن‌را قبلاً تمرین کنید.

قدمهای آرام بخشی عضلانی در مقابله با اضطراب

 قدمهای آرام بخشی عضلانی به قرار زیر است:

-1 اگر راحت هستید بر روی صندلی تان لم بدهید.

 -2 عضلاتتان( به ترتیب از پا شروع کنید و به گردن و صورت ختم کنید) را سفت کنید بعد از آن آرام آرام شل کنید.

 -3 به آرامی‌نفس عمیق بکشید.

 -4 بر هوایی که تنفس می‌کنید و بعد آنرا خارج می‌کنید تمرکز کنید.

 -5 هر بار که نفس خود را بیرون می‌دهید به خود بگوییدآرام باش

تکنیک 2: کنترل اضطراب خود رویکرد دیگر بر کاهش افکار منفی و نگران کننده‌ای که اضطراب را بر می‌انگیزد توجه می‌کند. دانش آموزانی که در مورد امتحان مضطرب هستند، علاقه دارند که افکار منفی و اغراق آمیزی را به خودشان القاء کنند. تحقیقات نشان می‌دهد که اگر افکار مثبت و سازنده را جایگزین این افکار منفی کنیم، اضطراب امتحان کاهش پیدا می‌کند. به این منظور شما در ابتدا می‌بایست از افکارتان آگاهی پیدا کنید و سپس افکار سازنده ای را جایگزین این افکار منفی کنید، بعنوان مثال به جای اینکه بگویید: من امتحان را بد انجام می‌دهم و شکست می‌خورم بگویید بله، این امتحان مشکلی است، من تمامی‌توانم را برای امتحان به بهترین وجه به کار می‌گیرم. اگر هم نمره پایینی کسب کنم، سعی می‌کنم نقاط ضعفم را برطرف کنم و بار دیگر موفق شوم. آیا مشکل در نحوه مطالعه یا اضطراب امتحان است؟ ممکن است دانش آموزان اضطراب امتحان را عامل عملکرد ضعیف خود در امتحان قلمداد کنند. این عمکرد ضعیف ممکن است ناشی از فقدان آمادگی برای یک امتحان باشد( که سبب اضطراب می‌شود) تا ناشی از یک اضطراب امتحان کلاسیک. بنابراین مطمئن شوید که برای امتحان به خوبی آماده شده اید.

 قبل از امتحان

 -1 با مربی و همکلاسی‌‌های خودتان در مورد محتوای آزمون بحث کنید.

-2 مهارتهای مطالعه مؤثر و آمادگی برای امتحان را در خودتان توسعه دهید.

 -3 سعی کنید در طول روزهای متوالی مطالعه کنید نه اینکه مطالب را روی هم انباشته کنید.

 -4 مرور فشرده می‌بایست چند روز قبل از امتحان انجام شود.

 -5 متون، یادداشت‌ها و مسایل و مشکلات خود در درس مربوطه را مرور کنید.

 -6 از فلش کارت‌ها (کارت‌های 5*3 سانت) برای یادگیری مطالب خاص یا فرمولها استفاده کنید.

 -7 تحت شرایطی شبیه امتحان از خودتان یک آزمون بگیرید. 8- برنامه‌های تمرینات منظم را ادامه دهید.

در حین امتحان

-1دستور العمل‌ها را بدقت بخوانید.

 -2زمان امتحان را براساس میزان زمان پاسخدهی به سؤالات بودجه بندی کنید

3وضعیت بدنی خود را در حالت آرامش عضلانی قرار دهید.

 -4اگر به سؤال سختی برخورد کردید سعی کنید آنرا رها کرده و به سؤال بعدی جواب دهید و در پایان به سؤالات سخت برگردید.

 -5اگر آزمونی را انجام می‌‌دهید و در پاسخ دادن به سؤالات بطور کلی گیج شده اید یک سؤال آسان را انتخاب کنید و با آن شروع کنید، پاسخ به این سؤال ممکن است جوابهای سؤالات دیگر را به خاطر شما بیاورد.

 -6وقتی که دانش آموز دیگر ورقه امتحان خود را تحویل می‌دهد، نهراسید هیچ پاداشی برای اولین نفر بودن وجود ندارد.

تعداد زیادی از همکاران با آنکه مطالعه خوب و کافی دارند ، لیکن در هنگام آزمون بدلیل اضطراب نتیجه دلخواه را بدست نمی آورند.

چرا در موقعیت امتحان یا آزمون یا شرایط خاص ، که برای شمابسیارمهم وحیاتی است دچار اضطراب می شوید؟

آیا راه کنترل یا غلبه براضطراب را می شناسید؟

عصر ما را عصر اضطراب نام داده اند. زیرا در تمام شئون زندگی آثار اضطراب را می توان دید . با توجه به این که تعاریف ، تقسیم بندی و راه های کنترل و درمان متعدد وجود دارد ، به برخی ازآن ها درزیر اشاره می کنیم :

تعاریف :

حالت عاطفی نامطبوع که با تغییرات سایکو فیزیولوژیک در پاسخ به یک تعارض درونی همراه است.

 یک ترس درونی شده.

واکنش ناآگاهانه دربرابر تمایلات سرکوب شده واضطراب نتیجه طرزتفکر غیرمنطقی است. میزان اضطراب را متناسب با میزان بی اعتباری پیش بینی های فردی دانسته اند .

اضطراب امتحان با عوامل شخصیتی ، اجتماعی خانوادگی ، فرهنگی وآموزشگاهی رابطه دارد و در عملکرد تاثیرگذار است و آن را ?ترس ودلهره و نگرانی که افراد درمواجهه باموقعیتی به نام امتحان با آن روبرو می شوند ? تعریف کرده اند.

معمولا کسانی  دارای اضطراب امتحان هستند که :

هنگام مطالعه دروس امتحانی مضطربند

۲- به هنگام حضور درامتحان دچار فراموشی می شوند.

۳- درباره نحوه امتحان ونتایج آن از مدت ها قبل نگرانند.

۴- علایم جسمانی نظیر تپش قلب، عرق کردن ،تنفس عضلانی و…. دارند .

۵- هنگام امتحان دادن ، تمرکز حواس ندارند وقادر به تنظیم آموخته ها نیستند.

عوامل موثر در اضطراب امتحان

۱-  تصویرغیر واقع بینانه ازخود : انسان خود راحقیرمی بیند وازشخصیت واقعی اش درحال فراراست وازسوی دیگر اضطراب این امر را تقویت می کند .

تصور غیرواقعی ازخود هم دلیل و هم منشااضطراب است .

۲- مسائل گذشته و پیشامدهای آینده : رها کردن وضعیت فعلی ومعطوف داشتن فکر به مسائل گذشته ویا آینده

۳- عوامل عاطفی وفیزیکی قبل وحین امتحان : مکانیسم های روانی هیجان درقبل وحین امتحان بر یاد آوری وحافظه تاثیر دارد. اضطراب امتحان درسطح بالا همواره درفعالیت وکارآیی مزاحمت ایجاد می کند واضطراب درسطح متوسط مقداری انگیزه ایجاد می کند.

۴- عوامل شخصیتی : اضطراب عمومی ، عزت نفس پایین، اسناد درونی ، شکست ها

۵- عوامل خانوادگی : الگوهای خشک وغیرقابل انعطاف پرورش انتظارات بیش ازحد ، تنبیه وسرزنش ،عدم تشویق ، وضعیت اقتصادی ، اجتماعی پایین

۶- عوامل آموزشگاهی : محیط و موقعیت امتحان ، محدویت زمان ، عدم مطالعه صحیح وکافی ، عوامل مزاحم (نور ،صدا مراقبین و……..)

۷- عدم آمادگی : هوش ، انگیزه موفقیت ، درماندگی آموخته شده..

خود را با دیگران مقایسه نکنید.

دلایل موفقیت دیگران را بررسی کنید.

درطول سال با انتخاب صحیح هدف وبرنامه متناسب با توان خود، تلاش را با توکل به خدا و امیدواری شروع کنید.

علایم اختلالات اضطرابی :

علایم شناختی : مشکلات حسی ادراکی ، مشکلات تمرکز وحواس پرتی ،اشکالات مفهومی ( تعریف شناختی )

۲- علایم عاطفی : بی حوصلگی ، نارآمی ، ترس.

۳- علایم رفتاری : بازداری ، اجتناب، اشکال کلامی، ناهماهنگی

۴- علایم فیزلوژیکی : علایم قلبی – عروقی ( افزایش ویاکاهش فشار خون و ضعف ) اشکالات تنفسی ( احساس خفگی ) علایم عصبی – عضلانی ( اسپاسم ) معده ای – روده ای ( درد شکم وتهوع) علایم پوستی ( تعریق – برافروختگی چهره و..)

روش های کاهش اضطراب امتحان :

با توجه به تاثیر مخربی که اضطراب امتحان درنظام آموزشی به جا می گذارد ، لزوم کمک رسانی درجهت پیشبرد اهداف بهداشت روانی به منظور جلوگیری ازافت تحصیلی احساس می شود.

۱- درمان دارویی.

۲- درمان شناختی : بیان خود، ابراز خود ، آگاهی ازافکار پریشان ومولد اضطراب.

۳- درمان منطقی – هیجانی : بازسازی اعتقادات و باورهای غیر منطقی افراد که پایه اختلال هیجانی و رفتار علیه خود می باشد.

۴- حساسیت زدایی منظم.

۵- کسب مهارت های مطالعه.

۶- استفاده ازروش های تن –آرامی ( رفتاردرمانیrelaxation)

رهنمودها :

- درطول سال با انتخاب صحیح هدف و برنامه متناسب باتوان خود تلاش را با توکل به خدا وامیدواری شروع کنید.

- دربرنامه ریزی به استعداد و میزان تلاش خود توجه کنید .

-  هدف خود راواقع بینانه انتخاب کنید.

- به روش های صحیح مطالعه توجه کنید

به طول مدت تمرکز خود توجه کنید . مراحل تقویت حافظه وبه یاد آوردن بهتر مطالب را یاد بگیرید.نقاط ضعف رابیابید وازکمک های تحصیلی ، آموزش استفاده مطلوب ببرید.

- خود را با دیگران مقایسه نکنید .

- اشتغال بیش از حد فکر به قبول شدن و نشدن وقت وانرژی روانی شما راکاهش می دهد

- چنانکه سال های قبل ، کنکور داده وموفق نشده اید ، به جای مرور شکست سال های قبل به دلایل شکست توجه کنید. رشته امتحانی محل و موقعیت امتحان ، موقعیت عاطفی ، هیجانی خود وخانواده ، نحوه برنامه ریزی و مطالعه …. را ارزیابی کنید.

- ازتعمیم دادن نادرست اجتناب بورزید .

- به ضمیر ناخودآگاه خود ، دستور و برنامه ? موفقیت ? بدهید وشکست رابرای خود برنامه ریزی نکنید .

- دلایل موفقیت دیگران را بررسی کنید.

- به خود بگویید : ? چرا به مسئله پذیرفته شدن در کنکور این قدر فکر می کنم ؟ ? و راه حل های دیگر برای موفقیت در سایر سطوح را بررسی کنید .

- به تغذیه استراحت کافی و سلامت جسمانی خود توجه کنید .

- میزان تلاش ، آمادگی و آرامش خود را واقع بینانه بررسی کنید.

- به میزان مطالعات دیگران توجه نکنید . تفاوت های فردی مطرح هستند.

رهنمودهایی برای کنکوری که پیش رودارید :

۱- روز قبل ازامتحان ، ازمطالعه ومرور دروس خودداری کنید . مرور روز قبل ، اضطراب آور است .

۲- مکان امتحان را از نزدیک ببینید .

۳- چنانچه تجربه قبلی ازکنکور دارید ، محل وشرایط قبلی رابررسی کنید.

۴- موقعیت مشابه را درذهن تصورکنید وسعی کنید با روش آرامش عضلانی خود را آرام کنید.

۵- اگر اضطراب شما بیش ازحد است ونیاز به حمایت های دارویی دارید ، اقدام کنید.

۶- روز قبل ازامتحان مواد انرژی بخش مانند شیر، خرما و… استفاده کنید.

۷- بدانید شما که تلاشتان را انجام داده اید، نتیجه مطلوب عایدتان می گردد .

۸- خود را در حالی که راحت نشسته اید و به سوالات پاسخ می دهید ، تصور کنید واحساس خود را پس ازاینکه موفق شده اید ،ببینید .

۹- به خود آرامش دهید و مثبت بیندیشید ، با نام خدا جلسه راشروع کنید و به او توکل کنید.

۱۰- قبل ازشروع جلسه ، ازپرسش وپاسخ درسی به هرشکل خودداری کنید.

هنگام پاسخگویی ، فقط به پاسخ دادن توجه کنید، توجه خود را به شرایط محیطی کاهش دهید .

محدثه قربانی

ین مبادله ها درحوزه ناخودآگاه ما صورت می گیرد، بعضی از این پیامها وارد حوزه آگاهی ما می شوند و ذهن ما را از موضوع مطالعه منحرف می کنند. گفتیم که برای دستیابی به تمرکز حواس عالی، باید آن را درست تعریف کرد. برای تعریف درست هم ابتدا باید حواس پرتی را به عنوان یک واقعیت انکار نشدنی بپذیریم و بعد بگوییم: تمرکزحواس یعنی "عوامل حواس پرتی را به حداقل رساندن". با تمرینهایی که جلوتر شرح خواهیم داد، شما می توانید عوامل حواس پرتی خود را کمتر و در نتیجه تمرکز حواس خود را بیشتر کنید. تمرکز حواس نسبی است.

فناوری ...

فناوری

فناوری (تکنولوژی) شیوه و شگرد ساخت و کاربرد ابزار، دستگاه‌ها، ماده‌ها و فرایندهایی است که گره گشای دشواری‌های انسان است. فناوری یک فعالیت انسانی است و از همین رو، هم از دانش و هم از مهندسی دیرینه تر است.

بر این پایه واژه فناوری اغلب به نوآوری‌ها و نوابزارهایی اشاره دارد که از اصول و فرایندهای تازه یافتهٔ دانشی بهره می‌گیرند. از این رو مقولهٔ فناوری ممکن است در بدو مواجهه عجیب و محیر العقول جلوه کند. لیکن چنین نیست. حتی نوآوری‌های بسیار کهن مانند چرخ هم نمونه‌هایی از فناوری بوده و به شمار می‌روند.

فناوری همان تسلط و تبحر انجام کار است، فناوری توانایی انجام کار در تمامی سطوح و زمینه‌ها است. یعنی طراحی، ساخت، استفاده، تعمیر و نگهداری و تحقیق و توسعه و غیره می‌باشد.

امروزه بسیاری از فناوری‌ها در نتیجه پژوهش به دست می‌آیند و پژوهشگاه‌های فناوری زیادی در سراسر جهان بر پا شده‌است. تکنولوژی به معنای اصلی حداکثر استفاده از کمترین امکانات موجود می‌باشد.

فناوری یعنی تکنولوژی، که از دو لغت یونانی techne و logia تشکیل شده‌است که اولی به معنی هنر و دومی به معنی علم و دانش است.

تکنولوژی یا فناوری به معنای کاربرد منظم معلومات علمی و دیگر آگاهی‌های نظام یافته برای انجام وظایف عملی است. به بیان ساده تر، تکنولوژی کاربرد عملی دانش و ابزاری برای کمک به تلاش انسان است و تأثیر بسزایی بر توسعه جوامع بشری دارد.

دانش

(دانش (معرفت - Knowledge عبارت است از مجموعه دانستنی‌هایی که بشر برای زندگی خود از آنها بهره می‌گیرد. در زمان‌های قدیم دانش بشر محدود بود و گاهی حتی یک نفر می‌توانست بیشتر دانش بشری را در حافظه خود جای دهد. اما به تدریج با رشد معلومات، دانستنی‌های بشر طبقه بندی شدند و حوزه‌های مختلف و تخصصی دانش شکل گرفت.

معنای لغوی

از لحاظ لغوی باید بین دانش و علم (Science) تفاوت قائل شد از نظر رابطه منطقی می‌توان گفت که دانش معادل Knowledge در فلسفه و شناخت‌شناسی حوزهٔ زبان انگلیسی) مجموعهٔ جامع‌تر و کلّی‌تری نسبت به علم (فقط معادل Science) بوده و علم می‌تواند به نحوی زیر مجموعهٔ دانش به عنوان تمامی آگاهی‌های انسانی تلقی شود

در حوزهٔ زبان فارسی، دانش (Knowledge) یا علم (باز هم Knowledge) دربرگیرندهٔ تمامی گونه‌ها و حوزه‌های شناخت و آگاهی در عام‌ترین معنای خویش‌ست.

در یک نگاه کلّی می‌توان گونه‌ها و حوزه‌های دانش بشری را به سه حوزهٔ کلی تقسیم نمود: ۱- هنر، ۲- فلسفه، و ۳- علم. برای آشنایی با هر حوزه از دانش بشری فراگیری مفاهیم، مبانی و نظریه‌های رایج در آن حوزه از دانش ضروری است.

زوجیّت دانش

چنان‌چه دانش را دارای طبیعتی زوج و دوگونه در نظر بگیریم، هر دانشی هم از نوع سخت است یعنی دانش قابل تعریف و نمایش و هم از نوع نرم (یعنی گونه غیر قابل ساختاردهی، بیان، و نمایش). تنها میزان و درجهٔ این اختلاط دوگونه‌است که در دانش‌های گوناگون با هم تفاوت پیدا می‌کند.

داده‌ها - اطلاعات - دانش

مفاهیم سه گانهٔ داده‌ها، اطلاعات، و دانش، و نیز نسبت‌ها و روابط آن سه با یکدیگر با ابهام و عدم شفافیت زیادی برای افراد گوناگون همراه است.

داده‌ها

نسبت به اطلاعات، و دانش، داده‌ها در بالاترین تراز تجرید قرار دارند. این بدان معناست که واژه داده‌ها بسیار کلی ست و هر چیزی را شامل میشود که داشته باشیم. برای داده‌ها بودن و داده‌ها خطاب شدن صفات^[۱] یا خصوصیات^[۲] زیادی لازم نیست.

مثال برای داده‌ها: شن، ماسه، ریگ، و خاک مخلوط با هم که از محل طبیعی آن برداشته شده، و با کامیون به ایستگاه شستشو و تفکیک حمل می‌شود.

اطلاعات

جهت تبدیل داده‌ها به اطلاعات باید تغییرات، پردازش‌ها، و یا اصلاحاتی روی آن‌ها صورت داده شود.

مثال برای اطلاعات: شن، ماسه، سیمان، تیرآهن، میل‌گرد (آرماتور)، لوله، رنگ، و گچ که به محل اجراء پروژه ساختمانی حمل گردیده و در محل‌های جدا جدا به طور موقت انبار و نگهداری می‌شود.

دانش

عبور و گذار از اطلاعات به دانش، محتاج اعمال تغییراتی از نوع آفرینش و خلق، ایجاد زندگی و منظورداری، و در کنار یکدیگر نهادن هدفدار قطعات پراکندهٔ اطلاعات می‌باشد.

مثال برای دانش: خانه، بیمارستان، و یا کودکستانی که با اهداف، جهت گیری‌ها، و منظورهای ویژه و آگاهانه‌ای ساخته شده و مهیای انجام و ارائه همان وظایف می‌شود.

نمایش دانش

یکی از اصول بنیادین در زمینهٔ وسیع و همه‌جا‌گیر هوش مصنوعی را نمایش دانش تشکیل می‌دهد. با پیدایش و تولد اینترنت در آخرین سال‌های سدهٔ بیستم میلادی و اولین سال‌های قرن جدید، نمایش دانش هم زندگی و حیاتی تازه یافته است، و در مقیاسی وسیع در میدان‌ها و عرصه‌های علمی و فنی نوینی حضور و لزوم پیدا کرده است.

فلسفه 

فلسفه مطالعهٔ مسائل کلی و اساسی پیرامون موضوعاتی چون وجود، آگاهی، حقیقت، عدالت، زیبایی، اعتبار، ذهن و زبان است. وجه افتراق فلسفه با راههای دیگر پرداختن به این پرسش‌ها (راههایی نظیر عرفان و اسطوره) رویکرد نقّادانه و معمولاً سامانمند فلسفه و تکیه‌اش بر استدلال‌های عقلانی‌است 

واژهٔ فلسفه

واژه فلسفه از واژهٔ یونانی Philosophia برگرفته شده است که به معنای خرد دوستی است و در زبان عربی و فارسی رایج‌ گشته است. این واژهٔ یونانی از دو بخش تشکیل شده است: -Philo به معنی دوستداری و sophia- به معنی دانایی.

اولین کسی که این واژه را به کار برد، فیثاغورس بود. زمانی از او پرسیدند که: «آیا تو فرد دانایی هستی؟» وی پاسخ داد:«نه، اما دوستدار دانایی (Philosopher) هستم.»

بنابراین فلسفه از نخستین روز پیدایش به معنی دوستی ورزیدن به دانایی، تفکر و فرزانگی بوده.

جناب ملاصدرا در کتاب اسفار اربعه در تعریف فلسفه می فرماید فلسفه شبیه شدن به خداست به اندازه طاقت بشریفلسفه را می‌توان در یک واژه مختصر نمود و آن «چرا» است. برای امتحان شروع کنید و به ابتدای هر چه که به ذهنتان میرسد یک «چرا» اضافه نمائید. خیلی زود و به راحتی به معجزه این سه حرفی کوچک پی خواهید برد! و آغاز تفکر را لمس خواهید نمود. اصولاً فلاسفه کسانی هستند که جهان را از پس این علامت «؟» می‌نگرند. در واقع فلسفه دستگاه آفرینش تفکر است و این کار را براحتی با منطق سؤال و پرسش محقق می‌سازد.

موضوع فلسفه

فلسفه، تفکر است. تفکر درباره کلی‌ترین و اساسی‌ترین موضوعاتی که در جهان و در زندگی با آن‌ها روبه رو هستیم. فلسفه هنگامی پدیدار می‌شود که پرسش‌هایی بنیادین درباره خود و جهان می‌پرسیم. سوالاتی مانند:

·                     قبل از تولد کجا بوده‌ایم؟

·                     حقیقت زمان چیست؟

·                     آیا عالم هدفی دارد؟

·                     اگر زندگی معنایی دارد، چگونه آن را بفهمیم؟

·                     آیا ممکن است که چیزی باشد و علتی نداشته باشد؟

·           ما در دو دنیا زندگی میکنیم که یکی دنیای خواب و دیگری دنیای بیداری نام دارد.چه در دنیای خواب باشیم و چه در دنیای بیداری؛تمام واقعیت را متعلق به دنیایی میدانیم که در همان موقع در آن زندگی میکنیم . اما واقعیت به چه معناست؟

·                     سرنوشت انسان به دست خود اوست و یا از بیرون تعیین می‌شود؟

·           چیزی که مسلم است این است که در خواب نیستیم.این اطمینان به دلیل تفاوتهای اساسی دنیای خواب با بیداری در مواردی مانند افزایش عقل در بیداری در مقایسه با کاهش عقل در دنیای خواب ؛یا امکان مشاهده خود در آئینه در هنکام بیداری وعدم امکان مشاهده خود در آئینه به هنکام خواب و....میباشد.

·                     خدا چیست؟

·                     چگونه میشود ثابت کرد که ما در این مکان واین زمان هستیم؟

·                     سرانجام دنیا چه خواهد شد ؟

و دهها پرسش مانند این.

چنانچه در این سؤالات می‌بینیم، پرسش‌ها و مسائل فلسفی از سنخ امور خاصی هستند و در هیچ علمی به چنین موضوعاتی، پرداخته نمی‌شود. مثلاً هیچ علمی نمی‌تواند به این پرسش که واقعیت یا حقیقت چیست و یا این که عدالت چیست، پاسخ گوید. این امر به دلیل ویژگی خاص این مسائل است.

موضوع فلسفه، یعنی این امر که فلسفه به چه مسائلی نظر دارد و چه حیطه‌ای از شناخت را در بر می‌گیرد و کدام عرصه را مورد مطالعه قرار می‌دهد و در نتیجه جای فلسفه در طبقه بندی علوم کدام است؟

موضوع فلسفه در جریان تاریخ تغییر فراوان کرده است. فلسفه در دوران باستان «علم علوم» بود و جامع کل معارف بشری و گردآوری کلیه دانستی‌های انسان در زمینه‌های مختلف به شمار می‌رفت. یک فیلسوف کسی بود که به تمام رشته‌های علوم آن زمان آشنایی داشت و در همه زمینه‌ها صاحب نظر بود. ولی در جریان تکامل جامعه پراتیک و عمل بشری بیشتر و عمیق‌تر شد. رازهای جهان پیرامون بیشتر گشوده شد، دانستنی‌ها متنوع ‌تر و ژرف‌تر و علم غنی‌تر و پر دامنه‌تر گردید. از آن علم (جامع کل) جدا شدند. نخست فیزیک و شیمی و طبیعیات و غیره و پس از آن علوم اجتماعی نیز که دیر زمانی همراه جدایی ناپذیر فلسفه شمرده می‌شود هر یک به مثابه دانش مستقل و جداگانه‌ای (اقتصاد، زبان شناسی، جامعه شناسی) جدا شدند. ولی درست از آنجا که فلسفه جمع ساده ریاضی و گرد آوری این علوم در کنار هم نبود پس از این جدا شدن‌ها و مستقل شدن‌ها به (هیچ) تبدیل نشد و از بین نرفت. برعکس هرچه این تجزیه عمیق‌تر صورت می‌گرفت و علوم مشخصه جدا می‌شد ـ درست مثل آن که از بند حشو و زوائد رها شود و پیرایه‌ها را به دور افکند ـ جوهر واقعی فلسفه به مثابه علمی قائم به ذات روشن‌تر و پاک‌تر جلوه‌گر می‌شد. موضوع مشخص فلسفه بدین ترتیب متبلورتر و برجسته‌تر گردید. امروز فلسفه عبارت است از علم مربوط به عام‌ترین قانون‌مندی‌های جهان هستی و شناخت انسانی و رابطه بین آن دو، عام‌ترین روابط و مناسبات بین اشیاء و پدیده‌ها.

همین واقعیت که فلسفه از دیرترین دوران‌های تمدن باستانی و حتی قبل از دانش‌هایی نظیر فیزیک و زیست‌شناسی و زمین‌شناسی پدید آمده نشانی از نیاز انسان به آن و اهمیت آن در حیات معنوی بشر است. اگرچه همواره نقش فلسفه در جامعه روشن نبوده است ولی چه بسا که کردار، پندار و رفتار ما، احساسات ما و سراسر زندگی ما تحت تأثیر اندیشه‌های معین فلسفی و جهان‌بینی مربوطه جریان یافته است. این تأثیر امروزه تماماً پیدا و نیرومند است. هر مسئلهٔ جدی را که در نظر آوریم از مسائل سیاسی، دولت‌ها، احزاب، مبارزه طبقات و گروه‌ها گرفته تا مسائلی درباره چگونگی پیدایش سیارات و آنچه در گیتی و در زمین می‌گذرد یا درباره سرشت و سرنوشت انسان پاسخ بدان‌ها به میزان زیادی وابسته بدان است که جهان را چگونه می‌بینیم، چه دید عمومی از این دنیا و آنچه در آن می‌گذرد داریم و از چه پایگاه فلسفی به آن‌ها می‌نگریم. نه فقط پاسخ به مسائل و راه‌حل آن‌ها بلکه شیوهٔ برخورد به آن‌ها و نحوهٔ طرح آن‌ها نیز وابسته است به همین دید معین، یک ویژگی عمدهٔ موضوعات فلسفی، ابدی و همیشگی بودنشان است. یعنی همیشه وجود داشته و همیشه وجود خواهند داشت و در هر دوره‌ای، بر حسب شرایط آن عصر و پیشرفت علوم مختلف، پاسخ‌های جدیدی به این مسائل ارائه می‌گردد.

فلسفه، مطالعه واقعیت است، اما نه آن جنبه‌ای از واقعیت که علوم گوناگون بدان پرداخته‌اند. به عنوان نمونه، علم فیزیک درباره اجسام مادی از آن جنبه که حرکت و سکون دارند و علم زیست‌شناسی درباره موجودات از آن حیث که حیات دارند، به پژوهش و بررسی می‌پردازد. ولی در فلسفه کلی ترین امری که بتوان با آن سر و کار داشت، یعنی وجود موضوع تفکر قرار می‌گیرد؛ به عبارت دیگر، در فلسفه، اصل وجود به طور مطلق و فارغ از هر گونه قید و شرطی مطرح می‌گردد. به همین دلیل ارسطو در تعریف فلسفه می‌گوید: "فلسفه علم به احوال موجودات است، از آن حیث که وجود دارند".

یکی از معانی فلسفه، اطلاق آن به استعدادهای عقلی و فکریی است که انسان را قادر می‌سازد تا اشیا، حوادث و امور مختلف را از دیدگاهی بالا و گسترده مورد مطالعه قرار دهد و به این ترتیب، حوادث روزگار را با اعتماد و اطمینان و آرامش بپذیرد. فلسفه در این معنا مترادف حکمت است.

فلسفه در پی دستیابی به بنیادی‌ترین حقایق عالم است. چنانکه ابن سینا آن را این گونه تعریف می‌کند:فلسفه، آگاهی بر حقایق تمام اشیا است به قدری که برای انسان ممکن است.

فلسفه همواره از روزهای آغازین پیدایش خود، دانشی مقدس و فرابشری تلقی می‌شد و آن را علمی الهی می‌دانستند. این طرز نظر، حتی در میان فلاسفه مسیحی و اسلامی رواج داشت؛ چنانکه جرجانی می‌گوید: "فلسفه عبارت است از شبیه شدن به خدا به اندازه توان انسان و برای تحصیل سعادت ابدی".

مارکس، هگل را پایان فلسفه می‌داند. سپس می‌گوید که «فیلسوفان همه در جهت تفسیر جهان گام بر داشته‌اند. اما مسئله بر سر تغییر آن است». از یک دیدگاه، به نظر می‌رسد با این جملهٔ مارکس تکلیف فلسفه معلوم شده‌است. از نظر این دیدگاه در عصر حاضر باید به فکر تغییر جهان بود و نه تفسیر آن.

فلسفه در آغاز

همان طور که گفته شد، اساساً فلسفه از نخستین روز پیدایش، به معنی عشق به دانایی و خرد و فرزانگی بوده و به علمی اطلاق می‌شد که در جستجوی دستیابی به حقایق جهان و عمل کردن به آنچه بهتر است (یعنی زندگانی درست)، بود.

فلسفه در آغاز، شامل تمام علوم بود و این ویژگی را قرن‌ها حفظ کرد؛ چنانکه یک فیلسوف را جامع همه دانش‌ها می‌دانستند. اما به تدریج دانشها و علوم مختلف از آن جدا گشتند.

در قدیم، این فلسفه که جامع تمام دانشها بود، بر دو قسم تقسیم می‌گشت :فلسفه نظری و فلسفه عملی.

فلسفه نظری به علم الهیات، ریاضیات و طیبعیات تقسیم می‌گشت که به ترتیب، علم اعلی، علم وسط و علم اسفل (پایین تر) نامیده می‌شد.

فلسفه عملی نیز از سه بخش تشکیل می‌شد: اخلاق، تدبیر منزل و شهرداری (سیاست مُدُن). اولی در رابطه با تدبیر امور شخصی انسان بود، دومی در رابطه با تدبیر امور خانواده و سومی کشورداری (تدبیر امور مملکت) بود.

برای درک موضوع فلسفه اولین گام مهم را ارسطو بیست وچهار قرن پیش برداشت. وی فلسفه را (علم هر آنچه وجود دارد) یا علم درباره (وجود آنچه هست، یعنی جهان در مجموع خود تعریف کرد .

بسیاری از فلاسفه ماتریالیست کوشیده‌اند خصلت و سرشت جهان واقعی را دریابند و قوانین شناخت آن را درک کنند و بدین ترتیب به سوی درک درست موضوع فلسفه گرایش داشته‌اند. عمده‌ای از فلاسفه ایده آلیست نیز سهمی در دقیق کردن موضوع فلسفه و نزدیک شدن به مفهوم درست آن داشته‌اند. اما فلسفه قبل از مارکسیسم نتوانست درست و دقیقا تعیین کند که فلسفه چه مسائلی را باید مطالعه کند یعنی نتوانست موضوع فلسفه را به درستی فرموله کند. زیرا تعیین موضوع فلسفه تنها زمانی ممکن می‌شد که خود فلسفه به یک علم تمام عیار بدل می‌گشت. فلسفه قبل از مارکس چنین علمی نبود اگر چه گنجینه گرانبهایی از اندیشه‌ها و نظریات فلسفی و طرح‌ها و سیستم‌های داهیانه را فراهم آورده بود. در این گنجینه عناصر و نکاتی بود که بعدا در تعریف موضوع فلسفه وارد شد.

*مائده شعبانپور *

بقیه مطلب را ر ادامه مطلب ببینید ...

آمار و احتمال ...

مبحث آمار به جمع آوری، تحلیل، و استفاده داده ها جهت حل مسائل ارتباط می یابد. همه افراد هم در زمینه های تخصصی و هم در زندگی روزمره، از طریق تماس با مطبوعات، رادیو، تلویزیون و سایر وسایل ارتباط جمعی به اطلاعاتی برخورد می کنند که به شکل ارقام و اعداد یا داده هستند. بنابراین مقداری فهم آمار برای هر کس مفید خواهد بود. از آنجا که مهندسان، متخصصین علوم، و مدیران مرتباً با جمع آوری و تحلیل داده ها سرو کار دارند، اطلاع از آمار برای این رشته ها از اهمیت اساسی برخوردار است
اهمیت آمار در مهندسی و در مدیریت موقعی مشخص تر شد که نیاز به بهبود کیفیت در صنایع کشورهای پیشرفته شکل جدی تری گرفت. بسیاری از کارخانجات دریافتند که کیفیت ضعیف محصولاتشان چه به صورت ضایعات ناشی از تولید و چه به صورت عملکرد نامطلوب آن ها در دست مصرف کننده، بر بهره وری کلی آن ها ، سهم آن ها در بازار، و نهایتاً سودآوری آن ها تأثیر می گذارد. یک برنامه موفق بهبود کیفیت می تواند تلفات را حذف کند، ضایعات و دوباره کاری را کاهش دهد، از لزوم بازرسی و آزمایش بکاهد، رضایت مشتری را افزایش دهد، و شرکت را قادر سازد تا بصورت یک تولید کننده با کیفیت و کم هزینه در بازار درآید. آمار یک ابزار مهم برای بهبود کیفیت است، چون که شیوه های آماری می تواند جهت تشریح و شناخت تغییر پذیری استفاده شود.
اساساً همه فرایند های دنیای واقعی از خود تغییرپذیری نشان می دهند. مثلاً فرض کنید می خواهیم چند قطعه را ازیک فرایند تولید انتخاب کرده و یک بعد حساس ( مثلاً قطر داخلی ) آن ها را اندازه بگیریم. اگر ابزار اندازه گیری به حد کافی دقیق باشد، مطمئناً مشاهده خواهد شد که قطر سوراخ ها متفاوت است. ( یعنی در این بعد تغییر پذیری وجود دارد ). این تغییرپذیری به کل جهان تعمیم می یابد. در ضخامت پوشش های اکسیدی روی قرص های سیلیکون، در بازده زمانی یک فرآیند شیمیایی، در تعداد اشتباهات سفارش های خرید، و در زمان لازم برای مونتاژ یک موتور هواپیما تغییر پذیری وجود دارد.
اگرچه مثالهای فوق، موارد صنعتی و تولیدی را نشان می دهد ولی کاربرد احتمال و آمار در تمامی زمینه های علوم کاربردی دارای تغییرپذیری یا در موارد نتیجه گیری درباره یک سیستم مبتنی بر داده های مشاهده شده گسترده است. اساساً، هر کار تجربی دارای چنین ماهیتی است و تغییر پذیری، یک مشخصه کلیدی این مسائل است. و اما چرا تغییرپذیری انجام می شود؟
معمولاً تغییرپذیری حاصل تغییر در شرایطی است که مشاهدات در آن انجام می شود.در یک محیط تولیدی، این تغییرات می تواند شامل تفاوت جنبی مواد، تفاوت در روش انجام کار، تفاوت در متغیر های فرآیند (مثل دما، فشار و ... ) و تفاوت در عوامل محیطی ( مثل رطوبت نسبی ) باشد
موضوع آمار و احتمال شامل روش هایی برای تشریح تغییرپذیری و ایجاد مدل آن، و برای تصمیم گیری در موقعی که تغییر پذیری وجود دارد می شود. درآمار استنباطی معمولاً در مورد یک جامعه تصمیم گیری می شود. اصطلاح جامعه به مقادیر تمام عناصر مجموعه ای که می خواهیم در مورد آن نتیجه گیری کنیم برمی گردد. بعنوان مثال، یک جامعه می تواند شامل تمام منابع تغذیه یک نوع کامپیوتر شخصی که توسط یک شرکت الکترونیکی در طی هفته گذشته تولید شده است،شود. فرض کنید این سازنده به ولتاژ خروجی هر منبع تغذیه توجه خاصی دارد. بنابراین می توانیم مقادیر ولتاژ خروجیمنابع تغذیه را بعنوان یک جامعه آماری در نظر بگیریم. در اینصورت هر مقدار جامعه یک اندازه عددی مثل 10/5 یا 24/5 خواهد داشت. این داده ها با نام اندازه یا داده های عددی مشخص می شوند. اما سازنده ممکن است تنها علاقه داشته باشد بداند هر منبع تغذیه دارای ولتاژ خروجی مناسب است یا خیر. در اینصورت جامعه شامل داده های وصفی می شود که به هر منبع تغذیه مقدار یک- اگر دارای ولتاژ مناسب نباشد- و مقدار صفر- اگر دارای ولتاژ مناسب باشد- اختصاص داده می شود.
در بیشتر کاربردهای آمار، داده های موجود شامل نمونه ای از جامعه مورد نظر می شود. این نمونه تنها زیر مجموعه ای از مشاهدات انتخابی از جامعه است
آمار توصیفی، شاخه ای از آمار است که با آرایش، تلخیص، و نمایش داده ها سروکار دارد. بسیاری از شیوه های آمار توصیفی از 200 سال پیش و اب شروع در نقشه برداری و سرشماری ها مورد استفاده قرار می گیرد. تکنولوژی جدید کامپیوتر ، مخصوصاً گرافیک کامپیوتری ، زمینه آمار توصیفی را در سال های اخیر گسترش داده است بطوریکه هم اکنون هم راحتی و با سرعت می توان از شیوه های پیچیده نمایش داده ها استفاده کرد. شیوه های آمار توصیفی می تواند هم برای تمام جامعه آماری و هم برای نمونه ها مورد عمل قرار گیرد. معمولاً داده های موجود حاصل نمونه هایی از جامعه آماری است و اغلب اوقات ،هدف تصمیم گیرنده، استفاده از اطلاعات نمونه برای نتیجه گیری ( یا استنباط ) روی جامعه ای است که از آن نمونه گیری شده است. مبحث شیوه های آماری مورد استفاده در این نوع مسائل را آمار استنباطیمی نامند. بیشتر شیوه های آمار استنباطی در 80 سال اخیر توسعه یافته است و بنابراین آمار استنباطی در مقایسه با آمار توصیفی بسیار جدیدتر است. با این حال بیشتر کاربرد های آمار در مهندسی، علوم، و مدیریت مدرن به استنباط و تصمیم گیری بر می گردد. مثلاًمهندسی تولید که داده های نمونه ای برای ولتاژ خروجی یک منبع تغذیه جمع آوری کرده است می خواهد از این اطلاعات نمونه برای استنباط در مورد قابلیت فرآیند تولید استفاده کند. بنابراین آمار استنباطی از اهمیت ویژه ای برخوردار است.
با آشنایی با احتمال ، می توان به راحتی از مبحث آمار توصیفی وارد مقوله آمار استنباطی شد. مخصوصاً اینکه براساس شناخت احتمال می توان نسبت به چگونگی بدست آوردن شیوه های استنباط و تصمیم گیری، نحوه کار این تکنیک ها ، و چگونگی تفسیر و ارائه نتایج آن ها آگاه شد. مطالعه احتمال کمک می کند تا عدم اطمینان ناشی از نمونه گیری را درک کنیم. علاوه براینکه نظریه احتمال، مبانی ریاضی و زبان آمار استنباطی را تأمین می کند، شامل متدولوژیهای مهم مورد استفاده در تشریح تغییرات تصادفی سیستم ها نیز می شود. 

تاریخچه احتمال هیلبرت در سخنرانی خود نقل قولی از"وایر اشتراوس"آورد که گفته بود:"هدف نهایی که همیشه باید به یاد داشت،رسیدن به یک فهم درست مبانی علم است."هیلبرت اضافه کرد که فهم کامل نظریه های خاص یک علم برای بحث موفقیت آمیز مبانی آن ضروری ست. کار کولموگروف که در حال حاضر مورد قبول همگان است،سه ویژگی بدیهی و بی چون و چرای احتمال را به عنوان اصل موضوع اختیار کرده و همهء نظریهء احتمال را بر مبنای آنها به دقت بیان کرده است.به خصوص اینکه یکتایی مقدار احتمال را برای یک پیشامد در تعداد دفعات معین آزمایش تضمین میکند. احتمالهای ذهنی مبتنی بر شناختها،ادراکها و باورهای شخصی را نیز میتوان مدل بندی و به وسیلهء این رهیافت اصل موضوعی،مطالعه کرد. دو کار بزرگ لاپلاس که نه تنها تحقیقات خود او بلکه در موضوعات مربوط همهء کارهای پیشین را وحدت میبخشد،عبارتند از:"نظریهء تحلیلی احتمال"و"مکانیک سماوی".این دو اثر ماندنی به مقدمه های توصیفی مفصل به زبان غیرفنی:جستار فلسفی در احتمالات و شرح نظام عالم آغاز شدند. جستار فلسفی در احتمالات مقدمه ای خواندنی برای نظریهء احتمالات است؛این مقاله تعریف"منفی"لاپلاس از احتمالات را که بر "پیشامدهای متساوی الاحتمال" مبتنی ست شامل میشود. "نظریهء تصادف"عبارت است از تحویل همهء رویدادهایی که از یک نوع اند به تعداد معینی از موارد متساوی الاحتمال،یعنی مواردی که از نظر پیشامدی که در پی احتمالش هستیم مطلوبند. به نظر لاپلاس مسائل مربوط به احتمال از آن رو مطرح میشود که چیزهایی را میدانیم و چیزهایی را نمیدانیم. لاپلاس همچنین نظریه ای را که "تامس بیز"،کشیش گمنام انگلیسی طرح کرد و پس از مرگش در فاصلهء سالهای۱۷۶۳-۱۷۶۴ منتشر شده بود از فراموشی نجات داد و مجدداً تدوین کرد.این نظریه به نظریهء احتمالات وارون معروف شده است. گفتیم که یکی از افراد مهمی که سهمی در نظریهء احتمالات داشت آبراهام دوموآور بود.دوموآور یک "هوگنو"ی فرانسوی بود.هوگنو نامی ست که به پروتستان های فرانسوی قرون ۱۷و۱۸ داده شده بود.پس از نسخ فرمان نانت(فرمانی که در سال ۱۵۹۸ توسط هانری چهارم صادر شد و به موجب آن به هوگنویها مساوی دیگران داده شد)در سال ۱۶۸۵ به فضای سیاسی مساعدتر لندن مهاجرت کرد. وی در زندگی خود را در انگلیس از طریق تدریس خصوصی گذاراند و از دوستان نزدیک آیزاک نیوتن شد. دوموآور بخصوص به خاطر اثرش "قسط السنین عمر" که نقش مهمی در تاریخ ریاضیات آمارگری دارد،اثر "کمترین شانس" که حاوی مطالب جدیدتری دربارهء نظریهء احتمالات است و اثر "جنگ تحلیلی" که دربارهء سریهای متناوب،احتمال و مثلثات تحلیلی است،شهرت دارد. خبر ظاهرا‌ً موثقی در دست است که فرما در بومون دولمانی نزدیک تولوز در۱۷ اوت ۱۶۰۱ بدنیا آمد.میدانیم که اودر کاستر یا در تولوز در ۱۲ ژانویهء۱۶۶۵ درگذشت.سنگ قبر او که بدواً در کلیسای آگوستین در تولوز بود و بعداً به موزهءملی منتقل شد،تاریخ مرگ فوق و سن فرما را در بدو مرگ ۵۷ سال میدهد.به دلیل اینکه اطلاعات متناقض تاریخ تاریخ تولد و مرگ فرما معمولاً به صورت ۱۶۶۵-۱۶۰۱ ثبت میشود.در واقع به دلایل متعدد تاریخ ولادت فرما به صورتی که نویسندگان مختلف داده اند از ۱۵۹۰ تا ۱۶۰۸ تغییر میکند. فرما پسر یک تاجر چرم بود و تحصیلات مقدماتی را در زادگاه خود انجام داد.در ۳۰ سالگی به عضویت پارلمان محلی در تولوز در آمد و وظایف خود را در آنجا با دقت زیاد انجام داد. وی که حقوقدانی متواضع و گوشه گیر بود قسمت اعظم ساعات فراغت خود را وقف مطالعهء ریاضیات کرد. گرچه در دوران حیات خود مطالب کمی را منتشر کرد ولی با ریاضیدانان برجستهء زیادی که با او همزمان بودند مکاتبهء علمی داشت و از راه همین مکاتبات تا حد زیادی معاصران خود را تحت تاثیر قرار داد. شاخه های ریاضی که وی موجب غنای آنها به قدری متعددند و سهم وی در آنها به قدری اهمیت دارد که بزرگ ترین ریاضیدان قرن هفدهم فرانسه نامیده شده است. قبلاً خاطر نشان کردیم که مکاتبات بین پاسکال و فرما اساس علم احتمال را پیریزی کرد.متذکر میشویم که به اصطلاح ‌"مسئلهء امتیازها" بود که آغازگر این مطلب گردید:"نحوهء تقسیم جایزه در بازی نیمه تمام مانده ای بین دو بازیکن به فرض داشتن مهارت یکسان با معلوم بودن امتیاز های دو بازیکن در موقع قطع بازی و تعداد امتیازات لازم برای برنده شدن را تعیین کنید." فرما به بحث در حالتی پرداخت کهA،یکی از بازیکن ها برای برنده شدن ۲ امتیاز و Bبازیکن دیگر ۳ امتیاز میخواست.در اینجا جواب فرما برای حالتی اینچنین می آوریم. چون آشکار است که چهار بازی دیگر نتیجه را معین خواهد کرد اگر aمعرف بازی ای باشد که در آن Aبرنده میشود و bمعرف بازی ای که در آن Bبرنده میشود و ۱۶ تبدبل دو حرف aوbرا ۴ به ۴ در نظر بگیریم: aaaa,aaab,abba,bbab baaa,bbaa,abab,babb abaa,baba,aabb,abbb aaba,baab,bbba,bbbb حالت هایی که در آن aدو بار یا بیشتر ظاهر میشود،مساعد برای Aست.۱۱ تا از این حالتها وجود دارند.حالتهایی که در آن bسه بار یا بیشتر ظاهر میشود مساعد برای Bست.تعداد آنها ۵ است.بنابر این باید به نسبت ۱۱:۵تقسیم شود.در حالت کلی که برای برنده شدن Aبهmامتیاز و Bبه n امتیاز نیاز دارند،۲^m+n-۱ جایگشت ممکن دو حرف aوbرا m+n-۱ بهm+n-۱ مینویسیم:در این صورت عدد aتعداد حالتهایی را کهa،mبار یا بیشتر و عددbتعداد حالتهایی که در آن b،nبار یا بیشتر ظاهر میشود به دست می آوریم بنابراین باید جایزه به نسبت a:bتقسیم کرد.پاسکال مسئلهء امتیازها را با استفاده از مثلث معروف خود حل کرد.  

...بقیه مطلب را در ادامه مطلب ببینید 

*شایسته رحیمی*

موسیقی و ریاضیات ...

موسیقی و ریاضیات  

در یونان باستان موسیقی و ریاضیات (حساب و هندسه) در کنار نجوم تشکیل علوم چهارگانه را می دادند، درواقع یونانیان قدیم به این چهار شاخه از علوم به دیده ریاضیات نگاه می کردند.

در آن دوران از تمدن بشری موسیقی بعنوان علمی مطرح بود که توسط آن روابط و نسبت های ریاضی به عمل تجربه می شد و به موسیقی در مدارس به اندازه حساب، هندسه و نجوم بها داده شده، دانش آموزان مجبور بودند در موسیقی نیز به انداز سه علم دیگر کسب معلومات کنند.

تقسیم بندی علوم در یونان قدیم 

یونانیان قدیم از ریاضیات بعنوان علم مطالعه تغییر ناپذیرها یاد می کردند. آنها این مقوله علمی را به دو دسته بزرگتر یعنی علوم مربوط به مقادیر مجزا (discreet) و مقادیر پیوسته (continued) تقسیم بندی کرده بودند.

مقادیر مجزا شامل دو علم از علوم چهارگانه یعنی حساب و موسیقی بود. آنها مقوله های مربوط به حساب را معادل بررسی مقادیر قابل شمارش و مجزای مستقل می دانستند و موسیقی را بررسی مقادیر مجزایی که با یکدیگر در تناسب و ارتباط هستند می دانستند.

در مقابل علوم مقادیر مجزا، علوم مقادیر پیوسته وجود داشت که شامل هندسه و نجوم بود. هندسه به بررسی سکون و نجوم به بررسی هرآنچه به حرکت مربوط میشد می پرداخت.

بنابراین همانگونه که از این تقسیم بندی  بر می آید جایگاه موسیقی هم ردیف سایر شاخه های علم ریاضی بوده است. اما در یک کلام شاید بتوان علم موسیقی ای را که یونانیان باستان تعریف کرده اند علمی دانست که به بررسی روابط میان صداهای خوشایند و ناخوشایند (در اینجا منظور consonance و dissonance) است، نامید.

اکتشافات فیثاغورث و پیروان او در باره نت های موسیقی  

اولین کشف دانشمندان یونان آن بود که اصوات موسیقی ای که فرکانس آنها مضاربی از یکدیگر هستند همواره بصورت خوشایند شنیده می شوند. بسیاری از دانشمندان و حتی مردم عادی متوجه بودند که هنگامی که دو صدای موسیقی با یکدیگر اجرا می شوند لزوما" احساس خوبی را در انسان ایجاد نمی کنند.

آنها همچنین متوجه شده بودند که یکی از مهمترین نسبت های فرکانسی نسبت 1:2 یا همان اکتاو است که طی آن نسبتهایی مانند 2:3 (پنجم) یا 3:4 (چهارم) یا 4:5 (سوم بزرگ) و 5:6 (سوم کوچک) تکرار می شود. یونانیان بخوبی به زیبایی صداهایی که با این نسبت ها بطور همزمان پخش می شدند آگاه بودند و فیثاغورث از جمله کسانی بود که رابطه ریاضی و خوشصدایی موسیقی را در میان تارهای صوتی مورد بررسی قرار داد. در واقع آنها دریافته بودند که نسبتهای x:x+1 برای x های کوچکتر از 10 و بزرگتر از صفر نسبتهایی است که نتیجه آن فاصله هایی خوش صدا هستند.

تمام این موارد که به نوعی از آنها می توان به عنوان پایه های دانش هارمونی یاد کرد، از دغدغه های علم موسیقی از زمان فیثاغورثیان تا اوایل قرون وسطی بوده است. شاید بزرگترین سئوال آنها این بود که چرا نمی توانند با استفاده از کنار هم قرار دادن نسبت هایی که از آنها نام بردیم به اولین نسبت خوش صدا کشف شده یعنی 1:2 یا اکتاو برسند. (در واقع این نشان می دهد که متاسفانه نسبت x به x+1 هرگز نمی تواند یک نسبت صحیح باشد.)

اما ناگفته نماند که فیثاغورثیان کشف کرده بودند که اگر شش فاصله 9:8 (که همان یک پرده است) را کنار هم قرار دهید به نتی می رسید که تقریبا" با نت اول نسبت 1:2 دارد. (در واقع باید نسبت 9:8 را به توان شش برسانید که نتیجه چیزی حدود 2.0273 می شود.)

در هر صورت هر آنچه بود سالها گذشت تا باخ تصمیم گرفت که این نسبت ها را معتدل کند و مشکلاتی را که از روز اول فیثاغورثیان - به درست - پایه گذار آنها بودند را رفع کند. در گام معتدل باخ هر اکتاو به 12 نیم پرده تقسیم می شود که نیم پرده های متوالی با یکدیگر نسبت ریشه دوازدهم عدد 2 را دارا هستند! تحت این شرایط فاصله پنجم گام معتدل باخ معادل هفت فاصله نیم پرده بوده که کمی کمتر از فاصله فیثاغورثی است(یعنی ریشه دوازدهم عدد 2 به توان 7).

جمع بندیاما نکته ای که در پایان این بحث باید به آن اشاره کرد آن است که هرچند باخ برای ساده تر کردن مسائل مربوط به کوک موسیقی گام معتدل خود را ارائه کرد، اما باید اعتراف کرد که کوک کردن سازها با فاصله هایی متناسب با ریشه دوازدهم عدد 2 (که نتیجه عددی گنگ است) عملا" باعث شد که موسیقیدان ها برای کوک کردن سازهای خود از دستگاهایی استفاده کنند که نه تنها نمی توانند بصورت دقیق این نسبت ها را مشخص کنند (چون نسبتها گنگ بودند) بلکه بتدریج رابطه احساسی موسیقیدان با این نسبت های زیبای ریاضی در طول زمان به فراموشی سپرده شد، بگونه ای که امروزه بسیاری از نوازندگان و موسیقیدانان از ارتباط میان فاصله های موسیقی با نسبت های فیثاغورثی بی خبر هستند.

بیانات رهبر انقلاب در باره ی ریاضیات و موسیقی

با توجه به سفر رهبر انقلاب به استان فارس ، دنبال بیانات رهبر بودم در مورد ریاضی تا بتوانیم فخر فروشی کنیم! گشتیم تا چند مورد اشارات رهبر را به علوم پایه و دروسی مثل ریاضی ( که مادر علوم پایه محسوب می شود ) و فیزیک و شیمی یافتیم ، همانطوری که در بیانات در دیدار با اساتید و دانشجویان استان در دانشگاه شیراز مطرح فرمودند: علوم پایه مانند گنجینه است و در پایان هم فرمودند :" اگر فلان فرمول ریاضی را کشف می کنید ، پیدا می کنید یا حل می کنید ، توجهتان به خدا ، به شما کمک خواهد کرد" اما از میان صحبت های گوناگون معظم له به سخنان جالبی رسیدم که در دیدار با دست اندرکاران موسیقی صدا و سیما درتاریخ 9/5/ 1375 عنوان شده بود. خواندن این بیانات که به بررسی مختصر رابطه ی موسیقی و ریاضی می پردازد مخصوصا وقتی از زبان بالاترین مقام کشور مطرح شده باشد خالی از لطف نیست :

بسم الله الرحمن الرحیم
از اجرای خوب آقایان ممنونیم. واقعا زحمت کشیدید .
بنده با اینکه در امر موسیقی سررشته ای ندارم و نمی توانم در حضور اهل فن ، قضاوتی شایسته بکنم لکن به مقتضای طبیعت بشری، که قضاوتی بر مبنای ذوق و قریحه انسانی و غرایض معنوی دارد، می توانم بگویم: اجرایتان خیلی خوب بود.
از آقای افتخاری، آقای مختاباد، آقای فیروز بخت و همچنین بقیه آقایان که زحمت کشیدید، تشکر می کنیم.
مقوله موسیقی ، جزو مقولات مطرح در جامعه و بخصوص در صدا و سیماست. البته در صدد نیستم که تبیین کلی ای در امر موسیقی داشته باشم. چون پرداختن به این مقوله ، نیازمند شرایط و خصوصیات دیگری است. اینجا داخل استودیوی موسیقی جا دارد از بعد دیگری راجع به این هنر صحبت کنم:
اساسا موسیقی، که در تقسیم بندیهای علوم قدیم، از شعب ریاضی است و چون با دقت و محاسبه و اندازه گیری دقیق سرو کار دارد، جزو بخشهای دانش ریاضی محسوب می شود. هنر دقیقی است. به تعبیری دیگر ، هنر موسیقی، محاسبه متکی به طبیعت و فطرت بشری است؛ که خرد انسانی ، آن محاسبه را بر اساس تجربه استخراج کرده و برای آن پیشرفت قواعدی - موازینی گذاشته است.
البته امروز که اروپایی ها و غربی ها در باب موسیقی پیشرفتهای زیادی کرده اند و قواعد دقیق و منظمی وضع نموده اند، وضعیت طور دیگری است. در گذشته که صحبت از مسائل مبتلابه امروز موسیقی نبود و بدیهه نوازی و بدیهه خوانی رواج داشت، خواننده ای بنای خواندن می گذاشت و نوازنده ی هنرمندی هم که بغل دست او نشسته بود، به نواختن می پرداخت. نوازنده اصلا از قبل نمی دانست که خواننده چه می خواهد بخواند؛ لذا تا خواننده برای خواندن دهان باز می کرد او هم ساز خود را کوک می نمود و به همنوایی مشغول می شد. یعنی هیچ قاعده ای که بر مبنای آن ، نت نوشته ای وجود داشته باشد، در کار نبود.
من در این زمینه ها تجربه و آشنایی ندارم. اما از کسانی که از اهلیت در این هنر برخوردار بوده اند ، شنیده ام حتی در زمان متداول نشدن نت، آنان که در امر نوازندگی یا خوانندگی فعال بودند، طبق فطرت و ذوقی سلیم ، نظم منطقی را در کار ، معمول می داشته و قواعد را رعایت می کرده اند. هفت دستگاه اصلی موسیقی ودستگاههای فرعی آن، که تنها مربوط به موسیقی ایرانی نیست، بلکه در همه آهنگهای جهان وجود دارد، به گونه ای تکوین یافته ، که هر صدایی شما در بیاورید، در یکی از آن دستگاههاست. و در واقع همه آهنگهای غربی و شرقی در مجموعه این دستگاهها می گنجد اگر توجه داشته باشید ، مقامها و گوشه های مختلف هر دستگاه از بدو شروع تا نقطه پایان ، روند منظمی را طی می کنند؛ یعنی از جایی آغاز می شوند؛ فرود می آیند ؛ فراز دارند تا جایی که تمام می شوند. همه اینها مبین حکمفرما بودن نظم در این هنر است. بدین ترتیب می توان نتیجه گرفت: هنر موسیقی، تلفیقی از دانش، اندیشه و فطرت خدادادی است؛ که مظهر فطرت خدادادی در درجه اول ، حنجره انسانها و در درجه دوم سازهایی است که به دست انسان ها ساخته شده است. پس می بینید که پایه، پایه ی الهی است.

معماری و موسیقی. این دو هنرهایی هستند که در صورت «انتزاعی» و در مفهوم «مجرد» شناخته می شوند و برخورد روزمره با آنها نیز «مجزا» و «مجرد» می باشد.

«انتزاعی» بودن خصیصه ای مشترک در بین هنرهاست؛ کلید و مثال روشن گفتگوی ما نیز در این مجموعه اشتراک و اسباب انتزاعی بودن این دو هنر است که قطعاً راه را برای بررسی سایر هنرها می گشاید. موسیقی، هنری شنیداری می باشد و در مرحله آغازین «ارتباط با مخاطب»می تواند با ایجاد حالات صوتی، حس او را در لحظه بسازد و یا «ضمیر ناخودآگاه» را به تداعی معانی وادارد.حالات موسیقی پیرو قواعد مشخصی منبعث از ریاضیات و فیزیک که از نظم طبیعت پدید می آید، قواعد ریاضی شناخته شده ای همچون"اعداد طلایی"و «فرمول معروف فیبوناچی » و اصول کشف شده تناسبات هندسی در تحلیل هندسی طبیعت جانداران در موسیقی به وفور یافت می شود.

از خصایص آدمیان به قالب در آوردن و قالبی کردن عناصر موجود برای ثبت و ضبط و استفاده مجدد از آنهاست و همین امر باعث شده در موسیقی اصول شناخته شده با اصول «موضوعه» زمینه ثبت , ضبط و اجرای مجدد موسیقی ایجاد شود. عدم دیدن «نفحات» , لمس و تفکر بر روی آنها از عوامل مهم انتزاعی بودن این هنر است.

اینک با بررسی و با شناخت عناصر مادی و طبیعت معماری, توجه به حالات درونی و تفکر مخاطب می توان گفت:معماری نیز «انتزاعی» است؛ چه عناصر طبیعی در معماری آنگونه که باید باشند نیستند و تغییر شکل یافته اند. ثبت و نگهداری معماری برای بوجود آوردن آن نیز در بستر «هندسه» و به نوعی «هندسه در بعد دادن به عناصر ریاضی» صورت می گیرد.

عدم درک معماری و ایجاد حالت روحی و تفکر برانگیز برای مخاطبان و استفاده کنندگان از آن ، به نوعی « مجرد رمزگونه » منتهی می شود که در نهایت «هندسه» خاصی را در ذهن شکل می دهد. احاطه آدمی بر معماری با شناخت (هندسه) و قواعد آن و «تعریف اشکال و کنار هم گذاشتن آنها» در روی کاغذ با نام «نقشه و طرح معماری» به نوعی تعریف شده است و کنکاش آدمی در طبیعت نیز مصالح مورد نیاز را در ایجاد یک اثر معماری خوب به او می دهد. دوست هنرمندی گفته است:معماری موسیقی مکان است؛ موسیقی, معماری زمان است.

حالات موسیقی پیرو قواعد مشخصی منبعث از ریاضیات و فیزیک است

معماری هندسه مکان است و موسیقی ریاضی زمان

و می تواند بدینگونه نیز باشد که:

معماری ریاضی مکان است و موسیقی هندسه زمان!

موسیقی ایستا نیست ولی معماری ایستا است. در مورد نقاشی, ایستایی در بطن کار معرفی می شود. برخورد دو علم مشترک البنیه (هندسه و ریاضی) که هر دو هنرهای ذهنی منبعث و مشتق از طبیعت هستند در موسیقی و معماری به نحوی سازگاری ایجاد نموده است که «حس مشترک بودن معماری و موسیقی» را تقویت می کند و راه را برای ارزیابی این دو هنر مهیا می سازد.

اساس معماری به نوع دید طراح اثر و نوع نیاز استفاده کننده برمی گردد و اساس موسیقی نیز بر نوع نگاه موسیقیدان و خالق اثر و نوع (شنود) مخاطب بنا می شود.(اصولاً هنر, گفت و شنود هنرمند است با مخاطب؛ هنر, گفت است و نقد مخاطبان, شنود.)از نظم طبیعت پدید می آید،

هنر تجلیگاه ریاضیات

  ریاضیات و هنر دو علم جدایی ناپذیرند ؛ جدایی از اینکه ریاضیات به عنوان مادر همه علوم می تواند در هرجایی توجیح قوانین را برعهده گیرد ، در هنر جلوه ایی دیگر دارد بطوری که عده زیادی از ریاضیدانان بزرگ قرن ریاضی را هنر هنرمند عالم می دانند نه هنر را ریاضی .

   تعریف هنر:   

       هنر جلوه یا تجلیگاه زیبایی­هاست. «منظور از زیبایی چیست؟» به نظر می­رسد برای ارائه تعریف منطقی زیبایی بهتر است زیبایی را از دیدگاه محض تعریف و از دیدگاه کارشناسی بررسی کنیم.

    تعریف زیبایی   :

        زیبایی هر آن چیزی است که بر اساس یک سری مفاهیم اولیه و اصولی که باهم سازگارند، ایجاد شده و در این سازگاری با هم تناقض ندارند. مثلاً در یک نقاشی به اصول و قوانین اولیه نقاشی و در شعر به قوانین عروضی نیازمندیم تا یک نقاشی و یا شعر زیبا داشته باشیم. نکته قابل توجه اینست که برای درک زیبایی احتیاج به شناخت است.

       هنر هر چیزی است که احساس را نوازش می­دهد. سؤالی که در اینجا مطرح می­شود اینست که: «آیا یک ساختار ریاضی این خصوصیت را دارد؟»  

    تعریف ریاضی  :

   ریاضی مجموعه‌ای از مفاهیم اولیه است که تحت اصول خاصی بایکدگر ارتباط دارند. به عنوان مثال هندسه اقلیدسی بر اساس پنج اصل پایه­گذاری شده که 2200 سال طول کشید تا ثابت شد اصل پنجم با چهار اصل قبلی سازگار است ،خطوط مرس از نقطه و خط و یکسری قراردادهای اولیه بوجود آمد، یا کامپیوتر بر اساس صفر و یک پایه­ریزی شده.

      آنچه مسلم است اینست که: « اگر بر اساس اصول اولیه ساختار منظمی بسازیم آن ساختار حتماً درست است.» با توجه به مطالب مطرح شده به این نتیجه می­رسیم که: هنر و ریاضی دو مفهوم کنار هم هستند که هر کدام شاخه یا نتیجه­ای از دیگری است. به عبارت دیگر هر دو در یک پایه­اند. 

     ریاضی مادر علوم است. در واقع می­توان هر چیزی که اتفاق می­افتد را به کمک ریاضی توجیه کرد امروزه معمولاً این امر با استفاده از صفر و یک صورت می­پذیرد. البته با متولد شدن منطق چند ارزشی (منطق فازی) مشکل مباحثی که مطلق (صفر و یک) نبود حل شد. ریاضی زمانی متجلی می­شود که این سؤال مطرح شود:‌ « این اتفاق را چگونه می­توان با ریاضی تطبیق کرد؟» به گفته هیلبرت: «ریاضی را با نمادهایش بشناسید و هر زمان که لازم شد از آن استفاده کنید.» 

     هنرِ ریاضی:

       هیچ جای خالی در ریاضی یافت نمی­شود. به عبارت دیگر مطالب (قوانین) ریاضی به هم پیوسته‌اند و هیچ راه فراری وجود ندارد. به عبارت بهتر درستی در ریاضیات بستگی به زمان و مکان ندارد.

     همانطور که در ریاضی مطالب بصورت اگر (شرط) آنگاه (حکم) مطرح می­شود این اصل در شعر نیز بکار رفته. به عنوان مثال سعدی می­گوید:

 « هر چه را نباید دلبستگی را نشاید»

     هر تعریف ریاضی باید جامع و مانع باشد، در یک نثر نیز این دو مورد باید رعایت شود. همانطور که آوردن مطالب اضافی در نثر از زیبایی آن می­کاهد در ریاضیات نیز مطالب اضافه ایجاد مشکل می‌کند. به عنوان مثال اضافات در تعریف ایجاد مشکل در اثبات می­کند زیرا مجبوریم مطلب اضافه را هم اثبات کنیم.

    همانطور که در ریاضی مطالب باهم سازگارند در شعر نیز سازگاری از ارکان زیبایی به شمار می­رود. به عنوان مثال استاد سعید نفیسی در مورد شعر

 «بنی آدم اعضای یکدیگرند    که در آفرینش ز یک گوهرند»

   می­گوید: به خاطر وجود «گوهر» در مصرع دوم باید بجای «یکدیگرند» در مصرع اول بگوییم «یک پیکرند». به عنوان مثالی دیگر «لف و نشر» در شعر با عبارت «نظیر به نظیر» در ریاضیات تطابق دارد.

  فردوسی:

 «به روز نبرد آن یل ارجمند     به شمشیر و خنجر به گرز و کمند

 برید و درید و شکست و ببست    یلان را سر و سینه و پا و دست»

  در اینجا برای تکمیل بحثم چند سخن از اساتید ریاضی بیان می کنم تا جلوگر کر تجلیگاه این دو هنر در هم باشد:

     هانری پوآنکاره (از پایه گذاران هندسه هذلولوی): «ریاضیدان کامل باید تا حدی شاعر باشد.»

      دکتر هشترودی: «هر شاعری باید ریاضیدان هم باشد.»

     استاد جلال همایی: «ای کاش در ریاضی تلاش بیشتری کرده بودم و فقط به یادگیری مسائل اولیه اکتفا نکرده بودم.»

      همیلتون (ریاضیدان ایرلندی): «هنر و ریاضیات همانند یکدیگرند زیرا در هر دو تقارن، تناظر و تطابق وجود دارد.»

      هاردی (ریاضیدان انگلیسی): « کار ریاضیدان نیز چون نقاش و شاعر آفرینش زیبایی است.»

      هیلبرت: « در مورد هر مطلبی باید به طور مجرد فکر کرد هر زمان که لازم شد با ریاضی ارتباط دهیم.»

     در پایان باید بگویم که آنچه ریاضی را از بقیه علوم جدا می­کند منطق ریاضی است. شاید به همین علت بوده که علمای قدیم به همان اندازه در ریاضی کار می­کردند که در علوم دیگر. و به عنوان سخن آخر و اصل مطلب تنها می گویم :  

 ***ریاضی یعنی هنر و هنر معنای ریاضی است***

یادگیری ریاضی پیرو اصول و قوانینی ا ست که توجه به آنها کار فراگیری را آسان می سازد ، از جمله آنها می توان به موارد زیر اشاره کرد:

- مطالب ریاضی کاملا به هم پیوسته هستند و باهم ارتباط نزدیک و منطقی دارند. به عنوان مثال تسلط در محاسبه چهار عمل اصلی در اعداد طبیعی ( دوره ابتدایی ) پیش نیاز محاسبات چهارعمل اصلی در اعداد صحیح ( سال اول  راهنمایی ) و تسلط در محاسبات چهارعمل اصلی در اعداد صحیح پیش نیاز محاسبات چهارعمل اصلی در اعداد گویا( سال دوم و سوم راهنمایی ) و محاسبات در چهار عمل اصلی اعداد طبیعی و صحیح و گویا پیش نیاز محاسبات در قسمت جبر و معادله است و 000

- در موقع تدریس در کلاس کاملا به درس دبیر گوش فرا دهید و اگر می توانید یادداشت مختصری بردارید به ویژه مثال هایی را که دبیر در کلاس حل می کند بنویسید و بعد از کلاس نوشته ها و یادداشت های خود را مرتب کنید .

در حل تمرینات تعیین شده به وسیله دبیر ، حتما از فکر و ابتکار خودتان کمک بگیرید. اگر شما یک سوال ریاضی را با فکر و ابتکار خودتان حل کنید بهتر از آن است که بیست تمرین در کلاس توسط دبیر یا دانش آموزان حل شود و شما راه حل ها را رونویسی کنید . زیرا که انسان از کشف مجهولات و نادانسته های خود لذت می برد و لذتی که از حل مسائل ریاضی در انسان ایجاد می شود قابل توصیف نیست ، شما هم برای خودتان این لذت را تجربه کنید .

- برای حل تمرینات و سوالات مربوط به درس باید قبل از شروع به حل آنها به درس مربوط و مثال های حل شده در کتاب یا در کلاس مراجعه کنید و بدانید که : فراگیری علم ریاضی محتاج تفکر و توجه و دقت است . اگر از حل تمرینی بازماندید مأیوس نشوید و تسلیم سوال نشوید ، فکر کنید و قوه اندیشه خود را به کار ببرید حتما موفق خواهید شد .

-طبق آخرین تحقیقات انجام شده در سطح جوامع پیشرفته ، همه افراد توانایی یادگیری ریاضی را دارند ولی عده ای برای فراگیری آن باید زحمت بیشتری را متحمل شوند.

- اگر در درس ریاضی ضعیف هستید از دانش آموزان قوی کمک بگیرید و سعی کنید با راهنمایی آنها و یا اطرافیان سوالات ریاضی را خودتان حل کنید و هیچگاه از روی چیزی رونویسی نکنید زیرا این کار مانع رشد فکری شما شده و نیروی خلاقیت شما روز به روز کمتر خواهد شد .تا حدی که از مشاهده ساده ترین سوال ریاضی هم استرس و واهمه خواهید داشت .

- لازم است بدانید اکثر مفاهیم آموخته شده در کلاس درس در حافظه کوتاه مدت شما ذخیره می شود و شما فکر می کنید که آن درس را به طور کامل یاد گرفته اید در صورتی که عمر مفاهیم در حافظه کوتاه مدت بیش ار 30  ،  40 ساعت نیست و دچار فراموشی می شوید . در صورتی که تمام مفاهیم ریاضی باید در ذهن شما تثبیت شوند و به صورت ملکه ذهنی درآیند.که این امر میسر نخواهد شد مگر با حل سوالات درک و فهمی  و کاربردی و تلفیقی در مورد موضوع درس .

- امید است همه ما و دانش آموزان این مرز و بوم به اهمیت تحصیل و تزکیه نفس پی ببرند و قدمی در راستای پیشرفت جامعه برداریم.

       آن کس که هدف دارد ناامیدی  را نمی شناسد

.تحقیقات جدید نشان می‌دهد که آموزش موسیقی در سنین خردسالی، می‌تواند در رشد سلول‌های عصبی که برای درک پیچیدگی‌های ریاضی و مفاهیم علمی لازم است، مؤثر باشد.

این تحقیقات بین آموزش موسیقی و دیگر توانایی‌های شناختی، رابطه مهمی را نشان می‌دهد. منظور از توانایی‌های شناختی، استدلال تجریدی است که برای درک روابط بین اشیا به کار می‌رود.

آموزش‌های ابتدایی در موسیقی و هنرها می‌تواند بر روی نمرات خواندن و ریاضیات کودکان مؤثر باشد و آنان را در یافتن مهارت‌هایی در ریاضیات و زبان انعطاف‌پذیر سازد که این مسأله در چندین دهه تأیید شده است. محققان به این نتیجه رسیده‌اند که: منطقه‌ای از مغز که اختصاص به یادگیری شناختی است، با شنیدن موسیقی به طور مؤثری رشد می‌کند.

موسیقی به عنوان یک تجربه آموزشی

گرچه تحقیقات نشان داده‌ است که حتی شنیدن موسیقی نیز بر روی هوش انسان تأثیر دارد، اما قوی‌ترین تأثیرات موسیقی از شرکت فعال در ساختن موسیقی به دست می‌آید. کودکانی که آموزش موسیقی می‌بینند به

 احتمال زیاد، از آنهایی که فقط موسیقی را منفعلانه می‌شنوند، بیشتر سود خواهند برد. آموزش موسیقی برای کودکان به ندرت خشک و خسته کننده است. اجرای موسیقی معمولاً همراه با شادی است ولی این فعالیت در عین حال توأم با چالش در توانایی‌های شناختی است.

کودکان در زمان اجرای موسیقی باید دایم توجهشان به کار باشد. ساختارهای تفکر باید دایم به روز و دقیق باشد. این ترکیب هشیاری و احتیاط همراه با پاسخ‌های فیزیکی در حال تغییر، یک تجربه آموزشی است که ارزش بی‌همتایی دارد.

انسان می‌تواند به سادگی بفهمد که چرا کودکان که آموزش موسیقی دیده‌اند قادرند با موادی کار کنند که به سرعت قابل درک شدن و درونی شدن نیستند. این کودکان در مقایسه با کودکانی که به آنها فرصتی برای شرکت در ساختن موسیقی داده نشده است، ممکن است قادر باشند با سرعت بیشتری بیاموزند و اطلاعات را ذخیره کنند.

جدای این برتری‌‌ها، فضای اجتماعی آموزش موسیقی توأم با همکاری است. در صورتی که در غالب دیگر موضوع‌های آموزشی چنین فضایی وجود ندارد و یا جای خود را به فضای رقابتی می دهد. دانش‌آموزان با همکاری یکدیگر می‌توانند در یک اجرای موسیقی نقشی ایفا کنند. آنها یاد می گیرند که مشارکت وسیله‌ای است که می‌تواند برای هدف‌های دیگر نیز مورد استفاده قرار گیرد.

موسیقی راه حلی برای تمامی مشکلات نیست. ذهن بشر به شدت پیچیده است و دانش ما در این باره که تأثیرات موسیقی در چه اندازه است، هنوز به کمال نرسیده است. با وجود این موسیقی وسیله آموزشی قدرتمندی است که باید مورد استفاده قرار گیرد. در عین حال باید مواظب باشیم تا اهمیت موسیقی از نظر زیبایی را کوچک نشماریم و این زیبایی را به زندگی کودکانمان وارد کنیم. ما باید تنها به این دلیل که موسیقی موجب رشد ذهنی کودک می‌شود آنها را درگیر فعالیت موسیقایی کنیم.

بزرگ‌ترها تنها از روی انجام وظیفه موسیقی نمی‌سازند، کودکان نیز باید چنین باشند. آموزش موسیقی دانش‌آموزان با احساسات آنها سروکار دارد و در زمان بروز احساسات آنها صورت می گیرد.

 برای تمامی آنهایی که در ساختن موسیقی شرکت می‌کنند، تجربه با درون خویش سروکار داشتن و ظرفیت و به تنهایی کار کردن و با خود همراه بودن و حرکت به سوی حسی که به شکل دیگری احساس نمی‌شود، به بار می‌نشیند. ساختن موسیقی شادی بخش است و کودکان ساختن موسیقی را دوست دارند. بنابراین اگر شما مزایای رشد ذهنی و نیز شادی ساختن موسیقی را با هم در نظر بگیرید، دلیل کافی خواهید داشت تا برای کودکان امکان چنین تجربه‌ای را فراهم آورید.

*زینب نوری*